2024屆西安市重點中學高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若集合,則集合()A． B． C． D．2．先后拋擲枚均勻的硬幣，至少出現一次反面的概率是（）A． B． C． D．3．已知，且，則（）A． B． C． D．4．在中，，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．5．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．6．如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率是()A．32π-3 B．34π-237．已知正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點，點E滿足，則（）A． B． C． D．-18．設,則()A． B．C． D．9．已知，取值如下表：014561.3m3m5.67.4畫散點圖分析可知：與線性相關，且求得回歸方程為，則m的值(精確到0.1)為()A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.810．右邊莖葉圖記錄了甲、乙兩組各十名學生在高考前體檢中的體重（單位：）.記甲組數據的眾數與中位數分別為，乙組數據的眾數與中位數分別為，則（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖,圓錐型容器內盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________12．已知向量，，且，則_______．13．已知正三棱錐的底面邊長為6，所在直線與底面所成角為60°，則該三棱錐的側面積為_______．14．若首項為，公比為（）的等比數列滿足，則的取值范圍是________.15．已知在中，，則____________.16．設是等差數列的前項和，若，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．隨著高校自主招生活動的持續開展，我市高中生掀起了參與數學興趣小組的熱潮.為調查我市高中生對數學學習的喜好程度，從甲、乙兩所高中各自隨機抽取了40名學生，記錄他們在一周內平均每天學習數學的時間，并將其分成了6個區間：、、、、、，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）試估計甲高中學生一周內平均每天學習數學的時間的中位數甲（精確到0.01）；（2）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機抽取的40名學生一周內平均每天學習數學的時間的平均值甲與乙及方差甲與乙的大小關系（只需寫出結論），并計算其中的甲、甲（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.18．已知函數的圖象向左平移個單位長度后與函數圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數，求函數的單調遞減區間及圖象的對稱軸方程.19．某中學從高三男生中隨機抽取n名學生的身高，將數據整理，得到的頻率分布表如表所示：組號分組頻數頻率第1組50.05第2組a0.35第3組30b第4組200.20第5組100.10合計n1.00（1）求出頻率分布表中的值，并完成下列頻率分布直方圖；（2）為了能對學生的體能做進一步了解，該校決定在第1，4，5組中用分層抽樣取7名學生進行不同項目的體能測試，若在這7名學生中隨機抽取2名學生進行引體向上測試，求第4組中至少有一名學生被抽中的概率.20．已知是的內角，分別是角的對邊.若,（1）求角的大小；（2）若，的面積為，為的中點，求21．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若.（1)求角；（2）若，則周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：作數軸觀察易得.考點：集合的基本運算.2、D【解題分析】

先求得全是正面的概率，用減去這個概率求得至少出現一次反面的概率.【題目詳解】基本事件的總數為，全是正面的的事件數為，故全是正面的概率為，所以至少出現一次反面的概率為，故選D.【題目點撥】本小題主要考查古典概型概率計算，考查正難則反的思想，屬于基礎題.3、D【解題分析】

首先根據，求得，結合角的范圍，利用平方關系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結果.【題目詳解】因為，所以，因為，所以.因為，，所以，所以，故選D.【題目點撥】該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數關系式，正弦函數的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關注角的范圍.4、A【解題分析】

由同角三角函數關系式,先求得.再結合正弦定理即可求得的外接圓半徑.【題目詳解】中,由同角三角函數關系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圓半徑為1故選:A【題目點撥】本題考查了同角三角函數關系式的應用,正弦定理求三角形外接圓半徑,屬于基礎題.5、A【解題分析】

由余弦定理可直接求出邊的長.【題目詳解】由余弦定理可得，，所以.故選A.【題目點撥】本題考查了余弦定理的運用，考查了計算能力，屬于基礎題.6、D【解題分析】

求出以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積，根據圖形的性質，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形ABC【題目詳解】設等邊三角形ABC的邊長為a，設以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積為S1，則S1=萊洛三角形面積為S，則S=3S在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率為P,P=S【題目點撥】本題考查了幾何概型.解決本題的關鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運算能力.7、C【解題分析】

化簡，分別計算，，代入得到答案.【題目詳解】正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點，點E滿足故答案選C【題目點撥】本題考查了向量的計算，將是解題的關鍵，也可以建立直角坐標系解得答案.8、C【解題分析】

函數，函數且，求出【題目詳解】因為且且所以故選：C【題目點撥】本題考查的是與反三角函數有關的定義域問題，較簡單.9、C【解題分析】

根據表格中的數據，求得樣本中心為，代入回歸直線方程，即可求解.【題目詳解】由題意，根據表格中的數據，可得，，即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的應用，其中解答中熟記回歸直線方程的基本特征是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、D【解題分析】甲組數據的眾數為x1＝64，乙組數據的眾數為x2＝66，則x1<x2；甲組數據的中位數為y1＝＝65，乙組數據的中位數為y2＝＝66.5，則y1<y2.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

通過將圖形轉化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關系求得球的體積.【題目詳解】作出相關圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【題目點撥】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關計算，建立體積等量關系是解決本題的關鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.12、-2或3【解題分析】

用坐標表示向量，然后根據垂直關系得到坐標運算關系，求出結果.【題目詳解】由題意得：或本題正確結果：或【題目點撥】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.13、【解題分析】

畫出圖形，過P做底面的垂線，垂足O落在底面正三角形中心，即，因為，即可求出,所以．【題目詳解】作于，因為為正三棱錐，所以，為中點，連結，則，過作⊥平面，則點為正三角形的中心，點在上，所以，，正三角形的邊長為6，則,，，斜高，三棱錐的側面積為：【題目點撥】此題考查正三棱錐，即底面為正三角形，側面為等腰三角形的三棱錐，正四面體為四個面都是正三角形，畫出圖像，屬于簡單的立體幾何題目．14、【解題分析】

由題意可得且，即且，，化簡可得由不等式的性質可得的取值范圍.【題目詳解】解：，故有且，化簡可得且即故答案為：【題目點撥】本題考查數列極限以及不等式的性質，屬于中檔題.15、【解題分析】

根據可得，根據商數關系和平方關系可解得結果.【題目詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了三角函數的符號法則，考查了同角公式中的商數關系和平方關系式，屬于基礎題.16、1.【解題分析】

由已知結合等差數列的性質求得，代入等差數列的前項和得答案．【題目詳解】解：在等差數列中，由，得，，則，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，考查了等差數列前項和的求法，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解題分析】

（1）根據每組小矩形的面積確定中位數所在區間，即可求解；（2）根據直方圖特征即可判定甲乙，甲乙，根據平均數和方差的公式分別計算求值.【題目詳解】（1）由甲高中頻率分布直方圖可得：第一組頻率0.1，第二組頻率0.2，第三組頻率0.3，所以中位數在第三組，甲；（2）根據兩個頻率分布直方圖可得：甲乙，甲乙甲=甲=【題目點撥】此題考查頻率分布直方圖，根據兩組直方圖特征判斷中位數和方差的大小關系，求中位數，平均數和方差，關鍵在于熟練掌握相關數據的求法，準確計算得解.18、（1），；（2）減區間為，對稱軸方程為【解題分析】

(1)先根據平移后周期不變求得,再根據三角函數的平移方法求得即可.(2)根據(1)中,代入可得,利用輔助角公式求得,再代入調遞減區間及圖象的對稱軸方程求解即可.【題目詳解】（1）因為函數的圖象向左平移個單位長度后與函數圖象重合,所以.所以,因為,所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函數的單調遞減區間為.令,可得圖象的對稱軸方程為.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的平移運用以及輔助角公式.同時也考查了根據三角函數的解析式求解單調區間以及對稱軸等方法.屬于中檔題.19、（1）直方圖見解析；（2）.【解題分析】

（1）由題意知，0.050，從而n＝100，由此求出第2組的頻數和第3組的頻率，并完成頻率分布直方圖．（2）利用分層抽樣，35名學生中抽取7名學生，設第1組的1位學生為，第4組的4位同學為,第5組的2位同學為，利用列舉法能求出第4組中至少有一名學生被抽中的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布表可得，所以，；（2）因為第1，4，5組共有35名學生，利用分層抽樣，在35名學生中抽取7名學生，每組分別為：第1組；第4組；第5組.設第1組的1位學生為，第4組的4位同學為,第5組的2位同學為.則從7位學生中抽兩位學生的基本事件分別為：一共21種.記“第4組中至少有一名學生被抽中”為事件，即包含的基本事件分別為：一共3種，于是所以，.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20、(1)(2)【解題分析】

（1）由，可將，轉化為,，代入原式，根據正弦定理可得，結合余弦定理，及，可得角C的大小。（2）因為，所以。所以為等腰三角形，根據面積為，可得，在，，，，結合余弦定理，即可求解。【題目詳解】（1）由得由正弦定理，得，即所以又，則（2）因為，所以.所以為等腰三角形，且頂角.因為所以.在中，，，，所以解得.【題目點撥】本題考查同角三角函數的基本關系，正弦定理，余弦定理，求面積公式，綜合性較強，考查學生分析推理，計算化簡的