第6講立體幾何

一、單選題

1.（2022?全國?高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3g和46，其

頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.1OC市B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑彳，4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球

的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】

設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小明所以24=￡1-.24=￡-，即4=3,弓=4,

sin60sin60

設球心到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R,所以4=JR2-9,4=依-16,

故14—4|=1或4+4=1，即那-9-收一16卜1或痛互+7^^=1，解得代=25

符合題意，所以球的表面積為5=4兀a=100兀.

故選：A.

2.（2022?全國?高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分

水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km,水位為海拔

157.5m時，相應水面的面積為180.0km?,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，

則該水庫水位從海拔148.5m上升到1575m時，增加的水量約為（5=2.65）（）

A.1.0xl09m'B.1.2xlO9m3C.1.4xl09m,D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】

依題意可知棱臺的高為〃N=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即為棱臺的體積丫.

棱臺S=140.0km2=140x106m2,下底面積S'=180.0km2=i80xl（）6m2,

：.V=^h(S+S'+4sS;)=|X9X(140X106+180X106+A/140xl80xl0,2)

=3x(320+60^)xl06s(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：c.

3.（2022?全國?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的

體積為36萬，且34/M3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是（)

81]「2781]「27641

A.18,—B.—C.—D.[18,271

L4JL44J143」

【答案】C

【解析】

【分析】

設正四棱錐的高為〃，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確

定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】

：球的體積為36乃，所以球的半徑R=3,

設正四棱錐的底面邊長為2”，高為〃，

則『=2/+力2,32=2/+（3-4,

所以6/?=/，2a2=l2-h2

112/4I2}（/6

所以正四棱錐的體積丫1一三,

3333669136）

所以=A4尸一一

916

當34/426時，Vr>0,當26</436時，V'<0,

所以當/=2后時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三,

27Q1

又/=3時，V=—,/=3百時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為27?，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是多與

故選：c.

4.（2022?全國?高考真題（文））在正方體A8CO-A4GR中，E,尸分別為A8,8c的中點,

則（）

A.平面g平面B.平面與平面A8。

C.平面與EF〃平面AACD.平面片EF〃平面AC?

【答案】A

【解析】

【分析】

證明所，平面，即可判斷A；如圖，以點3為原點，建立空間直角坐標系，設AB=2,

分別求出平面片EF,ABD,的法向量，根據(jù)法向量的位置關系，即可判斷BCD.

【詳解】

解：在正方體A8CD-ABCR中，

AC_LBO且DD,±平面ABCD,

又EFu平面ABC￡>,所以

因為E，F(xiàn)分別為AB,8c的中點，

所以EF||AC,所以所_LBZ）,

又BDCDQ=D,

所以EFL平面，

又EFu平面4EF,

所以平面與EF1平面BDD,,故A正確；

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，設AB=2，

則4（2,2,2）,E（2,l,0）,F（l,2,0）,B（2,2,0），A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C）（0,2,2）,

則喬=（T,1,0）,函=（0,1,2）,麗=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

羽=（0,0,2）,而=（-2,2,0）,福=（-2,2,0）,

設平面與EF的法向量為正=（為,％zJ,

一,一m-EF=-x.+y.=0一一/、

則有-1/1八，可取加=（2,2,-1）,

m?EB[=x+2Z]=0'7

同理可得平面A出。的法向量為1=（1,-

平面AAC的法向量為%=（1,1,0）,

平面ACQ的法向量為,=（』,—1）,

則加?勺=2-2+1=1#0>

所以平面B.EF與平面\BD不垂直，故B錯誤;

LU

因為加與〃2不平行，

所以平面與EF與平面AAC不平行，故C錯誤;

因為正與點不平行，

所以平面gEF與平面AC。不平行，故D錯誤,

故選：A.

5.（2022.全國?高考真題（文））已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點

均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.1C.3D.旦

3232

【答案】C

【解析】

【分析】

先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面A8CO面積最大值為2r，

進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四樓

錐的體積最大時其高的值.

【詳解】

設該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形48co所在小圓半徑為r,

設四邊形ABCC對角線夾角為a,

111,

則必88=5403。與11&414。8。（52小2r=2/

（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點。到底面ABC。所在小圓距離一定時，底面48CD面積最大值為2,

又嚴+小-J

則心…”/邛"辦考產(chǎn)『考

當且僅當r=2h2即人日時等號成立，

故選：C

6.(2022?全國?高考真題(理))甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為

2兀，側(cè)面積分別為S甲和%,體積分別為《和%.若含=2,貝總=()

3乙V乙

A.75B.20C.V10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】

設母線長為/，甲圓錐底面半徑為4，乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

4=2公再結合圓心角之和可將R分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,

再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】

解：設母線長為/,甲圓錐底面半徑為4，乙圓錐底面圓半徑為4，

2,

所以4=22,

d2萬/;2c、c

又一^^—^=2兀,

則中=1,

21

所以4=]"=?，

所以甲圓錐的高九=

乙圓錐的高a=

4

i2^

町f

--tX

%39

所

以-

一=

1在1

七22

-7

--rX

o9

故選：c.

7.(2022?全國?高考真題(理))在長方體ABCO-ABCQ中，已知四。與平面ABCD和平

面AA片B所成的角均為30°，貝I]()

A.AB=2ADB.A8與平面ABCQ所成的角為309

C.AC=CBtD.BQ與平面BBCC所成的角為45°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出.

【詳解】

如圖所示：

不妨設AB=a,AD=EAA=c,依題以及長方體的結構特征可知，與平面4JCO所成角

cb

為NB\DB,4。與平面AA"乃所成角為/。耳A,所以即b=c,

222

BtD=2c=>Ja+b+c,解得”=缶.

對于A,AB=a,AD=h,AB=^AD,A錯誤；

對于B,過5作于E,易知BE1平面陰G。，所以AB與平面ABC。所成角為

NBAE,因為tanNBAE=￡=變，所以N84EH30'，B錯誤；

a2

2222

對于C,AC=\]a+b=\[3c>CBX=\Jb+c=J5c,ACoCB1,c錯誤；

對于D,BQ與平面88CC所成角為ND8C，sinZD^C=烏=f,而

B.D2c2

0<ZDB,C<90,所以NOB1C=45.D正確.

故選：D.

二、多選題

8.（2022?全國?高考真題）如圖，四邊形43。為正方形，平面A6C。，

EB〃￡?,AB=E￡>=2EB,記三棱錐E-ACZ）,F-ABC,F-4CE的體積分別為匕,匕,匕,

則（）

【答案】CD

【解析】

【分析】

直接由體積公式計算匕匕，連接5。交AC于點M,連接由匕=匕_"“計

算出匕，依次判斷選項即可.

【詳解】

hq=g-2a-g-（2a）2，

匕=；，在8,5"跣=g。；,（2a）2,連接BD交4c于點“，連接EM,FM,易得

BDVAC,

又￡D_L平面ABCD,ACu平面ABCD，則ED_LAC,又。D=￡>,ED,8。u平面BDEF,

則AC,平面

又BM=DM=；BD=4ia,過尸作PGJ_DE于G,易得四邊形8DGF為矩形，則

FG=BD=2&a,EG=a,

則EM=J（2a）2+（血aj=GI,FM=卜+（貝力=&i,EF=卜+（20j=3a,

1o萬

EM2+FM2=EF2>則S=-EM-FM=^—a2,AC=2x/2a，

EseFrMe,2

則匕=gAC-S?￡FM=2/，則2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B錯

誤；C、D正確.

故選：CD.

9.（2022?全國?高考真題）已知正方體ABCO-AgCQ,則（）

A.直線BG與ZM,所成的角為90°B.直線BG與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面8BQQ所成的角為45°D.直線與平面ABC。所成的角為45。

【答案】ABD

【解析】

【分析】

數(shù)形結合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】

如圖，連接8夕、BC,,因為。AJ/BC，所以直線BG與BC所成的角即為直線8a與D4,所

成的角,

因為四邊形BBCC為正方形，則3CLBG，故直線8G與0A所成的角為9（）。，A正確;

連接AC,因為44,平面3BCC，BC|U平面BBCC，則

因為ASnBC=4,所以BC，L平面ABC,

又ACU平面Age,所以BG，CA，故B正確；

連接AG，設AGnBQi=o,連接8。，

因為_L平面ABC。，GOu平面A內(nèi)CQ,則GOJLBf,

因為CQL與R,B10CB、B=B1,所以G。，平面B8Q￡),

所以"BO為直線BC,與平面所成的角，

設正方體棱長為1，則C0=①，BC】=e,sinZC.BO==

12BC\2

所以，直線SC；與平面38Q。所成的角為30，故C錯誤；

因為GCL平面ABCD,所以NC聲C為直線BG與平面"CO所成的角，易得N￡BC=45,

故D正確.

故選：ABD

三、解答題

10.(2022.全國?高考真題)如圖，PO是三棱錐P-AfiC的高，PA=PB,ABLAC,E是PB

的中點.

⑴證明：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵H

13

【解析】

【分析】

(1)連接8。并延長交AC于點。，連接04、PD,根據(jù)三角形全等得到。4=0B,再根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到40=00,即可得到。為BD的中點從而得到OE〃PD,即可得證;

(2)過點A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；

(1)

證明：連接80并延長交AC于點。，連接。4、PD,

因為尸。是三棱錐P—ABC的高，所以「平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以三△POB,即04=08,所以NOAB=NO8A,

又AB_LAC,即/B4C=90。，所以/O48+/OAZ)=90。,ZOBA+ZOZM=90°,

所以N0D4=NQ包

所以40=00,即AO=OO=Q8,所以。為8。的中點,又￡為依的中點，所以OE//PD,

又OEZ平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E〃平面P4C

二

AB

(2)

解：過點A作上〃。尸，如圖建立平面直角坐標系，

因為PO=3,AP=5,所以04=JAP2_po?=4，

y

z

AB

Ak

又NOBA=NOBC=30°,所以BO=2OA=8,則AD=4,AB=46

所以AC=12,所以006,2,0),8(46,0,0),P?區(qū)2二5)，C(0,12,0),所以

則醺=(3百」,￡),AB=(4>/3,0,0),*=(0,12,0),

一,n-AE=3J5x+y+|z=°,令z=2,則y=-3,x=。,

設平面A￡B的法向量為"=(x,y,z),則，

n-AB=4y[3x=0

所以〃=（0,-3,2）；

由荏一3Ga+b+3c-O

設平面A￡C的法向量為次=（4,。,0）,則＜?2,令〃=百，則c=-6,

in-AC=12b=0

b=0,所以機=(G,0,-6卜

-1246

所以8s/—g"A”麗n-m|二標/一百

設二面角C-A￡-B為6,由圖可知二面角C-A￡-8為鈍二面角,

所以cosJ=-'^,所以sind=Jl-cos。，=?

1313

故二血角C-AE-B的正弦值為裝；

11.（2022.全國?高考真題）如圖，直三棱柱A8C-A/C的體積為4,AABC的面積為2拉.

（1）求A到平面ABC的距離；

（2）設。為AQ的中點，A4,=AB,平面48C，平面ABAA，求二面角4—C的正弦值.

【答案】（1）&

⑵立

2

【解析】

【分析】

（1）由等體積法運算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得5c_L平面ABBM，建立空間直角坐標系，利用空間向

量法即可得解.

（1）

在直三棱柱ABC-ABC中，設點A到平面\BC的距離為h,

則匕-ABC!h=V&_ABC=聞JC,AA=44G=§)

解得h=>/2>

所以點A到平面ABC的距離為0；

(2)

取AB的中點E,連接AE,如圖，因為A4,=AB,所以AE_LAB.

又平面ABC1平面ABB^,平面A.BCQ平面ABB^=AXB,

且AEu平面ABB0,所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱ABC-4AG中，8與，平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AE_L8C,BBt1BC,

又u平面AB81A且相交，所以BCJ_平面AB8IA,

所以8C,兩兩垂直，以8為原點，建立空間直角坐標系，如圖,

由(1)得AE=J5,所以M=AB=2,AB=2五,所以BC=2,

則A(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點。(1,1,1)，

貝ij麗=(1,1,1),麗=(0,2,0)辰=(2,0,0),

〃??8￡)=x+y+z=0

設平面的?個法向量相=(x,y,z),則，

m-BA=2y=0

可取帆=(l,0,T),

m?BD=a+h+c=0

設平面的一個法向量〃=(〃,b,c),則

tn-BC=2。=0

可取〃二（0,1,-1）,

則8sM〃齊麗=R=

所以二面角A—雙）—C的正弦值為=孚.

12.（2022?全國?高考真題（文））如圖，四面體ABCD中，A￡>，CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E為AC的中點.

⑴證明：平面BED_L平面AC。；

（2）設A3=5￡）=2,ZAa?=60。，點尸在2。上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐F-45c

的體積.

【答案】（1）證明詳見解析

⑵在

4

【解析】

【分析】

（1）通過證明AC,平面BED來證得平面平面ACD.

（2）首先判斷出三角形AFC的面積最小時F點的位置，然后求得尸到平面A8C的距離，

從而求得三棱錐F-ABC的體積.

（1）

由于A3=CD,E是AC的中點，所以AC_LOE.

AD=CD

由于=,所以zMOB三△COB,

ZADB=NCDB

所以AB=CB,故AC_LB￡>,

由于￡）Ec8￡>=。，DE,BD\平面BE￡>，

所以ACJL平面BED,

由于ACu平面AC。，所以平面BED_L平面ACD

(2)

依題意==3c=2,44cB=60。，三角形ABC是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=6

由于AO=CD,AO，CO,所以三角形AC￡>是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2>所以

由于ACc8E=E,AC,3Eu平面ABC,所以QE，平血ABC.

由于ZVIDBm/XCDB,所以N尸54=NEBC,

BF=BF

由于,NFBA=NFBC,所以△月必浮FBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以￡F，AC,

由于2.c=g-ACEF,所以當E尸最短時，三角形AR?的面積最小值?

過E作EFJ-BD,垂足為F，

I1/Q

在中，-BEDE=-BDEF,解得防=組，

222

所以DF=｝二曰=pfiF=2-DF=|.

而卜|BF

所以訪="3

FHBF3

過F作尸H工BE,-垂足為H,則FH//DE,所以"7J_平面ABC,H—

DEBD4

3

所以廠"二二，

所以％ABC=』.s-FH=-X-X2X^3X-=—

r-zioC3△A/loStC32ij

EH

13.(2022?全國?高考真題(理))如圖，四面體ABCD中，AD，8,A。=CD,ZADB=4BDC,

E為AC的中點.

⑴證明：平面平面A。；

(2)設AB=8O=2,NACB=60。，點尸在8。上，當△AFC的面積最小時，求CT與平面9

所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明過程見解析

(2)CF與平面麗所成的角的正弦值為迪

7

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知關系證明△M足△CBO,得至UAB=CB,結合等腰三角形三線合一得到垂

直關系，結合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BELDE,從而建立空間直角坐標系，結合線面角的運算法則

進行計算即可.

(1)

因為AZ)=C￡>,E為AC的中點，所以AC_LDE；

在公ABD和CBD中，因為A￡>=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABgZ^CBD,所以越=CB,又因為E為AC的中點，所以ACLBE；

又因為DE,BEu平面BE。，DECBE=E,所以AC_L平面SEO,

因為ACu平面AC￡),所以平面BEDJ_平面48.

(2)

連接EF,由(1)知，ACBED,因為EFu平面BED，

所以ACLEF,所以

當所J_8￡>時，EF最小，即△AFC的面積最小.

因為所以C8=45=2,

又因為NAC8=60。，所以AMC是等邊三角形，

因為E為AC的中點，所以AE=￡C=1,BE=g,

因為AD_LCD,所以。E=gAC=l,

在ADEB中,DE2+BE2=BD2^所以BE，DE.

以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,

則A(l,O,O),8(O,6,O),￡)(O,O,l),所以而=(-1,0,1),通=(-1,百,0),

設平面4?的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0廠-/r-\

則