第三章單元測試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題中只有一項符合題目要求）

1.若曲線），=於）在點（xo,應3）處的切線方程為3尤一y+l=0,則（）

A.f（xo）VOB.f（xo）＞O

C.fU；）=0D./（xo）不存在

答案B

2.設曲線在點（3,2）處的切線與直線數(shù)+丫+1=0垂直，則實數(shù)“等于（）

A.2B.；

C.-3D.-2

答案D

.x+1x—1+2.2

解析?y=7=\-=1+r,

X—1X—1X—1

.?.y'=_（/]）2,...曲線）二三；在點（3,2）處的切線的斜率為仁“尸3=一；.

由題意知ar+y+l=O的斜率為/=2,：.a=~2,故選D.

3.函數(shù)y=xe、的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[-1,+8）B.（-8,-I]

C.[1,+8）D.（一8,1]

答案A

解析令y'=ev（l+x）＞0,又e》＞0,二l+x20,故選A.

4.若三次函數(shù)＞=/一》在R上是減函數(shù)，則（）

A.B.a=1

C.a=2D.

答案A

解析=3or2—1,由y'W0,得3加一1WO./.oWO.

元+1（—IWxWO）,p

5.已知函數(shù)一兀則3爪幻口=（）

1

-

A.2B.

D.

3

c-

2

答案D

解析J/(x)<Lv=j(x+1)(Lv+Jcos.v(lv=(*+、)

I+siurI2=;+1=^-,故選D.

1-i1o22

6.若函數(shù)於)=2'+12，且/(〃)=0,則2%12a=()

A.1B.-1

C.-ln2D.In2

答案B

解析f(x)=2'ln2+p由/'3)=232+!=0,得2"ln2=—,則。2%ln2=-l,即2"ln2"=-L

7.已知函數(shù)/U)=e'—的圖像為曲線C,若曲線C存在與直線>=%垂直的切線，則實數(shù)”的

取值范圍是()

A.mW2B.m>2

C.〃2<-3D.m>~^

答案B

解析因為函數(shù)y(x)=eX—/nx+1的圖像為曲線C,若曲線C存在與直線y=5垂直的切線，即說明

e‘一機=—2有解，.../M=e'+2,則實數(shù)，"的取值范圍是，">2,故選B.

8.若函數(shù)y(x)=f+ar++在4+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.[-l,0JB.1-1,+8)

C.[0,3]D.[3,+°0)

答案D

解析由條件知/(x)=2r+a—5.O在g,+8)上恒成立，即a.,-2x在g,+8)上恒成立.：

函數(shù)y=5一2x在(點+8)上為減函數(shù)，.?.ymax<T--2X^=3.；.aN3.故選D.

,一@-

9.設三次函數(shù)兀0的導函數(shù)為，(x),函數(shù)y=x/(x)的圖像的一部分如圖所示，貝11()

A.7(x)的極大值為_/(正，極小值為人一小)

B.7U)的極大值為人一事)，極小值為H小)

C.y(x)的極大值為/一3),極小值為43)

D.7U)的極大值為人3),極小值為.八一3)

答案D

解析由函數(shù)y=x/(x)的圖像可知，

xC(—8,-3),f(x)<0,4x)單調(diào)遞減；

xG(-3,3),/'(x)>0,./U)單調(diào)遞增；

xG(3,+~),f(x)<0,兀v)單調(diào)遞減，，選D.

Inr

10.若人了)=不,e<a<b,則()

A.氏a)>氏b)B.fi.a)=j[b}

c.九)勺(切D.(份>1

答案A

解析f(x)=—^―，當x>e時，fW<0,

則於)在(e,+8)上為減函數(shù)，為a)習3),故選A.

11.若a>2,則函數(shù)段)=￥一渡+1在區(qū)間(0,2)上恰好有()

A.0個零點B.1個零點

C.2個零點D.3個零點

答案B

解析?"。)=*一2血且。>2,

:.當x?(0,2)時，f(x)<0,

即火t)在(0,2)上是單調(diào)減函數(shù).

又..7(0)=1>0,X2)=y-4a<0,

.?次X)在(0,2)上恰好有1個零點.故選B.

12.已知函數(shù)/U)=—/+加+桁(a，6GR)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點，且x軸與函數(shù)圖像

所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為擊，則。的值為()

C.ID.-2

答案A

解析方法一：因為r(X)=—3f+2ox+b,函數(shù)7U)的圖像與元軸相切于原點，所以/(0)=0,即

=0,所以人工)=一犬+依2,令加:)=0,得x=o或x=a(〃<0),因為函數(shù)應￥)的圖像與X軸所圍成區(qū)域的面

積為告，所以￡(——吉，所以(一%：4+；ar3)|9=一七，所以。=—1或。=1(舍去)，故選A.

方法二：因為/'(x)=-3/+2辦+6,函數(shù)式x)的圖像與x軸相切于原點，所以，(0)=0,即6=0,

所以?r)=一爐+加.若4=0,則y(x)=—%3,與x軸只有一個交點(0,0),不符合所給的圖像，排除B；若〃

=1,則犬X)=—2+f=一』(x-l),與x軸有兩個交點(0,0),(1,0),不符合所給的圖像，排除C；若。=

—2,則所圍成的面積為一J-2(—X3—2x2)dx=(|x4+|x3)l-2=gw*,排除D.故選A.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)

13.已知曲線丫=一*+2與曲線)，=4/-1在*=沏處的切線互相垂直，則刈的值為.

答案I

解析I?兩曲線在沏處切線互相垂直，

(-A3)-(8XO)——1..,.xo—2,

14.已知y(x)=x(l+|x|),則/⑴?/(―1)=.

答案9

解析當x20時，式x)=/+x,/(x)=2x+l,

則/(1)=3.

當x<0時，fi.x)=x-x2,f(x)=l-2x,則，(-1)=3,(1)/(-1)=9.

3Tl3

15.已知函數(shù)/(x)=orsinx-1(aWR),若對xG[0,辛，式x)的最大值為一yS則

(1)實數(shù)。的值為；

(2)函數(shù)1x)在(0,兀)內(nèi)的零點個數(shù)為.

答案(1)1(2)2

解析因為/(x)=a(siar+xcosx),當aWO時，/)在xe[0,與上單調(diào)遞減，最大值我)=一1,不適

合題意，所以”>0,此時段)在工目0,爭上單調(diào)遞增，最大值后)=梟一,=寫三解得。=1,符合題意，

33

故〃=LyU)=xsinx—2在工￡(0,兀)上的零點個數(shù)即為函數(shù)y=sirtK,y=水:的圖像在x《(0,兀)上的交點個數(shù).又

717r33

x=5時，sin2=l>->0,所以兩圖像在x￡(0,兀)內(nèi)有2個交點，即/U)=xsinx-]在x￡(0,兀)上的零點個數(shù)

是2.

16.若對定義在R上的函數(shù)/U),對任意兩個不相等的實數(shù)垃，都有/成即)+工以及)>式僅12)+也/(乃)，

則稱函數(shù)7U)為““函數(shù)”.給出下列函數(shù)：

①y=一爐+1+1;?y=3x_2(sinx-cosx)；

[ln|x|,xWO,

③產(chǎn)e，+l;④加)=[°,A。.

以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為.

答案②③

解析因為犬次為)+足/('2)>工1/('2)+M/(?),即(用一X2)[/Ul)—/('2)]>0,

所以函數(shù)人尤)在R上是增函數(shù).由y'=-3f+l>0,得一坐V0亭，即函數(shù)在區(qū)間(一坐，坐)上是

增函數(shù)，故①不是函數(shù)"；由y'=3-2(cosx+siiw)=3—26sin(x+/23—2吸>0恒成立，所以②為

"H函數(shù)”；

由<=e*>0恒成立，所以③為“”函數(shù)”；由于④為偶函數(shù)，所以不可能在R上是增函數(shù)，所以不

是函數(shù)”.綜上可知，是“”函數(shù)”的有②③.

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本題滿分10分)

已知函數(shù)_/(犬)="/+"11%在x=1處有極值生

(1)求a,b的值；

(2)判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.

答案b=\(2)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8)

解析(1)因為函數(shù)_/0)=加+例0￥,

所以/'(x)=2ox+§

又函數(shù)y(x)在x=i處有極值;，

(1)=0,伊+〃=0,(1=\

所以｛1即｛1解得(2，

[川)=2.&=亍[/,=-1.

(2)由(1)可知其定義域是(0,+°°),且/(x)=x_：=a+?-

當X變化時，/'(X),兀0的變化情況如下表：

X(0,1)1(1.+°°)

fw一0+

fix)極小值

所以函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8).

18.(本題滿分12分)

已知函數(shù)fix)=/—mlnx.

(1)若函數(shù)Ar)在(；，+8)上是單調(diào)遞增的，求實數(shù)〃?的取值范圍;

(2)當山=2時，求函數(shù)人x)在[1,e]上的最大值和最小值.

1e2—4

答案⑴機⑵最大值二―，最小值lTn2

解析(1)若函數(shù),/(X)在g,+8)上是增函數(shù)，則，(X)20在g,+8)上恒成立.

而/(x)=x—即mW/在g,+8)上恒成立，即mW：.

2—2

(2)當m=2時，/(x)=x—-=~^—.

令f'(%)—0,得%—±^2.

當xC［l,g)時，/(x)<0,當e)時，/(x)>0,故尸也是函數(shù)於)在［1,e］上唯一的極小值

點，故,/U)min=/(啦)=1-皿2.又/(1)=2,./(?)=”2—2=下一>￡,故五戲皿二一.

19.(本題滿分12分)

(2014.江西理)已知函數(shù)於)=(『+bx+byy)\-2x(bSR).

(1)當6=4時，求/U)的極值；

f

上單調(diào)遞增，求實數(shù)匕的取值范圍.

答案⑴極小值為0,極大值為4(2)(—8,1]

,.-5Mx+2)

解析⑴當),24時'/。尸飛='

由/(尤)=0,得x=-2或x=0.

當XG(-8,—2)時，f(x)<0,負外單調(diào)遞減;

當xG(—2,0)時，f(x)>0,丸x)單調(diào)遞增;

當xe(o,|

時，/(x)V0,人力單調(diào)遞減,

故人盼當》=一2時取得極小值五-2)=0,

在當x=0時取得極大值，如))=4.

一巾吐仃廣)]

(2?‘(x)=

yjl—2x

因為當工￡((),;)時—X

,I<0,

71-2x

依題意當x￡(0,時，有5x+(3/?—2)<0,

從而1+(3b-2)W0.

所以實數(shù)b的取值范圍為(一8,?.

20.(本題滿分12分)

己知函數(shù)_/(x)=lar,g(x)=(x—a)2+(\nx—a)2.

⑴求函數(shù)危)在A(l,0)處的切線方程；

(2)若g'(x)在口，+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)〃的取值范圍：

(3)證明：g(x)》；.

答案(l)y=x—1(2)a2一2(3)略

解析(1)因為/(x)=：,所以/'(1)=1.

故切線方程為y=x-l.

(2)g'(x)=2(x-：+腎一a),

令尸(x)=x—￡+乎一a,則y=F(x)在口，+8)上單調(diào)遞增.

F'(x)—~~1n1,則當時，x2—lnx+a+120恒成立，

即當元N1時，a2—f+lnx—1恒成立.

令G(x)=—f+lnx—1,則當時，G'(%)=-――^<0,

故G(x)=—j^+lnx—1在[1,+8)上單調(diào)遞減.

從而G(x)max=G(l)=-2.

故aG(x)max=-2.

(3)證明：^(x)=(x~a)2+(Inr—a)1

=2a1—2{x+\nx)a-\-x1+\vrxy

(X-]fLX)2

令/i(a)=2a2-2(x+liir)a+x2+ln2x,則以〃)21—廣~.

1x-1

令Q(x)=x—lnx,則Q'(x)=l=丁，顯然Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

則Q(X)min=Q(D=l.

則g(x)=h(a)*.

21.(本題滿分12分)

己知函數(shù)火x)=ln(x+〃?)+2x2在點p(0,7(0))處的切線方程與直線x+y=0垂直.

(1)若Vxi>X2>一“3兀⑴一/(>2)>。出一工2)恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍；

⑵當x>0時，求證：ln(x+l)+*>；(9x—5).

答案(1)(一8,0]⑵略

解析(1)函數(shù)y(x)的定義域為(一根，+°°).

，。)==4+以，故函數(shù)式工)在點P(O,共0))處的切線斜率左=/(o)=±=i,即!=1，解得機=i.故

/(X)=ln(x+1)+2*.

由於1)—/X2)>a(Xl—X2),得加1)-0X1/X2)—0X2.

故由題意可得g(x)=/(x)—ax在(一1,+8)上為增函數(shù).

故g'(x)=f在(-1，+8)上恒成立，即汁y+4x-a20在(-1,+8)上恒成立。

故aW，7[+4x在(-1,+8)上恒成立.

設P(X)=7^7+4X=^TY+4(X+1)—4,

因為x+1>0,所以嚏]j+4(x+1)—422^JjX4(x+1)—4=0.

所以實數(shù)a的取值范圍是(一8,0J.

⑵設h(x)=ln(x+1)+2X2-1(9x-5).

192+8x(x+l)—9(x+l)8f—x—7(8x+7)(l)

則〃(x)=RT+4x—2=元而=2(x+l)=2(x+l),

7

令人'(x)=0,解得x=-R或x=l.

故當xG(0,l)時，h'(x)<0,函數(shù)Mx)單調(diào)遞減;

當xG(l,+8)時，h'(x)>0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞增.

2

所以函數(shù)/i(x)在(0,+8)上的最小值為/J(l)=ln(l+l)+2Xl-1x(9Xl-5)=ln2>0.

故〃(尤)>0,即皿尤+1)+2/一如-5)>0,也就是1出+1)+2*>昴:-5).

22.(本題滿分12分)

設函數(shù)/(