1.現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都錯的有4人，那么兩種實驗都做對的有()

A、27人

B、25人

C、19人

D、10人

【答案】B

【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25，所以答案為B。

2.某服裝廠生產出來的一批襯衫大號和小號各占一半。其中25％是白色的，75％是藍色的。如果這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫有10件，小號藍色襯衫有多少件？〔〕

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發，將所求答案設為A∩B，此題設小號和藍色分別為兩個事件A和B，小號占50%，藍色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備只選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調查的學生共有多少人？〔〕

A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】A

【解析】此題畫圖按中路突破原那么，先填充三集合公共局部數字24，再推其他局部數字：

根據每個區域含義應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{〔x+z+y〕+24+24+24}+24+15

根據上述含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參加的人數，所以x+z+y的值為46人；得此題答案為120.4.對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，那么只喜歡看電影的有多少人〔〕

A.22人B.28人C.30人D.36人

【答案】A

【解析】此題畫圖按中路突破原那么，先填充三集合公共局部數字12，再推其他局部數字：

根據各區域含義及應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

100＝58+38+52－{18+16+〔12+x〕}+12+0,因為該題中，沒有三種都不喜歡的人，所以三集合之外數為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。5.某班統計考試成績，數學得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?解：設A={數學成績90分以上的學生}B={語文成績90分以上的學生}那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學生，由題意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38現要求兩科均在90分以上的學生人數，即求∣A∩B∣，由容斥原理得∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8點評：解決此題首先要根據題意，設出集合A，B，并且會表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。6.某班同學中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總人數是多少?解：設A={打籃球的同學};B={跑步的同學}那么A∩B={既打籃球又跑步的同學}A∪B={參加打籃球或跑步的同學}應用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)7.某年級的課外學科小組分為數學、語文、外語三個小組，參加數學小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人;同時參加數學、語文兩個小組的有4人，同時參加數學、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人?解1：設A={數學小組的同學}，B={語文小組的同學}，C={外語小組的同學}，A∩B={數學、語文小組的同學}，A∩C={參加數學、外語小組的同學}，B∩C={參加語文、外語小組的同學}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學}由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2根據容斥原理二得：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣=23+27+18-(4+5+7)+2=54(人)山東公務員行測：數量關系之容斥問題解題原理及方法解2：利用圖示法逐個填寫各區域所表示的集合的元素的個數，然后求出最后結果。設A、B、C分別表示參加數學、語文、外語小組的同學的集合，其圖分割成七個互不相交的區域，區域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三個小組都參加的同學的集合，由題意，應填2。區域Ⅳ表示僅參加數學與語文小組的同學的集合，其人數為4-2=2(人)。區域Ⅵ表示僅參加數學與外語小組的同學的集合，其人數為7-2=5(人)。區域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學的集合，其人數為5-2=3(人)。區域Ⅰ表示只參加數學小組的同學的集合，其人數為23-2-2-5=14(人)。同理可把區域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數逐個算出，分別填入相應的區域內，那么參加課外小組的人數為;14+20+8+2+5+3+2=54(人)點評：解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區域所表示的集合的元素個數都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于答復各種方式的提問。8.某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人?解：工人總數100，只能干電工工作的人數是5人，除去只能干電工工作的人，這個車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一局部，其總數為163，然后找出這一公共局部，即163-95=689.某次語文競賽共有五道題(總分值不是100分)，丁一只做對了(1)、(2)、(3)三題得了16分;于山只做對了(2)、(3)、(4)三題，得了25分;王水只做對了(3)、(4)、(5)三題，得了28分，張燦只做對了(1)、(2)、(5)三題，得了21分，李明五個題都對了他得了多少分?解：由題意得：前五名同學合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+30+28+21=120。因此，五道題總分值總和是120÷3=40。所以李明得40分。10.某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，那么不教三門課的外語教師有多少名?