第3節機械能守恒定律教材梳理·自主預習真題試做·模擬演練考點研析·感悟提升一、重力勢能和彈性勢能1.重力做功與重力勢能(1)重力做功的特點重力做功與

無關,只與初、末位置的

有關.(2)重力做功與重力勢能變化的關系①重力對物體做正功,重力勢能就

;重力對物體做負功,重力勢能就

.②物體從位置A到位置B時,重力對物體做的功等于物體重力勢能的

,即WG=

.③重力勢能的變化量是絕對的,與參考面的選取

.知識梳理教材梳理·自主預習路徑高度差減少增加減少量-ΔEp無關2.彈性勢能(1)發生彈性形變的物體的

之間,由于有

的相互作用而具有的勢能.(2)彈力做功與彈性勢能變化的關系類同于重力做功與重力勢能變化的關系;一般物體的彈性形變量越大,彈性勢能

.各部分彈力越大自主探究

如圖,彈簧的勁度系數為k,彈簧的右端在A點時,彈簧的長度為原長,現將彈簧從A拉伸到B,伸長量為Δl.(1)彈簧從A拉伸到B的過程中,彈力如何變化?如何求彈力做的功?彈性勢能是怎樣變化的?(2)若將彈簧從A壓縮Δl的距離,則彈力做正功還是負功?彈性勢能是怎樣變化的?答案:(1)彈簧從A拉伸到B的過程中,彈力隨拉伸長度的增大而均勻增大,因此可通過作F-x圖象,求圖線與x軸所圍面積,即為彈力做的功,彈力做負功,彈性勢能增加.(2)將彈簧從A壓縮Δl的距離,彈力向右,作用點向左移動,彈力做負功,彈性勢能增加.二、機械能守恒定律1.內容:在只有重力或彈力做功的物體系統內,

與

可以相互轉化,而總的機械能

.動能勢能保持不變教材解讀如圖所示,物體在某一時刻處在位置A,這時它的動能是Ek1,重力勢能是Ep1.經過一段時間后,物體運動到另一位置B,這時它的動能是Ek2,重力勢能是Ep2.由動能定理知道,重力對物體做的功W等于物體

的增加,即W=

,重力對物體做的功W等于

的減少,即W=

,可得Ek2-Ek1=Ep1-Ep2,移項后,有Ek2+Ep2=Ek1+Ep1.動能Ek2-Ek1重力勢能Ep1-Ep23.機械能守恒的條件(1)系統只受重力或彈力的作用,不受其他外力.(2)系統除受重力或彈力作用外,還受其他內力和外力,但這些力對系統

.(3)系統內除重力或彈力做功外,還有其他內力和外力做功,但這些力做功的代數和

.(4)系統跟外界沒有發生機械能的傳遞,系統內外也沒有機械能與其他形式的能發生轉化.不做功為零小題檢測1.思考判斷(1)克服重力做功,物體的重力勢能一定增加.(

)(2)重力勢能的改變除與重力做功有關外,還與其他力做功有關.(

)(3)彈簧彈力做負功時,彈性勢能減少.(

)(4)物體速度增大時,其機械能可能在增大、減小或不變.(

)(5)若只有彈簧的彈力和重力對物體做功,物體的機械能一定守恒.(

)√××√×2.(2019·黑龍江雙鴨山期中)(多選)沿著高度不同、粗糙程度相同、底相同的斜面向上拉同一物體到頂端,以下說法中正確的是(

)A.沿著坡度最大的斜面上升克服重力做的功最多B.沿著坡度最小的斜面上升重力勢能增加得最多C.沿坡度最大的斜面上升克服摩擦力做的功最多D.無論沿著哪個坡度的斜面上升克服摩擦力做的功都一樣多AD解析:重力做功只與高度有關,與路徑無關,斜面的高度不同而底相同,沿著坡度最大的斜面上升的高度最大,克服重力做的功最多,重力勢能增加得最多,故A正確,B錯誤;克服摩擦力做的功等于μmg與底的乘積,因此,無論沿著哪個坡度的斜面上升克服摩擦力做的功都一樣多,故C錯誤,D正確.3.(多選)關于彈性勢能,下列說法中正確的是(

)A.任何發生彈性形變的物體,都具有彈性勢能B.任何具有彈性勢能的物體,一定發生了彈性形變C.物體只要發生形變,就一定具有彈性勢能D.彈簧的彈性勢能只跟彈簧被拉伸或壓縮的長度有關AB解析:任何發生彈性形變的物體,都具有彈性勢能,而具有彈性勢能的物體,也一定發生了彈性形變,故A,B正確;物體若發生不恢復原狀的形變,就不具有彈性勢能,C錯誤;彈性勢能的大小與彈簧的勁度系數和形變量大小均有關,D錯誤.4.(2019·江西上饒期中)(多選)如圖所示,A,B,C,D四個圖中的小球以及小球所在的斜面完全相同,現從同一高度h處由靜止釋放小球,小球下落同樣的高度進入不同的軌道,斜面底部有一小段圓弧與軌道平滑連接.A圖中的軌道是一個內徑大于小球直徑的管,其上部為直管,下部為圓弧形,底端與斜面銜接,管的高度高于h;B圖中的軌道是半圓軌道,其直徑等于h;C圖中的軌道與D圖中的軌道均為斜面,但C中只是短了一些,斜面高度低于h;D中斜面高于h.如果不計任何摩擦阻力和拐彎處的能量損失,小球進入軌道后不能運動到h高度的圖是(

)BC考點一機械能守恒的判斷考點研析·感悟提升1.對機械能守恒條件的理解(1)對于單個物體或幾個物體組成的系統,只有重力做功(其他力不做功或做功代數和為零).(2)對物體和彈簧組成的系統,只有重力和彈力做功,系統的機械能守恒,而非物體的機械能守恒.(3)對于系統機械能是否守恒,可以根據能量的轉化進行判斷.嚴格地講,機械能守恒定律的條件應該是對一個系統而言,外力對系統不做功(表明系統與外界之間無能量交換),系統內除了重力和彈力以外,無其他摩擦和介質阻力做功(表明系統內不存在機械能與其他形式之間的轉換),則系統的機械能守恒.2.機械能守恒判斷的三種方法定義法分析物體或系統的動能和勢能的和是否變化,若不變,則機械能守恒做功法若物體或系統只有重力或系統內彈力做功,其他力不做功,或其他力做功的代數和為零,則機械能守恒轉化法若物體或系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式能的轉化,則機械能守恒[例1]

(2019·天津市北辰區模擬)(多選)如圖所示,固定的傾斜光滑桿上套有一個質量為m的圓環,桿與水平方向夾角為α=30°,圓環與豎直放置的輕質彈簧上端相連,彈簧的另一端固定在地面上的A點,此時彈簧處于原長h,讓圓環沿桿由靜止滑下,滑到桿的底部時速度恰好為零,在環下滑過程中(

)A.圓環和地球組成的系統機械能守恒B.當彈簧垂直光滑桿時,圓環的速度最大C.彈簧的最大彈性勢能為mghD.彈簧從豎直位置轉過60°角過程中,彈簧對圓環的作用力先做負功后做正功,總功一定為零CD解析:圓環沿桿滑下,滑到桿底端的過程中有兩個力對圓環做功,即環的重力和彈簧的拉力,所以圓環和地球組成的系統機械能不守恒;如果把圓環和彈簧組成的系統作為研究對象,則系統的機械能守恒,故選項A錯誤;當圓環沿桿的加速度為零時,其速度最大,動能最大,此時彈簧處于伸長狀態,圓環受一個斜向左下方的彈力,故選項B錯誤;根據機械能守恒定律,當圓環滑到最底端時其速度為零,重力勢能全部轉化為彈性勢能,此時彈性勢能最大,等于重力勢能的減小量,即為mgh,故選項C正確;彈簧轉過60°角時,此時彈簧仍為原長,彈簧從豎直位置轉過60°角過程中,彈簧對圓環的作用力與運動方向的夾角先大于90°后小于90°,彈簧對圓環的作用力先做負功后做正功,總功一定為零,故選項D正確.[針對訓練]

(多選)如圖所示裝置中,木塊與水平桌面間的接觸面是光滑的,子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內,將彈簧壓縮到最短,則從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮至最短的整個過程中(

)A.子彈與木塊組成的系統機械能守恒B.子彈與木塊組成的系統機械能不守恒C.子彈、木塊和彈簧組成的系統機械能守恒D.子彈、木塊和彈簧組成的系統機械能不守恒BD解析:從子彈射入木塊到彈簧壓縮至最短的整個過程中,由于存在機械能與內能的相互轉化,所以對整個系統機械能不守恒.對子彈和木塊,除摩擦生熱外,還要克服彈簧彈力做功,故機械能也不守恒,選項B,D正確,A,C錯誤.考點二單物體機械能守恒問題單物體機械能守恒的兩種表達式(1)守恒觀點①表達式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.②意義:物體初狀態的機械能等于末狀態的機械能.③注意點:要先選取零勢能參考平面,并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.(2)轉化觀點①表達式:ΔEk=-ΔEp.②意義:物體增加(或減少)的動能等于物體減少(或增加)的重力勢能.(3)應用機械能守恒定律解題的一般步驟[例2](2019·黑龍江雙鴨山一中期中)如圖所示,位于豎直平面內的光滑軌道,由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成,圓形軌道的半徑為R.一質量為m的小物塊(視為質點)從斜軌道上某處由靜止開始下滑,然后沿圓形軌道運動.(g為重力加速度)(1)要使物塊能恰好通過圓軌道最高點,求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h多大;答案:(1)2.5R(2)要求物塊能通過圓軌道最高點,且在最高點與軌道間的壓力不能超過5mg.求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍.答案:(2)2.5R≤h≤5R[針對訓練](2019·江蘇泰州模擬)(多選)如圖所示,在地面上以速度v0拋出質量為m的物體,拋出后物體落到比地面低h的海平面上,若以地面為零勢能面且不計空氣阻力,則下列說法正確的是(

)A.物體落到海平面時的重力勢能為mghB.物體從拋出到落到海平面的過程重力對物體做功為mghBD多物體系統的機械能守恒問題該類型問題一般涉及“輕繩”“輕桿”相聯系的物體系統(1)輕繩模型①分清兩物體是速度大小相等,還是沿繩方向的分速度大小相等.②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系.③對于單個物體,一般繩上的力要做功,機械能不守恒;但對于繩連接的系統,機械能則可能守恒.考點三多物體機械能守恒問題(2)輕桿模型①平動時兩物體線速度相等,轉動時兩物體角速度相等.②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒.③對于桿和球組成的系統,忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功,則系統機械能守恒.[例3]如圖所示,光滑圓柱被固定在水平平臺上,細繩跨過圓柱體與兩小球A,B相連,它們的質量分別為m1,m2,開始時讓A放在平臺上,兩邊繩繃直,釋放B后兩球從靜止開始A上升,B下降,當A上升到圓柱的最高點時,繩突然斷裂,發現A恰能做平拋運動,求m2應為m1的多少倍.審題圖示:答案:見解析反思總結多物體機械能守恒問題的解題思路1.(輕繩連接的物體系統)(2019·山東日照聯考)(多選)如圖所示,一質量為m的圓環套在一根固定的光滑豎直桿上,圓環通過細線繞過定滑輪O與質量為5m的鉤碼相連.豎直桿上有A,B,C三點,B為AC的中點,AO與豎直桿的夾角θ=53°,B點與滑輪O在同一水平高度,滑輪與豎直桿相距為L.不計滑輪的質量和摩擦,現將圓環從A點由靜止釋放,下列說法正確的是(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g為重力加速度)(

)題組訓練BD2.(輕桿連接的物體系統)(多選)如圖所示,在傾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有兩個質量分別為1kg和2kg的可視為質點的小球A和B,兩球之間用一根長L=0.2m的輕桿相連,小球B距水平面的高度h=0.1m.兩球從靜止開始下滑到光滑地面上,不計球進入地面時的機械能損失,g取10m/s2.則下列說法中正確的是(

)BD考點四含彈簧類機械能守恒問題輕彈簧模型“四點”注意(1)含彈簧的物體系統在只有彈簧彈力和重力做功時,物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能之間相互轉化,物體和彈簧組成的系統機械能守恒,而其中物體機械能不守恒.(2)含彈簧的物體系統機械能守恒問題,符合一般的運動學解題規律,同時還要注意彈簧彈力和彈性勢能的特點.(3)彈簧彈力做的功等于彈簧彈性勢能的減少量,而彈簧彈力做功與路徑無關,只取決于初、末狀態彈簧形變量的大小.(4)由兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統,當彈簧形變量最大時,彈簧兩端連接的物體具有相同的速度;彈簧處于自然長度時,彈簧彈性勢能為零.[例4]

如圖所示,在同一豎直平面內,一輕質彈簧一端固定,另一自由端恰好與水平線AB平齊,靜止放在傾角為53°的光滑斜面上.一長為L=9cm的輕質細繩一端固定在O點,另一端系一質量為m=1kg的小球,將細繩拉直呈水平,使小球在位置C由靜止釋放,小球到達最低點D時,細繩剛好被拉斷.之后小球在運動過程中恰好沿斜面方向將彈簧壓縮,最大壓縮量為x=5cm.(g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:(1)細繩所能承受的最大拉力;(2)D點到水平線AB的高度h;(3)彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep.審題指導:題干關鍵獲取信息小球到達最低點D時細繩剛好被拉斷繩的拉力豎直向上,且為最大值,此后小球做平拋運動彈簧放在光滑斜面上小球壓縮彈簧過程中系統機械能守恒恰好沿斜面壓縮彈簧在A點速度方向沿斜面向下彈簧的最大彈性勢能小球壓縮彈簧過程中末速度為0(3)以AB面為重力勢能的參考面,則小球在C點時機械能E1=mg(L+h),彈簧壓縮最短時的機械能E2=Ep-mgxsin53°,小球從C點到將彈簧壓縮至最短的過程中,小球與彈簧組成的系統機械能守恒,即mg(L+h)=Ep-mgxsin53°,代入數據得Ep=2.9J.答案:(1)30N

(2)16cm

(3)2.9J彈簧類問題的兩點注意(1)同一彈簧在不同的物理狀態或過程中,當彈簧形變量或形變量的變化相等,則彈性勢能或彈性勢能的變化量相等.(2)物體的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關.誤區警示1.(彈簧與單物體系統)(2019·云南昆明統考)如圖所示,固定的傾斜光滑桿上套有一質量為m的小球,小球與一輕質彈簧一端相連,彈簧的另一端固定在地面上的A點,已知桿與水平地面之間的夾角θ<45°,當小球位于B點時,彈簧與桿垂直,此時彈簧處于原長.現讓小球自C點由靜止釋放,在小球滑到底端的整個過程中,關于小球的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能,下列說法正確的是(

)A.小球的動能與重力勢能之和保持不變B.小球的動能與重力勢能之和先增大后減小C.小球的動能與彈簧的彈性勢能之和保持不變D.小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和保持不變題組訓練B解析:小球與彈簧組成的系統在整個過程中,由于只有重力和彈力做功,則機械能守恒,彈簧處于原長時彈性勢能為零,小球從C點運動到最低點過程中,彈簧的彈性勢能先減小后增大,所以小球的動能與重力勢能之和先增大后減小,選項A錯誤,B正確;小球的重力勢能不斷減小,所以小球的動能與彈簧的彈性勢能之和不斷增大,選項C錯誤;小球的初、末動能均為零,整個過程中小球的動能先增大后減小,所以小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和先減小后增大,選項D錯誤.2.(彈簧與多物體的系統)(多選)如圖所示,固定在水平面上的光滑斜面傾角為30°,質量分別為M,m的兩個物體A,B通過細繩及輕彈簧連接于光滑定滑輪兩側,斜面底端有一與斜面垂直的擋板.開始時用手按住物體A,此時A與擋板的距離為s,B靜止于地面上,滑輪兩側的細繩恰好伸直,且彈簧處于原長狀態.已知M=2m,空氣阻力不計.松開手后,關于A,B兩物體的運動(整個過程彈簧形變不超過其彈性限度),下列說法正確的是(

)A.A和B組成的系統機械能守恒B.當A的速度最大時,B與地面間的作用力為零C.若A恰好能到達擋板處,則此時B的速度為零D.若A恰好能到達擋板處,則此過程中重力對A做的功等于彈簧彈性勢能的增加量與物體B的重力勢能的增加量之和BD解析:對于A,B、彈簧組成的系統,只有重力和彈力做功,系統的機械能守恒,但對于A和B組成的系統機械能不守恒,故A錯誤;A的重力沿斜面向下的分力為Mgsinθ=mg,物體A先做加速運動,當受力平衡時A的速度最大,此時B所受的拉力為mg,B恰好與地面間的作用力為零,故B正確;從B開始運動直到A到達擋板處的過程中,細繩彈力的大小一直大于B的重力,故B一直做加速運動,故C錯誤;A恰好能到達擋板處,根據機械能守恒定律,此過程中重力對A做的功(即重力勢能的減少量)等于彈簧彈性勢能的增加量與物體B的重力勢能的增加量之和,故D正確.1.(2019·全國Ⅱ卷,18)(多選)從地面豎直向上拋出一物體,其機械能E總等于動能Ek與重力勢能Ep之和.取地面為重力勢能零點,該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖所示.重力加速度取10m/s2.由圖中數據可得(

)A.物體的質量為2kgB.h=0時,物體的速率為20m/sC.h=2m時,物體的動能Ek=40JD.從地面至h=4m,物體的動能減少100J真題試做·模擬演練AD2.(2019·海南卷,10)(多選)三個小物塊分別從3條不同光滑軌道的上端由靜止開始滑下.已知軌道1、軌道2、軌道3的上端距水平地面的高度均為4h0;它們的下端水平,距地面的高度分別為h1=h0,h2=2h0,h3=3h0,如圖所示.若沿軌道1,2,3下滑的小物塊的落地點到軌道下端的水平距離分別記為s1,s2,s3,則(

)A.s1>s2 B.s2>s3

C.s1=s3 D.s2=s3BC3.(2019·安徽黃山調研)(多選)把質量是0.2kg的小球放在豎立的彈簧上,并把球往下按至A的位置,如圖甲所示;迅速松手后,彈簧把球彈起,球升至最高位置C(圖丙),途