第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年遼寧省鞍山重點中學高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓C：x28+yA.58 B.38 C.102.拋物線y=2x2A.x=12 B.y=183.已知直線x+y+2=0與圓x2+y2A.7 B.27 C.4.已知直線l1：ax?3y+1=A.若l1//l2，則a=?6 B.若l1⊥l2，則a=5.橢圓4x2+9y2=144內有一點P(3A.3x+2y?12=0 6.下列命題中正確的是(

)A.對空間任意一點O，不共線的三點A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x，y，z為實數)，則P，A，B，C四點共面

B.若a/?/b，則存在唯一的實數λ，使a=λb

C.若空間向量7.設F1，F2是橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>bA.(1,2] B.(18.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，點A.三棱錐N?CME的體積不是定值

B.直線B1D1到平面CMN的距離是22二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若橢圓x2m+y24=A.3 B.5 C.2 D.110.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DABA.PA⊥BD

B.PB與平面ABCD所成角為π6

C.二面角A?11.下列四個命題表述正確的是(

)A.傾斜角相等的兩條直線，斜率也相等

B.圓x2+y2=4上有且僅有3個點到直線l：x?y+2=0的距離等于1

C.曲線C1：x2+y2+2x=0與曲線C2：x2+y212.已知O為坐標原點，F1，F2分別為雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的下、上焦點，C的實軸長為6，且A.雙曲線C的漸近線方程為y=±33x B.雙曲線C的離心率為233

C.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.如圖，二面角α?l?β等于150°，A，B是棱l上兩點，BD，AC分別在半平面α，β內，AC⊥l，BD⊥

14.已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0)，直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，15.若點P(x,y)在圓x2+16.已知點P在y=x2+1,x∈[?1,3四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知橢圓C：x28+y24=1的左焦點為F1，直線l：y=x?2與橢圓C交于A、B兩點．

18.(本小題12分)

已知直線l和圓C：x2+y2?2x+2y?2=0．

(1)19.(本小題12分)

如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=22，E，F分別為DC，20.(本小題12分)

已知拋物線C：x2=?2py(p>0)的焦點為F，且經過點(2,?1)．

(1)求拋物線C方程及其準線方程；

(2)過F作斜率不為0的直線交拋物線C于21.(本小題12分)

已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，PD22.(本小題12分)

已知兩定點F1(?2,0),F2(2,0)，滿足條件|PF2|?|PF1|=?2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx?1與曲線E交于A，B兩個不同的點．

(1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵橢圓C：x28+y23=1，

∴a2=8，b2=3，可得c2=a2?b2=5，2.【答案】D

【解析】解：拋物線的方程可變為x2=12y

故p=14，

其準線方程為y=?13.【答案】B

【解析】解：∵圓x2+y2=9的圓心為(0,0)，半徑r=3，

∴圓心到直線x+y+2=0的距離d4.【答案】C

【解析】解：A中，若兩條直線平行，則?a=?3×2，且2a≠2，解得a=6，所以A不正確；

B中，兩條直線垂直可得：2a+(?3)?(?1)=0，解得a=?32，所以B不正確；

C中，由兩條直線平行，由A選項可知，a=65.【答案】B

【解析】解：設弦的端點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則x1+x2=6，y1+y2=4，

把A、B坐標代入橢圓方程得，4x12+9y16.【答案】C

【解析】解：對于A，若O?平面ABC，則OA，OB，OC不共面，由空間向量基本定理可知，P為空間任意一點，

所以P，A，B，C四點不一定共面，故A錯誤；

對于B，當b=0，a≠0時，找不到實數λ，使a=λb，故B錯誤；

對于C，因為空間向量|a|=1，|b|=2，且a與b夾角的余弦值為?13，則a在b上的投影向量為|a|cosθ?b|b|=1×(?13)×b2=?7.【答案】B

【解析】解：設|MF1|=s，|MF2|=t，由橢圓的定義可得s+t=2a1，

由雙曲線的定義可得s?t=2a2，

解得s=a1+a2，t=a1?a2，

由∠F1MF2=60°8.【答案】C

【解析】解：對于A，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，則B1D1//MN，

∵BB1//DD1，且BB1=DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，∴B1D1//BD，

∴BD/?/MN，∵MN?平面CMN，BD?平面CMN，∴BD/?/平面CMN，

∵E在BD上，∴點E到平面CMN的距離不變，而△CMN面積是定值，則三棱錐E?CMN的體積不變，

即三棱錐N?CME的體積不變，故A錯誤；

對于B，∵B1D1//MN，B1D1?平面CMN，MN?平面CMN，于是B1D1/?/平面CMN，

因此直線B1D1到平面CMN的距離等于點D1到平面CMN的距離h，

MN=2,CM=CN=CD12+9.【答案】AB【解析】解：當橢圓焦點在x軸上時，a2=m，b2=4，則c=a2?b2=m?4，

由題意得，2m?4=2，解得m=10.【答案】AB【解析】解：連接BD，設AD=1，則AB=2，PD=1，

因為∠DAB=π3，故BD2=1+4?2×1×2×12=3，故BD=3，

故AB?2=AD2+DB2，故AD⊥DB，

而PD⊥平面ABCD，AD，DB?平面ABCD，

故PD⊥AD，PD⊥DB，

故可建立如圖所示的空間直角坐標系，

其中D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(?1,3,0),P(0,0,1)，

選項A，由PA=(1,0,?1),BD=(0,11.【答案】BC【解析】解：對于A：當兩條直線的傾斜角為90°時，斜率不存在，故A不正確；

對于B，圓x2+y2=4的圓心(0,0)到直線的距離d=|0?0+2|1+1=1，而圓的半徑為2，

則平行于l且距離為1的兩條直線分別過圓心以及和圓相切，

所以圓x2+y2=4上有且僅有3個點到直線l：x?y+2=0的距離等于1，故B正確；

對于C，圓C1：x2+y2+2x=0圓心(?1,0)，半徑r1=1，圓C2：x2+y2?4x?8y+m=0的圓心(2,4)，

半徑r2=2012.【答案】AD【解析】解：對于A選項，因為C的實軸長為6，所以a=3，

因為F1到雙曲線漸近線l的距離為33，所以b=33，

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±33x，故A選項正確；

對于B選項，因為c=a2+b2=6，

所以雙曲線C的離心率為ca=2，故B選項錯誤；

對于C選項，因為PQ為∠F1PF2的平分線，所以|PF2||PF1|=|F2Q||F1Q|，

因為F1(0,?6)，F2(0,6)，Q(0,2)，

所以|13.【答案】17【解析】解：∵A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內，AC⊥l，BD⊥l，

又∵二面角α?l?β的平面角θ等于150°，且AB=AC=2，BD=3，

∴CA?AB14.【答案】θ=π3【解析】解：設拋物線y2=2px(p>0)的準線為l′：x=?p2．

如圖所示，

①當直線AB的傾斜角為銳角時，

分別過點A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．

過點B作BC⊥AM交于點C．

則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．

∵|AF|=3|BF|=34|AB|，

∴|AM|?|BN|=|AC|=|AF|?|B15.【答案】8?【解析】解：因為x2+y2?4y+1=0，化為x2+(y?2)2=3，

圓心為(0,2)，半徑為3，

又(x?1)2+y2表示點(x,y)與點(1,0)的距離的平方，16.【答案】5

【解析】解：設P(m,m2+1)，?1≤m≤3，圓心C(0,a)，a>0，半徑r=32，

求|PQ|最小值，只需求|PC|的最小值．

|PC|=m2+(a?m2+1)2，

由m2∈[0,3]，設t=1+m2∈[1,2]，

則|PC|=t2?17.【答案】解：(1)聯立直線l與橢圓C的方程得：y=x?2x28+y24=1，

解得x=0，或x=83，

當x=0時，y=?2，

當x=83時，y=23，

不妨設A(【解析】(1)聯立直線l與橢圓C的方程，求出A、B的坐標，由兩點間的距離公式即可求解；

(2)求出點D到直線l的距離，結合18.【答案】解：(1)直線l在兩坐標軸上截距為0時，

直線l過點P(2,?1)，

則直線l的方程為y=?12x，即x+2y=0，

直線l在兩坐標軸上截距不為0時，

可設直線l的方程為xa?ya=1，

直線l過點P(2,?1)，

則2a+1a=1，解得a=3，直線方程為x?y?3=0，

綜上所述，直線l方程為x+2y=0或x?y?3=0．

(2)由題意圓【解析】(1)根據直線l是否過原點進行分類討論，結合直線方程截距式等知識求得正確答案．

(219.【答案】(1)證明：連接OB，OC，因為四邊形ABCD為正方形，所以OB⊥OC，

因為O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1兩兩互相垂直，

以點O為坐標原點，OB,OC,OO1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為側棱所在的直線與上下底面中心的連線O1O所成的角為45°，

則B(2,0,0)，D1(?2,0,1)，C1(0,1,1)，F(1,1,0)，E(?1,1,0)，A1(0,?1,【解析】(1)建立空間直角坐標系后，用直線的方向向量和平面的法向量垂直即可證明線面平行；

(220.【答案】(1)解：因為點(2,?1)在C上，

所以22=?2p×(?1)，

解得p=2，

則拋物線C的方程為x2=?4y，準線方程為y=1；

(2)證明：易知直線l的斜率存在，

不妨設直線l的方程為y=kx+1(k≠0)，

聯立y=kx+1x2=?4y，消去y并整理得x2?4kx?4=0，

此時Δ=16k2+16>0，

因為點M，N都在拋物線C上，

不妨設M(x1,?x124)【解析】(1)由題意，將點(2,?1)中代入拋物線C中，進而即可求解；

(2)結合(1)中所得信息，設出直線l的方程，將直線l21.【答案】(1)證明：設BC中點為E，連接BD，DE，如圖，

∵底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，

∴△BCD為等邊三角形，故DE⊥BC，

∵PD⊥AD，AD//BC，

∴PD⊥BC，又PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE，

∴BC⊥平面PDE，又PE?平面PDE，

∴BC⊥PE，又E是BC的中點，

∴PB=PC；

(2)解：∵DA⊥DE，以DA，DE分別為x軸，y軸，過D作z軸，建立如圖空間直角坐標系D?xyz，

過P作PF⊥DE于點F，由(1)得PF?平面PDE，PF⊥【解析】(1)取BC中點E，由已知條件可證明BC⊥平面PDE，再進一步證明22.【答案】解：(1)由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(?2,0),F2(2,0)為焦點的雙曲線的右支，且c=2,a=1，

可得b=1，

則曲線E的方程為x2?y2=1(x≥1)；

(2)不