第四章數列4.2.1等差數列的性質及應用

函數圖象上所有的點在同一條直線上：d＞0,等差數列單調遞增；d＜0,等差數列單調遞減；d＝0,等差數列為常數列.如果在a與b中間插入一個數A，使a,A,b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項.

復習引入1.等差數列的定義

4.等差數列的函數特征

3.等差數列的通項公式2A=a+b學習目標1.能用等差數列的定義推導等差數列的性質.2.能用等差數列的性質解決一些相關問題.3.能用等差數列的知識解決一些簡單的應用問題.新知講解例3某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經驗表明，每經過一年其價值就會減少d（d為正常數）萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的取值范圍.分析：這臺設備使用n年后的價值構成一個數列{}.由題意可知，10年之內（含10年），這臺設備的價值應不小于（2205%=）11萬元；而10年后，這臺設備的價值應小于11萬元.可以利用{}的通項公式列不等式求解.新知講解解：設使用n年后，這臺設備的價值為萬元，則可得數列{}.由已知條件，得.

于是.根據題意，得即解這個不等式組，得

所以，d的取值范圍為

利用等差數列解決實際問題的基本步驟(1)將已知條件翻譯成數學(數列)問題；(2)構造等差數列模型(明確首項和公差)；(3)利用通項公式解決等差數列問題；(4)將所求出的結果回歸為實際問題.新知講解例4已知等差數列{}的首項

，公差d=8，在{}中每組相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{}.（1）求數列{}的通項公式.（2）是不是數列{}的項？若是，它是{}的第幾項？若不是，說明理由.分析：

（1）{}是一個確定的數列，只要把，表示為{}中的項，就可以利用等差數列的定義得出{}的通項公式；

（2）設{}中的第n項是{}中的第項，根據條件可以求出n與的關系式，由此即可判斷

是否為{}的項.合作探究解：（1）設數列{}的公差為.

于是.

所以.所以，數列{}的通項公式是

.

解得所以，

是數列{}的第8項.合作探究例5已知數列{}是等差數列，

且

求證：

分析：只要根據等差數列的定義寫出，再利用已知條件即可得證.證明：設數列{}的公差為d，則，，，.所以因為

所以

合作探究拓展等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：（

）(2)若{}是等差數列，,且.則①

特別地，當

時，

②

對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即.(3)若是公差為d的等差數列，則①(c為任意常數)是公差為d的等差數列②

(c為任意常數)是公差為cd的等差數列③

是公差為md的等差數列．(4)若分別是公差為的等差數列，則數列是公差為

的等差數列.課堂練習1已知數列{}是等差數列，且

，求的值.解：∵

等差數列中，若.則∴，由條件等式得∴

2在等差數列{an}中，已知a15＝8，a60＝20，求通項公式a75.

2在等差數列{an}中，已知a15＝8，a60＝20，求通項公式a75.

解方法二(利用隔項成等差數列)因為{an}為等差數列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數列，設其公差為d，a15為首項，則a60為第四項，所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.3

(1)三個數成等差數列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數；(2)四個數成遞增等差數列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數．

3

(1)三個數成等差數列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數；(2)四個數成遞增等差數列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數．解

(2)設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四個數成遞增等差數列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四個數為－2,0,2,4.反思與感悟

等差數列的設項方法和技巧(1)當已知條件中出現與首項、公差有關的內容時，可直接設首項為a1，公差為d，利用已知條件建立方程(組)求出a1和d，即可確定此等差數列的通項公式．(2)當已知數列有3項時，可設為a－d，a，a＋d，此時公差為d.若有5項、7項、…時，可同理設出．(3)當已知數列有4項時，可設為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此時公差為2d.若有6項、8項、…時，可同理設出．當堂練習BAB30當堂練習(1)證：(2)解：當堂練習課堂總結等差數列的常用性質1若{}是等差數列，,且.則2通項公式的推廣：（

）3若分別是公差為的等差數列，

則數列是公差為

的等差數列.常見設元技巧(1)某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為