第四章多自由度系統的振動§4.1多自由度系統的動力學方程§4.2無阻尼系統的自由振動與模態§4.3振動分析的模態疊加法§4.4無阻尼系統的響應§4.5阻尼系統及其求解§4.6模態問題的一些特殊情況第四章多自由度系統的振動大局部實際系統都是多自由度系統，其中的一類，系統本身為近似的集中參數系統，可以簡化為多自由度系統，另一類是將分布參數系統通過一定的建模方法簡化得到的。本章只學習線性多自由度系統的分析方法和根本規律，解決問題的根本方法是模態疊加法，就是將n自由度系統分解成n個單自由度系統，每個單自由度系統對應于原系統的一種特定的振動形態〔即模態〕，將各個單自由度系統的振動疊加便得到原系統的振動。因此，本章的學習重點是要理解和掌握模態的求解和使用。§4.1多自由度系統的動力學方程我們先來考察多自由度線性系統動能和勢能的數學結構。對n個自由度的完整系統，設系統的廣義坐標為qi,i=1,2,…,n；系統的勢能為V(q1,q2,…,qn)，用Taylor級數展開將廣義坐標原點和零勢位均取在系統的靜平衡位置，得(4.1)因為偏導數的結果與求導次序無關，因此kij=kji。對于線性系統，(4.2)式是精確的；對于非線性系統，上式近似成立，可用來研究系統在平衡位置附近的微振動、或用來逐步逼近非線性系統。設系統受到定常約束，那么動能為廣義速度的二次齊函數(4.2)(4.3)(4.2)、(4.4)式可寫成矩陣形式(4.4)(4.5)(4.6)矩陣K稱為剛度矩陣，它是一個對稱正定或半正定矩陣；矩陣M稱為質量矩陣，它是一個對稱正定矩陣。根據Lagrange方程，系統的振動微分方程為(4.7)(4.8)下面解釋一下剛度矩陣的物理意義。由〔4.7〕式，系統的靜力平衡方程為(4.10)上式的物理意義是：剛度矩陣的第j列是使qj產生單位變形所需的廣義力列陣。可以應用這一物理含義直接列寫系統的剛度矩陣，稱為剛度影響系數法。(4.9)剛度矩陣的逆矩陣F稱為柔度矩陣柔度矩陣的第j列是Qj為單位力而使系統產生的廣義坐標變形列陣。也可以應用這一物理含義直接列寫系統的柔度矩陣，稱為柔度影響系數法。

同樣，我們也可以用影響系數法來列寫質量矩陣，方法是：令第j個廣義坐標的加速度為(4.11)其余廣義坐標的加速度為0，為此而需要在各個廣義坐標方向上施加的廣義力向量就是質量矩陣的第j列。直梁的對于直梁，經常用幾個位置的撓度作為廣義坐標，來近似描述直梁的振動。這時，采用影響系數法，建立梁的柔度矩陣是比較方便的，因而需要用到簡單邊界條件下梁的撓度公式。簡支梁在橫向集中力作用下的撓度公式為xPabl

例4.1寫出圖示梁的柔度矩陣，梁的抗彎剛度為EI。如果將梁的質量按分段區間均分到區間的兩個端點，寫出梁的質量矩陣，設梁單位長度的質量為

rl。例4.1圖ij圖(a)解：根據材料力學，參見圖a，在梁上j點作用單位橫向載荷，將在i點產生撓度fij：現在，分別在三個撓度坐標〔此題的廣義坐標〕y1、y2、y3方向作用單位力，每次得到一個撓度向量，將它們寫成矩陣就是柔度矩陣。比方在y1方向作用單位力，按照前面的撓度公式，可得三個坐標方向的撓度為：因此，柔度矩陣的第一列為類似可算出柔度矩陣的第二、第三列。柔度矩陣為系統的動能為。所以，系統的質量矩陣為其中

例4.2建立圖示三級擺的線性自由振動方程。設例4.2圖解：我們用Lagrange方程來建立振動方程。各質點的速度為所以系統的動能為系統的勢能為微振動時，qi為微量，將以上能量保存到二階微量，得〔注意：為了得到線性振動方程，能量表達式必須保存到二階微量〕代人Lagrange方程得系統的振動方程為例4.3如下圖結構，剛性矩形板由三根長度均為的無重彈性支柱支撐，支柱與板和地面剛結，每根支柱抵抗端點位移產生的彎曲剛度為12EI/L3，支柱的扭轉剛度不計。如下圖，取板的廣義坐標為A、B和E三點在水平面內的位移，即廣義坐標列向量為q={v1,v2,v3}T。用剛度影響系數法求剛度矩陣。例4.3圖ABCDE瞬心位移圖受力圖ABCDE時板的位移和受力圖圖(a)解：〔1〕求剛度矩陣第一列參見圖a，可得板的力平衡方程：；其中解得因此，剛度矩陣第一列為時板的位移和受力圖圖(b)位移圖ABCDE瞬心受力圖CBADE〔2〕求剛度矩陣第二列參見圖b，可得板的力平衡方程：；其中因此，剛度矩陣第二列為解得時板的位移和受力圖圖(c)受力圖CBADE位移圖ABCDE板平動〔3〕求剛度矩陣第三列參見圖c，可得板的力平衡方程：；其中因此，剛度矩陣第三列為解得綜合以上結果，得系統的剛度矩陣為§4.2無阻尼系統的自由振動與模態

1.自由振動與模態的產生設系統自由振動方程為(4.12)其中x為n維列向量。設方程的解為(4.13)代入〔4.12〕，得(4.14)方程〔4.14〕為方程〔4.12〕的特征〔本征〕方程，因此線性系統自由振動的求解轉化為相應特征值問題的求解。方程〔4.14〕可以求出n個特征值因為M、K矩陣為對稱實正定和半正定矩陣，根據線性代數理論，將保證以上所有特征值大于或等于零。因此對于自由振動解〔4.13〕是有意義的，它們代表了自由振動的固有頻率。由此有結論，n自由度系統有n個固有頻率。進一步，對應于每個特征值〔每個固有頻率〕，由方程〔4.14〕可求出一個特征向量，有只要所有特征值都是單根，所有特征向量將是線性獨立的。這樣，我們得到了n個特征對每一個特征對叫做一個模態〔mode〕，wi稱為模態頻率〔或固有頻率〕，fi稱為模態振型〔modalshape〕。因為以上模態都是實數，因此為實模態。對于自由振動，n個模態就是n個線性無關的自由振動解，但現在就指出，模態還有更大的意義。由此得線性系統自由振動通解為(4.15)2.模態的代數性質每個模態應滿足特征值值方程〔4.14〕：兩式相減并考慮到K、M的對稱性，得(4.16)(4.17)(4.18)(4.17)、(4.18)表示模態的一個最重要的性質，稱為振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，簡稱振型的正交性或模態的正交性。模態的其它性質是特征值問題共有的。第二個重要性質是：任一振型乘以一個不為零的常數仍為相應模態的振型。第三個重要性質是：線性系統〔4.12〕經相似變換不改變系統的特征值。(4.18)(4.19)§4.3振動分析的模態疊加法應用模態的性質，現在推導多自由度系統振動分析的分解、疊加方法。因為在所有特征值為單根的條件下，所有振型是線性無關的，因此我們取坐標變換代入無阻尼振動方程(4.20)(4.23)(4.21)(4.22)這樣，原方程已分解為〔4.23〕的n個獨立的單自由度振動方程，這種過程稱為解耦，解耦后的坐標xP稱為模態坐標或主坐標。求出主坐標的解xP(t)后，由坐標變換式〔4.20〕得到原廣義坐標的解，這個變換的本質就是線性疊加。到此，利用模態對線性系統振動進行分解、疊加的完整分析方法已建立，稱為模態疊加法。對方程〔4.23〕再作變換，可寫成標準形式。令(4.24)(4.25)標準方程〔4.26〕在多自由度系統理論中稱為正那么形式或簡正形式(normalform)，坐標xN稱為正那么坐標或簡正坐標。由廣義坐標方程〔4.21〕到簡正坐標方程〔4.26〕，可寫成一個總的坐標變換，稱為簡正變換(4.26)(4.27)下面我們回過頭去考察模態疊加法的數學和力學本質。將變換過程重寫于下：因為方程(a)的解歸根到底是一個n維向量，它可用任意一組n維向量基線性表示，并且向量基選定后，這種表示是一一對應的，因為變換(b)是非奇異變換，因此變換(b)使方程〔c〕與方程〔a〕等價〔兩個方程的解相互滿足〕。只要方程〔c〕成立，方程〔d〕必成立，反過來，假設方程〔d〕成立，那么因此方程〔c〕與方程〔d〕，即方程〔e〕等價。最終方程〔a〕與方程〔e〕等價。以上從數學上證明了模態疊加法的正確性。同時看到，在方程〔c〕兩邊同乘任何非奇異矩陣都是可行的，但是同乘FT，不但可以利用模態的正交性來對方程解耦，而且符合動力學根本原理。因為經〔a〕式變換后因此，模態疊加法不但數學上是正確的，而且完全滿足動力學根本原理；同時還將系統的動能、勢能變換為各模態能量的簡單疊加，這一結果有很大的實際應用價值。§4.4無阻尼系統的響應1.簡諧鼓勵響應本節應用模態疊加法和其它方法，對多自由度無阻尼系統在不同鼓勵下的響應，給出明確的分析計算方法。設系統簡諧鼓勵方程為(4.28)設穩態解為代入〔4.28〕得所以穩態響應為(4.29)稱為系統的阻抗矩陣或動剛度矩陣，稱為系統的頻率響應矩陣或動柔度矩陣。阻抗矩陣和頻響矩陣的物理含義是不同鼓勵頻率處鼓勵力幅〔列陣〕與響應幅值〔列陣〕之間的比例系數矩陣。實際中可以用實驗測試建立這兩個矩陣。以上方法求響應直觀、簡單，但對高階系統，實際應用卻有很大的困難，原因是頻響矩陣的獲得需要求矩陣的逆，高階矩陣求逆不但比較困難，而且精度很難保證；還有，在設計系統時，一般要求知道頻響矩陣在一段頻帶上的分布，需要逐點求出頻響矩陣，計算量太大、可信度難以保證。下面用模態疊加法來求簡諧響應。對方程〔4.28〕作模態坐標變換，得(4.30)解〔4.30〕得(4.31)比較〔4.31〕與〔4.29〕可得，頻響函數矩陣的模態展開式為(4.32)如果上式中的振型取為正那么〔簡正〕振型，那么有(4.33)顯然，當sj=1時，H(w)的非零元素，系統振幅，系統共振，因此n自由度系統有n個共振頻率。當簡諧鼓勵頻率在某個共振頻率wj附近時，系統的響應將主要由〔4.31〕式右端的第j項確定，即有(4.34)任意周期鼓勵的響應，只要將周期鼓勵展開成Fourier級數，再將級數中每項簡諧鼓勵的響應疊加即可。例4.4

求圖示系統的穩態受迫振動。解：系統的動力學方程為可求出模態為例4.4圖振型可表示成以下圖：1.80211.8022.2470.4451－0.8021－1.2470.555H13(w)H23(w)H33(w)2.瞬態響應任意鼓勵的振動方程為(4.35)兩邊作Fourier變換，得所以(4.36)(4.37)由卷積定理直接得時域表達式(4.38)根據頻響函數矩陣H(w)的模態展開式〔4.32〕或〔4.33〕，可將頻率響應〔4.36〕寫成(4.39)查Fourier變換表得到(4.40)(4.40)式可由另一條路徑得到。對(4.35)式作模態變換得(4.41)對(4.42)中的各個方程應用Duhamel積分，得(4.42)由(4.41)就得到(4.40)。§4.5阻尼系統及其求解1.阻尼的結構、系統動力學方程實際的阻尼機理都是很復雜的，對其建立精確的模型是很難的。當系統的阻尼比較弱時，處理方法還是將其等效為粘性阻尼。因此在多自由度系統中，一般將阻尼產生的廣義力假設為系統廣義速度的線性函數(4.43)將q改記為x，得系統動力學方程(4.44)矩陣C一般為對稱正定或半正定矩陣。2.響應的求解方法〔1〕模態阻尼方法這種方法認為矩陣C可用實模態矩陣近似解耦，即因此通過模態變換x=FxP方程〔4.40〕變換成n個獨立的單自由度方程(4.45)(4.46)(4.47)求出xP后，由模態變換返回到系統的原坐標，就得到系統的響應。在實際應用中，這種方法對阻尼有兩種處理方法：(1)不去建立阻尼系數矩陣C，而是憑經驗或實驗指定各階模態的阻尼比zj。(2)認為阻尼為比例阻尼，即假設阻尼系數矩陣C為(4.48)通過實驗確定比例系數a、b。例4.4圖F(t)例4.5對如圖阻尼系統，(1)建立阻尼矩陣，考察是否能表示成比例阻尼。(2)如果有k1=k2=k3=k，m1=m2=m3=m，c1=c2=c3=c，F(t)=Fcos

w

t，求系統的穩態振動。解：阻尼力產生的虛功為系統動力學方程為如果阻尼能表示成比例阻尼，那么必須有等價于因此，此題的阻尼當滿足上述條件時，可以表示為比例阻尼。如果有k1=k2=k3=k，c1=c2=c3=c，那么滿足上述條件，系統為比例阻尼，可通過模態變換解耦。取模態變換(2)復模態方法當阻尼系數矩陣C不能解耦時，以上方法不能采用。(4.49)設M、K、C均為實對稱正定矩陣。求解這一方程的根本思想仍然是采樣解耦方法，先來求出齊次方程的特征對設x=fel

t

對應的特征方程為(4.50)由此可解出2n個特征根和特征向量與實模態不同，現在li可以是實根或復根。如果li是實根，那么一定是負數，因為我們假定了阻尼矩陣C為正定，這時對應于衰減自由運動。如果li是復根，它一定具有負實部，且由于方程的系數都是實的，所以復特征根一定是共軛成對地出現，進一步復特征向量也是共軛成對地出現。每一對共軛復根對應于特定頻率和衰減率的一種衰減自由振動。系統的復特征值和復特征向量稱為系統的復模態。現在的復振型矩陣為因此它的各列不獨立，進而不能直接用它來對方程〔4.49〕解耦，但可用方程擴階的方法解決。將方程〔4.49〕改寫為(4.51)(4.52)(4.54)(4.53)容易驗證，(4.51)式的復模態經組合將是(4.54)的特征問題解再來看特征向量yi的正交性。由(4.54)有(4.55)因此我們可以用復特征向量系yi,i=1,2,…,2n對方程(4.53)解耦，解耦變換為(4.59)(4.56)(4.57)(4.58)(4.60)方程(4.53)變為(4.61)方程(4.61)對應于零初始條件的解，可用積分變換法求解。方程(4.61)兩邊作Fourier變換，得由卷積定理得(4.62)(4.63)其中算符“〞表示卷積。根據解耦變換式(4.59)，有(4.64)(4.65)到此，我們已將線性阻尼方程(4.49)的任意鼓勵解表達成復模態疊加的卷積積分形式。當系統受到簡諧鼓勵時由(4.65)式，系統的響應為(4.66)最后來求系統對應于初始擾動的響應。設系統的初始條件為：當t＝0時，有(4.67)(4.68)(4.69)(4.70)§4.6模態問題的一些特殊情況

1.等固有頻率〔重特征值〕的情形當特征值均為單根時，每個特征向量是唯一確定的〔在相差一個常數因子的條件下〕；正因為如此，n維系統的單特征值問題，有n個確定的特征向量，它們構成n維線性系統的完備解耦基。當特征方程出現重根時，對應的特征向量不能唯一確定。比方，設特征方程有二重根l1=l2=lr，對應的特征向量為f(1)與f(2)，所以現在的問題是：當r重根對應于r個線性無關的特征向量時，如何選定這r個線性無關的特征向量？答復是應按正交性條件來選取，即所選定的特征向量必須滿足M、K的正交條件。舉例說明如下：如圖4.1系統，質量和剛度矩陣為容易確定對應于l1、l4的特征向量為：m圖4.1可見結果完全正確。2.固有頻率隨系統參數的變化研究固有頻率隨參數的變化規律，目的是尋找系統的動態設計和改進振動系統的方法。設系統的特征值問題為假定質量、剛度矩陣隨參數s變化，對上式對s求偏導數(4.71)假定振型已經正那么化，即(4.72)這就是固有頻率隨參數的變化規律，它實際上是固有頻率的參數靈敏度。如果系統有多個參數可以調整，通過計算和比較靈敏度的大小，可知道調整哪些參數更有效。例4.6圖示為發動機的扭振模型。各個J為轉動慣量，各個k為軸的扭轉剛度；具體值見下表。考察二階固有頻率對各