2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）

臼各圈

正視圖便視圖

2

2.若復數z==，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（）

1+1

A.z的虛部為-iB.同=2C.z的共輔復數為-ITD.z?為純虛數

則五=(

3.已知復數Z1=6-8i,z2=-i,)

A.8-6iB.8+6iC.—8+6iD.—8—6i

4.已知雙曲線C:三一4=l（a>01>0）的左、右頂點分別為A、A，點P是雙曲線c上與4、4不重合的動點,

ab~

若則雙曲線的離心率為（）

A.72B.V3C.4D.2

5.在AABC中，AD為邊上的中線，E為AD的中點，且|福卜1,|亞|=2,ZBAC=120°,則||麗|=（）

A曬VTT6nV7

A?---------1R5■-------lx?LJ?

4424

6,將函數/（x）=cosx的圖象先向右平移?乃個單位長度，在把所得函數圖象的橫坐標變為原來的，（0>0）倍，縱

6co

34

坐標不變，得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）在（上n，二）上沒有零點，則①的取值范圍是（）

22

2282

A.(0々10匕,予B.(0々1

9Q

c.(O,-1U[-,HD.(0,1]

7.《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深，對今天的幾何學和其它學

科仍有深刻的影響.下圖就是易經中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，

八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為10根，陰陽太極圖的半徑為4加，則每塊八卦田的面積

約為()

A.47.79〃/B.54.07m2

C.57.21/D.114.43加2

8.已知/(x)=Acos?x+e)[A>0,(y>0,陷的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達式是()

9.已知函數/(x)=J-x(a>0),若函數y=/(x)的圖象恒在x軸的上方，則實數。的取值范圍為()

a

A.B.(0,e)C.(e,+oo)D.1一,11

10.已知f(x)是定義在［—2,2］上的奇函數，當xe(O,2］時，/(x)=2*-1,則/(—2)+〃0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

11.已知向量比=(2COS2%G),力=(l,sin2x),設函數/(力=沅?方，則下列關于函數y=/(x)的性質的描述正

確的是()

n

A.關于直線1='對稱B.關于點五,()對稱

12

在-。上是增函數

C.周期為2%D.y=,0

12.三棱錐S-ABC中，側棱SAL底面4BC,AB=5,BC=8,ZB=60°,SA=2下,則該三棱錐的外接球

的表面積為()

642564362048國

A.—71B.------7tC.-------71D.------y137r

33327

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2c

13.口一尸)的展開式中x的系數為.

%3

14.已知函數/(x)=f-4x—4.若在區間(租—1,—2㈤上恒成立.則實數機的取值范圍是.

15.已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球。的表面上.若球。的表面積為

28肛則該三棱柱的側面積為.

16.(2x-')6的展開式中常數項是.

X

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓C:5+}=l(a>b>0),左、右焦點為片、F2,點尸為C上任意一點，若|尸制的最大值為

3,最小值為1.

(1)求橢圓。的方程；

(2)動直線/過點尸2與C交于P、。兩點，在％軸上是否存在定點A,使/24入=/。4后成立，說明理由.

18.(12分)已知函數〃x)=ln(x+l)+《p其中。為實常數.

(1)若存在〃〉加2-1,使得“X)在區間(〃?,〃)內單調遞減，求。的取值范圍；

(2)當。=0時，設直線y=履一1與函數y=/(x)的圖象相交于不同的兩點A(XQJ,證明：

.2

%1+4+2>%.

19.(12分)已知圓。：Y+y2=i和拋物線￡：y=f_2,。為坐標原點.

(1)已知直線/和圓。相切，與拋物線E交于〃,N兩點，且滿足QWLQV,求直線/的方程；

(2)過拋物線E上一點P(x°,y°)作兩直線PQ,尸A和圓。相切，且分別交拋物線E于。,R兩點，若直線QR的斜率

為-6,求點P的坐標.

20.(12分)等差數列｛叫的公差為2,4，/，氏分別等于等比數列也｝的第2項，第3項，第4項.

(1)求數列｛4｝和也｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝滿足S+與+…+&=〃用，求數列｛%｝的前2020項的和.

a\a2an

21.(12分)已知函數/(x)=lnx.

(1)求函數g(x)=〃x)-x+l的零點；

(2)設函數/(x)的圖象與函數y=x+：-l的圖象交于A(玉，X),B(X、，y)a<xj兩點，求證：a<xix2-x｝；

(3)若攵>0,且不等式(7-1)““》耳》-1『對一切正實數上恒成立，求A的取值范圍.

22.(10分)如圖1,在等腰MA43C中，NC=90°,D,E分別為AC,AB的中點，尸為8的中點，G在線

段BC上，且3G=3CG。將AM應沿OE折起，使點A到4的位置(如圖2所示)，且4尸，。。。

(D證明：BE//平面4尸G；

(2)求平面AFG與平面ABE所成銳二面角的余弦值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積6=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，體積為

=-(2+6)24=32,因此總的體積V=16+32=48.

2

考點：三視圖和幾何體的體積.

2.D

【解析】

將復數-整理為1T?的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.

【詳解】

22(1-/),.

l+z(l+z)(l-z)

Z的虛部為一1，A錯誤；回=jm=0,8錯誤；z=l+i,C錯誤；

z2=(l-i)2=-2i,為純虛數，。正確

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復數的模長、實部與虛部、共朝復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.

3.B

【解析】

分析：利用/=-1的恒等式，將分子、分母同時乘以i,化簡整理得主=8+6i

Z2

詳解：-=^—r-=6<=8+6/,故選B

z?-i-i

點睛：復數問題是高考數學中的常考問題，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的

模、共朝復數以及復數的乘除運算，在運算時注意『=7符號的正、負問題.

4.D

【解析】

22

設P（y,%）,A（—a,O）,A（?,0）,根據G/嘰=3可得需=3焉一3/①，再根據又雪一咚=1②，由①②可

ab

得僅2-3/）/=/僅2-3/）,化簡可得c=2a,即可求出離心率.

【詳解】

解：設尸[，先），4（一。,0），&（。,0）,

卜「入kpA]=3,

A————=3,即尤=3年-3a2,①

又因_q=1,（2）,

a2b2

由①②可得僅2—3/）x：=a2（/??—3a,,

Vx0^±a9

b1-3a2=0，

b2=3a2=c2—a29

:.c=2a9

即e=2,

故選：D.

【點睛】

本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題.

5.A

【解析】

根據向量的線性運算可得而=74月一1,利用I麗『=麗2及|麗|=1,|*|=2,ZBAC=120°計算即可.

【詳解】

22244

所以|而『二巫2=—AB2-2x-xi/lBAC+—AC2

164416

9,23,/1、1-2

=——xl—-—xlx2x(——)+—x2-

168216

19

—,

16

故選：A

【點睛】

本題主要考查了向量的線性運算，向量數量積的運算，向量數量積的性質，屬于中檔題.

6.A

【解析】

5萬

根據產Acos(sx+5)的圖象變換規律，求得g(x)的解析式，根據定義域求出0%一丁的范圍，再利用余弦函數的

圖象和性質，求得。的取值范圍.

【詳解】

函數/(X)=cosX的圖象先向右平移-萬個單位長度，

可得y=cos[x-碇J的圖象，

再將圖象上每個點的橫坐標變為原來的--(口＞0)倍(縱坐標不變),

a)

得到函數g(x)=cos"-曾的圖象,

jr37r

若函數g(x)在(-,y)上沒有零點，

.C07T575萬3。乃57

二①2<1,解得OvgWI,

7T,/(071571

--------K71<------------

22~6解得常泊修]_

又＜

71,、3①715冗3

一+&〃?之

12~17~6

28

當友=0時，解一W69V—

399

2

當A=?l時，0<刃工1,可得0<@W—,

9

2..28

/.60G(0,-]|J[-,-].

VJy

故答案為：A.

【點睛】

本題考查函數尸Acos(Ox+0)的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數形結合思想，構建不等關系式，求解可

得，屬于較難題.

7.B

【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的:，兩面積作差即可求解.

O

【詳解】

由圖，正八邊形分割成8個等腰三角形，頂角為效=45,

8

設三角形的腰為“，

a10-

由正弦定理可得.135。=sin45°，解得。=10亞sin至，

sin^—2

2

所以三角形的面積為:

z\2

Sfgin尋一。萬一

=25(V2+1),

所以每塊八卦田的面積約為：25(V2+l)-1x^-x42?54.07.

故選：B

【點睛】

本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎題.

8.D

【解析】

由圖象求出A以及函數)，=/(x)的最小正周期T的值，利用周期公式可求得"的值，然后將點的坐標代入函

數)'=/(6的解析式，結合。的取值范圍求出。的值，由此可得出函數y=/(x)的解析式?

【詳解】

由圖象可得A=2,函數y=/(x)的最小正周期為7=2乂仁-看卜442"3

—,/.co=—=-?

3T2

將點(￡,2,入函數y=/(x)的解析式得了代卜2cos中看+夕］=2,得cos(e+?)=l,

717171冗3兀771、冗

*.*----<(P<一,---<(P~\----<----，貝!---=09/.(P=-----,

2244444

因此，/(x)=2cos?一

故選：D.

【點睛】

本題考查利用圖象求三角函數解析式，考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.

9.B

【解析】

函數y=以x)的圖象恒在%軸的上方，J一x>o在(o,+“)上恒成立.即—>；t,即函數y=J的圖象在直線y=x

aaa

上方，先求出兩者相切時”的值，然后根據“變化時，函數y=C的變化趨勢,

從而得a的范圍.

a

【詳解】

由題4—x>0在(0,+8)上恒成立.即

aa

y=—的圖象永遠在y=x的上方，

a

x

設>=J與kx的切點伍,為),貝！J",解得，=e,

ae'°

-=xo

Ia

易知。越小，y=J圖象越靠上，所以0<a<e.

a

故選:B.

【點睛】

本題考查函數圖象與不等式恒成立的關系，考查轉化與化歸思想，首先函數圖象轉化為不等式恒成立，然后不等式恒

成立再轉化為函數圖象，最后由極限位置直線與函數圖象相切得出參數的值，然后得出參數范圍.

10.A

【解析】

由奇函數定義求出/(O)和/(一2).

【詳解】

因為fM是定義在［-2,2］上的奇函數，，/(O)=0.又當xe(0,2)時，

/(%)=2^-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.?./(-2)+/(0)=-3.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數的奇偶性，掌握奇函數的定義是解題關鍵.

11.D

【解析】

f(x)=2cos2x+>/3sin2x-cos2x+>/3sin2x+1=2sin(2x+￡+l,當％=強時,sin(2x+令=siny±1

TT

不關于直線X=F對稱；

12

當x=二"時,2sin(2x+二)+1=1關于點(—―,1)對稱；

12612

/(x)得周期T=與=7，

當xe(-￡,0)時,2x+Je(—，.\左)在(—g,0)上是增函數.

36263

本題選擇D選項.

12.B

【解析】

由題，側棱底面ABC,AB=5,8C=8,/8=60°,則根據余弦定理可得8C=J52+82—2X5X8X；=7,

2rBC7,r_J_

△ABC的外接圓圓心’一嬴萬一返.”一耳

2

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d=LsA=?則外接球的半徑R=

,則該三棱

2

錐的外接球的表面積為S=4兀R?=言兀

點睛：本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.80.

【解析】

只需找到(2-%2)5展開式中的x4項的系數即可.

【詳解】

(2-￡)5展開式的通項為&|=625-'(-/),=(_1)，《25-'/,令丫=2,

則T、=(-1)2C^2\4=80x4,故(2-：)的展開式中x的系數為80.

故答案為：80.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數，考查學生的計算能力，是一道容易題.

i4-H)

【解析】

首先解不等式再由/(x)<l在區間(加一1,一2m)上恒成立，即(加—1,一2加)4—1,5)得到不等組，解得即

可.

【詳解】

解：一4%—4且/(x)<l,即X2—4X—4<1解得-l<x<5,即xe(—l,5)

因為/(x)<1在區間(加一1，-2m)上恒成立,，(加T,一2加)o(-l,5)

-1<m-1

加一1<一2，"解得OVx<L即xe0,-I

33；

-2m<5

故答案為：0,—

【點睛】

本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.

15.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在△OQA中，利用。質2+0102=042即可得到關于*的方程，解方程即可解決.

【詳解】

由已知，4萬六=28%，解得R=J7,如圖所示，設底面等邊三角形中心為。一

直三棱柱的棱長為x,則0人=孝》，。。=；*，故0狀2+。］。2=。42=/?2=7,

22

即,+?=7,解得X=26,故三棱柱的側面積為3/=36.

故答案為：36.

【點睛】

本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.

16.-160

【解析】

試題分析：常數項為4=C；（2X）3（—-）3=-160.

X

考點：二項展開式系數問題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)—+^-=1(2)存在；詳見解析

43

【解析】

（1）由橢圓的性質得a+c=3,a—c=l,解得a,c后可得b,從而得橢圓方程;

（2）設P（芭，x）,Q（%,%），A（〃，O），當直線/斜率存在時，設為y=Z（尤一1）,代入橢圓方程，整理后應用韋達定

理得X+Z，%%，代入心/>+心。=（）由恒成立問題可求得驗證/斜率不存在時也適合即得.

【詳解】

a+c=3a=2

解：（1）由題易知=解得

［附L=a-c=\

22

所以橢圓。方程為三+匕=1

43

⑵設尸

當直線/斜率存在時，設為y=k（x-l）與橢圓方程聯立得

（4左2+3）%2一8左2%+4%2-12=0,顯然/〉0

8k24攵2—12

所以玉+尤2—；——,X.-X.=——-------

4k2+31-4公+3

因為NP&K=ZQAF2,:.kAP+kAQ=0

f%=:(石一1)(々一〃)+攵(4-1)(%-〃)=0

xt-nx2-n(王一〃)(％2-〃)

c/,、/、c，、8公一248(〃—1)公6〃+8〃公

化簡—(〃+1)(西+%)+2〃=0,------------.——H----z----=0

1-v八"4^+34k2+3

?4/C2+3

解得6〃-24=0即〃=4

所以此時存在定點A(4,0)滿足題意

當直線/斜率不存在時，A（4,0）顯然也滿足

綜上所述，存在定點A（4,0）,使NPA^=NQA瑪成立

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設而不求的思想方法.設而不求思

想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標，一般就用此法.

18.（1）（4,+8）；（2）見解析.

【解析】

（1）將所求問題轉化為r（x）<o在（-1,物）上有解，進一步轉化為函數最值問題；

2

+/+.2。20羽+11

2

(2)將所證不等式轉化為」~=—>———T-—-，進一步轉化為-Tl—>ln%+l,然后再通過構

%!-x2In。]+l)-ln(尤2+1).+1[

x2+1

x2+1

造=Inf一改二?加以證明即可.

f+1

【詳解】

(1)/(%)=（X>—1）,根據題意，/（x）在（一1,內）內存在單調減區間,

x+1(x+2)-

則不等式f(x)<0在(-L”)上有解，由」7一,“c、2<0得“〉('+2-，設gQ)=(x+2)一,

x+\(x+2)2x+1x+\

則g（x）=（葉1）一+2（四）上1=*+］）+_1_+224,當且僅當尤=0時，等號成立,

X+lX+1

所以當x>-1時，g（X）inin=4,所以存在x>-1,使得4>g。）成立，

所以。的取值范圍為（4,+8）。

./(%.)-/(x)ln(x+1)—ln(x+1)

(2)當。=0時，/(x)=ln(x+l),則人八“2Z__L2_2從而

xx-x2xx-x2

c2(x-x)

所證不等式轉化為國+W+2—77—2-不妨設玉>%>-1，則不等式轉化

ln(x1+l)-ln(x2+1)

、%1+x+22%+1+々+1〉2

2>-------------------,即

InUj+P-ln^+l)H

王一々(X1+1)—(%2+1)ln(Xj+1)—ln(x2+1)

X.+1.c

-----F+12+]

三_>否+1,令上==乙則不等式轉化為￡±1〉_L,因為

丁+1]mx2+it-1Int

%+1>%+1>0,貝「>1,從而不等式化為Int>任二D,設〃??)=In/-次二則〃2")=1一廠工

/+1t+\t(f+1)

=-一勺＞0,所以/〃⑺在（1,+8）上單調遞增，所以，"⑺＞皿1）=0

?r+l）-

即不等式Inf＞@二2成立，故原不等式成立.

【點睛】

本題考查了利用導數研究函數單調性、利用導數證明不等式，這里要強調一點，在證明不等式時，通常是構造函數,

將問題轉化為函數的極值或最值來處理，本題是一道有高度的壓軸解答題.

19.(1)y=-l；(2)或p(6i).

【解析】

試題分析：直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于M,N兩點，且滿足QW_LQV,

只需數量積為0,要聯立方程組設而不求，利用坐標關系及根與系數關系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步

利用直線QR的斜率找出坐標滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點的坐標.

/、/、煙

試題解析：（1）解：設/：y=Ax+bM（X，y）,N（X2,J2）,由/和圓。相切，得「—=1.

皿z+1

“2=公+1.

y=kx+b

由｛'.。消去y,并整理得f—履一〃—2=0,

y=廠—2

:.%+/=女，%/=一0-2.

由。得O而./=0,即百工2+%%=0?

:,王9+(Axj+〃)(仇+/?)=().

:.(1+r)西工2+奶(工1+%2)+〃=0，

.\(1+^2)(-/?-2)+)12/7+/72=0,

；.h2（-b-2）+（b2-l）b+b2=0.

b2+b=0?

=或Z?=0（舍）.

當b=-l時，k=0,故直線/的方程為y=-L

⑵設P（x。,%）,。（4yj,/?（/，%），則kQR==在二2H.二2）/+馬?

二七+/=-73.

|y()-^xd

設/QR：y-%=勺(x-%)，由直線和圓相切,得，J,二］-=1，

即（X；T*—2%%匕+jVo-1=0.

設。R：y-%=A2(X—Xo),同理可得：(無：-1)￡一2%0乂)&2+尤-1=0-

故仁義是方程(片一1)公一2%為女+/一1=0的兩根，故匕+%2=4智

X。一1

y=&X+yn-kFo

由得—一也一%一2=。，故.+寸匕.

同理40+々=k2，貝！|2升,+玉+々=匕+左2，即2.0一百=2,0)；.

龍0T

.a。—"又忙2),解的=_曰或G.

當天=_時，%=一大；當天)=V3時，%=1?

故尸-殍V或尸⑼).

2022

20.(1)勺=2〃，bn=2"；(2)2019x2+8.

【解析】

(1)根據題意同時利用等差、等比數列的通項公式即可求得數列｛4｝和｛〃,｝的通項公式;

(2)求出數列｛%｝的通項公式，再利用錯位相減法即可求得數列｛%｝的前2020項的和.

【詳解】

(1)依題意得：b；=b2b4,

所以(q+6>=(q+2)(q+14),

所以Q：+12q+36=片+16q+28,

解得4=2.:.an—2n.

設等比數列也｝的公比為心所以嚕=5=2,

又%==4,.-.bn=4x2"2=2".

⑵由⑴知,勺=2〃也=2".

因為2+2+…?+—+%=2〃+i①

%%%。〃

當時,幺+義+…+邑■=2〃②

%生％

由①一②得，^=2\即c.二〃2田，

又當〃=1時，q=〃我=乎不滿足上式，

「8,77=1

"C"~[n-2n+',n>2'

數歹!J｛c“｝的前2020項的和52儂=8+2x2,+3x24+…+2020x22021

=4+lx2?+2x2?+3x2,+…+2020x2的

23420202021

7；O2O=1x2+2x2+3x2+???+2019x2+2020x2③,

貝(I2%20=1x2,+2x2"+3x+…+2019x2?⑼+2020x22022④，

由③一④得：一心。=2?+2^+24+…+22021-2020x22022

O2fl_,2020、

——--2O2OX22022=^1-2O19x22022,

1-2

所以金20=2019X22°22+4,

2022

所以$2020=^020+4=2019X2+8.

【點睛】

本題考查等差數列和等比數列的通項公式、性質，錯位相減法求和，考查學生的邏輯推理能力，化歸與轉化能力及綜合運

用數學知識解決問題的能力.考查的核心素養是邏輯推理與數學運算.是中檔題.

21.(l)x=l⑵證明見解析(3)0<￡,2

【解析】

(1)令g(x)=/ar-x+l,根據導函數確定函數的單調區間，求出極小值，進而求解;

(2)轉化思想，要證"4々一%，即證*七(1」%二"々一玉，即證加盧)>1一五，構造函數進而求證;

X2-X]x}x2

(3)不等式，—l)/"*(x—)2對一切正實數x恒成立，?.?(%2-1)祇—A(x——設

X4-1

〃(犬)=/心-處?，分類討論進而求解.

【詳解】

11—Y

解：(1)令g(x)=/nx-x+l,所以g'(x)=——1=--,

XX

當xe(0,1)時，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調遞增;

當XG(l,+8)時，g")<0,g(x)在(1,+8)單調遞減;

所以g(x),“,“=g(l)=0,所以g(x)的零點為x=l.

,a.

LYlXy=X]+----1

%"I3-Inx.、

(2)由題意：,,二。=%X)?(1----=-----),

7a9一%

InX)=/-----11

九2

要證a<—Xx2—M,即證%x2<1-3~—)<Xtx2-X,,即證加(上)>1-—,

令”;由(1)知…,當且僅當“1時等號成立,所以土、,

則Int>1

即心1所以原不等式成立.

(3)不等式，一1)仇X./(A)2對一切正實數x恒成立,

,/