第15章概率

15.2隨機事件的概率

基礎過關練

題組一古典概型的判斷

1.（多選）下列有關古典概型的說法中正確的是（）

A.試驗的樣本空間的樣本點總數有限

B.每個事件出現的可能性相等

C.每個樣本點出現的可能性相等

D.已知樣本點總數為〃，若隨機事件A包含2個樣本點,則事件4發生的概率

尸（A）=；

2.（2021江蘇東臺中學月考）下列不是古典概型的是（）

A.在6個完全相同的小球中任取1個

B.任意拋擲兩顆骰子，所得點數之和作為樣本點

C.已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個,從中任意取出

1個球,觀察球的顏色

D.從南京到北京共有n條長短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率

題組二古典概型的概率

3.（2022廣東中山期中）中國古樂中的五音一般指五聲音階，依次為宮、商、角、

徵、羽.若從這五個音階中任取三個音階，則這三個音階中不含“商”的概率為

（）

A3B.iC.ZD.W

52104

4.（2022江蘇江浦高級中學期末）從3個不同大小的“冰墩墩”和2個不同大小的

“雪容融”掛鏈中任選2個，則恰好選中1個，冰墩墩”和1個“雪容融”掛鏈的概率為

（）

A.-B.-C.-D.-

105510

5.（2021江蘇如皋第一中學期中）隨著高中新課程改革的不斷深入,數學試題的命

題形式正在發生著變化.某省示范性高中在數學試卷中加入了多項選擇題.每道多

項選擇題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.一同學解答一道多選題時，隨機

選了兩個選項，若答案恰為兩個選項，則該同學做對此題的概率為（）

A-iB搟C.iD.^

6.（2022江蘇徐州高級中學階段測試）一個口袋內裝有大小相同的1個白球和已編

有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球.求：

（1）樣本空間的樣本點的總數n-

（2）事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；

（3）摸出2個黑球的概率.

7.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐標系中，設點Q（xj）,其中

且/y.求：

⑴點。（%,》）不在％軸上的概率；

⑵點。（九,回正好在第二象限的概率.

題組三古典概型的綜合應用

8.（2021山東日照期中）若。是從1,2,5三個數中任取的一個數力是從0,1,2三個數

中任取的一個數，則3的概率是（）

A.-B.2C.2D.士

9439

9.將一顆骰子連續拋擲兩次，記先后出現的點數分別為Ac,則方程^+bx+c=0有兩

個相等實根的概率為（）

A七B.卷C.套D.；

10.老師為研究男女同學學習數學的差異情況,對某班50名同學（其中男同學30名,

女同學20名）采取分層抽樣的方法，抽取一個容量為10的樣本進行研究，則女同學

甲被抽到的概率為.

題組四隨機事件的頻率與概率

11.下列關于概率的說法正確的是（）

A.頻率就是概率

B.任何事件的概率都在（0,1）之間

C.概率是客觀存在的，與試驗次數無關

D.概率是隨機的，與試驗次數有關

12.（2022江蘇海安高級中學階段測試）隨著互聯網的普及，網上購物已逐漸成為消

費時尚，為了解消費者對網上購物的滿意情況,某公司隨機對4500名網上購物消

費者進行了調查（每名消費者限選一種情況回答），統計結果如表：

滿意比較非常

不滿意滿意

情況滿意滿意

人數200n21001000

根據表中數據，估計在網上購物的消費者中對網上購物“比較滿意''或"滿意”的概

率是（）

A二B2C.iiD.U

1551515

13.（2021江蘇吳江高級中學月考）某同學做立定投籃訓練，共3組，每組投籃次數和

命中的次數如下表：

第一組第二組第三組合計

投籃次數100200300600

命中的次數68125176369

命中的頻率0.680.6250.5870.615

根據表中的數據信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的

估計是（）

A.0.68B.0.625C.0.587D.0.615

能力提升練

題組一古典概型概率的求解

1.（2020江蘇侯集高級中學期中）不透明的袋子內裝有相同的五個小球，分別標有

編號1?5,現有放回地隨機摸取三次,則摸出的三個小球的編號乘積能被10整除的

概率為（）

A.二B—CAD.上

12512525125

2.（2021江蘇南通中學期中）安排甲、乙、丙三位志愿者到編號為1,2,3的三個教

室打掃衛生，每個教室恰好安排一位志愿者，則恰好不安排甲到3號教室的概率為

（）

A.-B.-C.-D.i

3443

3.（多選）（2021浙江寧波期末）某博覽會安排了分別標有序號1,2,3的三輛車，按等

可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案.方案一:不乘

坐第一輛車，若第二輛車的序號大于第一輛車的序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛

車;方案二:直接乘坐第一輛車.記該嘉賓按方案一與方案二乘坐到3號車的概率分

別為尸112,則（）

A.P1P2W4B3.P1-P2W

C.P1+P2WD.PI>P2

4.（2022江蘇南通如東期末）河圖、洛書是我國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，蘊

含著深奧的宇宙星象之理，是中華文化之源,其中河圖的排列結構是一、六在后，二、

七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數，若從陽

數和陰數中各取一數分別記為。力,則滿足|a/|=l的概率為（）

0-0-0—0—0—0—0

A.-B.-C.-DT

25252525

5.（2022江蘇白塔高級中學階段測試）2022年4月16日9時56分,神舟十三號載

人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸,三位航天員翟志剛、王亞平、葉光富結束

了183天的太空之旅.為了增強學生的科技意識和愛國情懷,某區教育主管部門在

全區進行了一次專題講座，講座結束后，每個學校選取學生代表進行了一次專題測

試比賽.某校高一年級派出2男1女，共3名同學,高二年級派出2男2女，共4名同

學.

（1）若從該校高一年級和高二年級報名的同學中各任選1名進行比賽，求選出的2

名同學性別相同的概率；

（2）若從該校高一年級和高二年級報名的這7名同學中任選2名進行比賽,求選出

的2名同學來自同一年級的概率.

題組二古典概型的綜合應用

6.（2021江蘇南京雨花臺中學期中）已知a,bR2},若向量相=（4力）,〃=（1』）,則

向量"2與〃所成的角為銳角的概率是（）

A.-B.i

164

C.-D.-

816

7.（多選）（2021江蘇南京第十三中學期末）從集合A={-l,-3,2,4}中隨機選取一個數

記為從集合8={-5』,4}中隨機選取一個數記為。，則（）

\.ab>0的概率是

B.a+b>0的概率是3

C.直線y=ax+b不經過第三象限的概率是g

D.lna+inb>\的概率是卷

8.（2020江蘇揚州公道市冬階段測試）若於）和g⑴是定義在同一區間上的兩個函

數,對任意%￡［1,2］,都有|/U）+ga）|*,則稱危）和g（%）是“親密函數”.設

段）=or,g（x）W.若{1,2}力￡{-1,1,2},則於）和g㈤是“親密函數”的概率

為.

9.（2021江蘇南通天星湖中學期中）人耳的聽力情況可以用電子測聽器檢測，正常

人聽力范圍為。?25分貝,并規定測試值在區間（0,5］內為非常優秀，測試值在區間

（5,10］內為優秀.某校500名學生參加了聽力測試，從中隨機抽取了50名學生的測

試值作為樣本，制成如圖所示的頻率直方圖.

（1）從總體的500名學生中隨機抽取1人,估計其測試值在區間（0,10］內的概率；

（2）已知樣本中聽力為非常優秀的學生有4人，估計總體中聽力為優秀的學生人數;

（3）現選出一名學生參加另一項測試，測試規則如下:四個音叉的發音情況不同，由

強到弱的編號分別為1,2,3,4.測試前將音叉順序隨機打亂，被測試的學生依次聽完

后，將四個音叉按發音由強到弱排序，所對應的音叉編號分別為0,。2,43,。4.記7=11-

0|+|2-“2|+|3七3|+|4-。4|,若用丫描述被測試者的聽力偏離程度，求上2的概率.

答案與分層梯度式解析

第15章概率

15.2隨機事件的概率

基礎過關練

1.ACD

2.B選項A中，在6個完全相同的小球中任取1個，每個球被抽到的機會均等，且該試驗包含的基本事件

共有6個，故A是古典概型;選項B中,由于點數的和出現的可能性不相等，故B不是古典概型;選項C中,

該試驗滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型;選項D中，滿足古典概型的有限性和等可能

性，故D是古典概型.

易錯警示

古典概型需滿足兩個條件:①樣本點總數有限;②各個樣本點出現的可能性相等.

3.A從這五個音階中任取三個音階的樣本空間{(宮商角),(宮商徵),(宮商羽),(宮角徵),(宮角羽),(宮

徵羽),(商角徵),(商角羽),(商徵羽),(角徵羽)}，共有10個樣本點，

其中不含“商”的基本事件有{(宮角徵)},{(宮角羽)},{(宮徵羽)},{(角徵羽)}，共4個，

???這三個音階中不含“商”的概率為於=今

故選A.

4.C3個不同大小的“冰墩墩”掛鏈分別記為a,b,c,2個不同大小的“雪容融”掛鏈分別記為A,民從這5個

掛鏈中任選2個，樣本空間。={(&m，A)M,8),S,c),S,A),(6,8),("),(c,6),(4,8)},共有10個樣本點，

恰好選中1個“冰墩墩”和1個“雪容融”掛鏈的有(。4),38),俗/),(瓦功,(“),。,8),共6種情況,

所以恰好選中1個“冰墩墩”和I個“雪容融”掛鏈的概率為卷=/

故選C.

5.A設這道題的四個選項分別為A,B,C,D,該同學隨機選了兩個選項為事件M,則

M={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6個樣本點，

因為答案恰為兩個選項且正確答案只有1個,所以該同學做對此題的概率為;.

6

故選A.

6.解析由于4個球的大小相同，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型.

(1)將黑球編號為黑1,黑2,黑3,從裝有4個球的口袋內摸出2個球的樣本空間0={(黑1,黑2),(黑1,

黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)}，共有6個樣本點，即〃=6.

(2)事件“摸出2個黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3個樣本點.

(3)樣本點總數〃=6,事件“摸出2個黑球”包含的樣本點個數為3,故摸出2個黑球的概率為

6Z

解題模板

利用古典概型公式計算概率的步驟

(1)確定樣本空間的樣本點的總數n.

(2)確定所求事件A包含的樣本點的個數m.

(3)P(A)哼

7.解析因為且，所以滿足條件的情況共有90種.

(1)設事件A為“點Q(x,y)不在x軸上”，易知事件“點Q(x,y)在x軸上”包含9個基本事件，所以事件A包含

的情況種數為90-9=81,因此,P(4)=黑卷

(2)設事件B為“點Q(x,y)正好在第二象限"，則x<0,y>0,所以事件B包含20個基本事件,因此,P(8)琮=3

8.C取得的數組伍⑼的可能情況為(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(5,0),(5,1),(5,2),共9種，

滿足蘇>〃的有(1Q),⑵o),(2,1),(5,0),(5,1),(5,2),共6種，

所以護的概率為智

故選C.

9.B將一顆骰子連續拋擲兩次，其包含的樣本點的總數為36,方程e+bx+c=0有兩個相等實根的充要條

件為〃=4c,滿足要求的各種情況如表所示：

b123456

滿足b2=4c的

010100

樣本點個數

由此可知使方程x2+bx+c=O有兩個相等實根的樣本點個數為0+1+0+1+0+0=2,故所求概率為尚二.

36lo

10.答案|

解析由題意知，從20名女同學中應該抽取1OX*=4(人)，所以女同學甲被抽到的概率為/=*

11.C

12.C由題意得,“=4500-200-2100-1000=1200,所以隨機調查的網上購物消費者中對網上購物“比較滿

意”或“滿意”的總人數為1200+2100=3300,所以隨機調查的網上購物消費者中對網上購物“比較滿意”

或“滿意”的頻率為鬻=3由此估計在網上購物的消費者中對網上購物“比較滿意''或"滿意”的概率為5

45001515

13.D由題可知,試驗次數越多，頻率越接近概率,對可能性的估計誤差越小.

故選D.

能力提升練

1.A有放回地隨機摸取三次，共有53=125種結果，

摸出的三個小球的編號乘積能被10整除包含的樣本點分四類：

第一類:5出現兩次,2或4出現一次，共6種情況，

第二類:5出現一次,2或4出現兩次，共6種情況，

第三類:5出現一次,2或4出現一次,1或3出現一次，共24種情況，

第四類:5,2,4各出現一次，共6種情況，

,滿足條件的樣本點共有42個，

...摸出的三個小球的編號乘積能被10整除的概率為我.

2.A甲、乙、丙三位志愿者到編號為1,2,3的三個教室打掃衛生，每個教室恰好安排一位志愿者，用

(a,b)(a=甲、乙、丙,。=1,2,3)表示可能的結果，則有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙

,2),(丙,1),共6種情況,

其中恰好不安排甲到3號教室有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4種情況，

所以恰好不安排甲到3號教室的概率為白目.

o3

故選A.

3.CD分別標有序號1,2,3的三輛車,按等可能隨機順序前往酒店接嘉賓的可能情況有

(1,2,3),(132),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6種，

該嘉賓按方案一乘坐到3號車包含的情況有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3種，

故該嘉賓按方案一乘坐到3號車的概率Pi=：=；.

該嘉賓按方案二乘坐到3號車包含的情況有(3,1,2),(3,2,1),故P2=；=；.

o3

PP2=2PLP2=WP>P2,P+P2=汨S.

66236

故選CD.

4.B由題圖可知陽數為1,3,5,7,9,陰數為2,4,6,8,10,則選出的①力)的所有可能情況有

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(5,10),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(7/

0),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),(9,10),共25種，其中滿足|小目=1的有

(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共9種情況，

所以所求概率為費

故選B.

5.解析記該校高一年級派出的2名男同學為Ai4%女同學為。；高二年級派出的2名男同學為8，&,2

名女同學為加力2.

(1)從該校高一年級和高二年級報名的同學中各任選1名的樣本點有

(4出),(4,%),(A?,6),(Ai,岳),(42,8),(A2,82),(4,仇),如,岳),3,8),5,82),3,仇),(。力2),共12個，

其中選出的2名同學性別相同的樣本點有(A1,B|),(4,B2),(A2,B|),(A2,B2),(，協),3力2),共6個.

故選出的2名同學性別相同的概率為導方

(2)從該校高一年級和高二年級報名的這7名同學中任選2名的樣本點有

(AIm),(4,a),(A1,Bi),(Ai,%),(Ai),(Ai/2),(A2,a),(A2,BI),(A2,52),(A2,0I),(42乃2),3,81),3,歷),(5,B

2)?0),(3/2)?2力］),(%力2)，31/2),共21個.

其中選出的2名同學來自同一年級的樣本點有

(AI,A2),(AI,a),02,a),(31/2),(%,匕i),(82,82),(8102),共9個.

故選出的2名同學來自同一年級的概率為/=*

6.B向量枕與〃所成的角為銳角等價于，”?〃>(),且W?與”的方向不同，即加〃=(4,〃>(1』)=4+〃>0,則滿足

條件的向量，"有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中機=(1,1)或加=(2,2)時，與〃同向，故舍去,故共有4

種情況滿足條件，

又m的取法共有4x4=16種，所以向量加與〃所成的角為銳角的概率是於斗

164

故選B.

7.AC由題意可得3,力所有可能的結果有(-1,-5),(-1』),(-1,4),(-3,-5),(-3,1),(-3,4),(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-

5),(4/),(4,4),共12種.

對于A,滿足ab>0的結果有(-1,-5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6種，

所以ab>0的概率為M3,故A正確；

對于B,滿足a+b>0的結果有(-1,1),(-1,4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7種，所以a+b>0的概率為看故B

不正確；

對于C,因為直線y=ax+b不經過第三象限，所以4<0,生0,所以滿足直線y="x+匕不經過第三象限的結果有

(-1,1),(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4種，所以直線y=ax+b不經過第三象限的概率為白卷故C正確；

對于D,因為Ina+lnb=ln(ab)>l,所以。>0力>(),加>e，所以滿足Ina+lnb>\的結果有(2,4),(4,1),(4,4),共3種,

故Ina+\nb>\的概率為子/故D不正確.

故選AC.

8.答案|

解析段)和g(x)是“親密函數”等價于辰+生。引1,2］,

當a-\,b--\時，辰+