北師大版初中數學七年級（上冊）各章知識點

第一章豐富圖形世界

1、生活中常見的幾何體：

2、常見幾何體的分類：

、平面圖形折成立體圖形應注意：

、圓柱的側面展開圖是一個長方形；表面全部展開是兩個和一個；圓錐的

表面全部展開圖是一個和一個；正方體表面展開圖是一個和兩個；長方體

的展開圖是一個大和兩個。

、特殊立體圖形的截面圖形：

（）長方體、正方形的截面是：三角形、四邊形（長方形、正方形、梯形、

平行四邊形）、五邊形、六邊形。

（）圓柱的截面是：長方形（正方形）、圓

（）圓錐的截面是：三角形、圓。

0球的截面是：圓。

、我們經常把從正面看到的圖形叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖,

從上面看到的圖叫做俯視圖。

、常見立體圖形的俯視圖

幾何體長方體正方體圓錐圓柱球

主視圖長方形正方形三角形長方形圓

俯視圖長方形正方形圓（有一點）圓圓

左視圖長方形正方形三角形長方形圓

、點動成線，線動成面，面動成體。

第二章有理數

、正數與負數

在以前學過的以外的數前面加上負號“一”的數叫負數。

與負數具有相反意義，即以前學過的以外的數叫做正數(根據需要，有時

在正數前面也加上

、有理數

0正整數、、負整數統稱，正分數和負分數統稱。

整數和分數統稱。既不是數，也不是數。

0通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸。

數軸三要素：原點、、單位長度。

在直線上任取一個點表示數，這個點叫做。

0只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

例：的相反數是；的相反數；的相反數是。

0數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作。

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；的絕對值

是。兩個負數，絕對值大的反而小。

、有理數的加減法

()有理數加法法則：

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大

的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數的兩個數相加和為O

③一個數同相加，仍得這個數。

0有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。

、有理數的乘除法

0有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

任何數同相乘，都得。

0乘積是的兩個數互為倒數。例：的倒數是:；絕對值是；相反數是。

0有理數除法法則：除以一個不等于的數，等于乘這個數的倒數。

有理數除法法則：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

除以任何一個不等于的數，都得。

0求個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫騫。在的次方中，

叫做底數，叫做指數。

負數的奇次帚是負數，負數的偶次塞是正數。正數的任何次騫都是正數，

的任何次幕都是。的奇次方是；的偶次方是。

第三章、字母表示數

、用運算符號把數和表示數的字母連接而成的字母叫做代數式。

、求代數式值要注意：字母的取值必須確保代數式有意義；字母的取值要

確保它本身所表示的數量有意義。

、代數式的系數應包括這一項前的符號；如果代數式的某一項只含有字母

因數，它的系數就是或，而不是。

、同類項所含的字母相同；相同字母的指數也相同。

注意：同類項與系數無關，與字母的排列順序無關；幾個常數項也是同類

項。

、合并同類項法則：在合并同類項時，把同類項的系數相加，字母和字母

指數不變。

、去括號法則：

0括號前是號，把括號和它前面的號去掉后，原括號里的符號不

變

（）括號前市號，把括號和它前面的號去掉后，原括號里的變

第四章平面圖形與位置關系

、直線、射線、線段

0直線、射線、線段的區別：直線無端點：射線一個端點：線段有兩個

端點。

0線段公理：兩點的所有連線中，線段最短（兩點之間，線段最短）。

連接兩點間的線段的長度，叫做。

（）線段的比較方法：疊和法和度量法。

0線段的中點：如果是的中點，那么；反之，如果點在

線段上，并且有（=）,那么點是的中點。

例：是線段的中點，可得g,或者，

,。

、角的度量與表示

0度分；分；周角度；平角度=倍周角

（）角的三種表示方法：用三個大寫英文字母表示或用一個大寫英文字母表

示（如：<,<;用希臘字母表示（如VB）；用數字表示（如V,V）

角的比較與運算

0角按大小分可分為銳角、直角、鈍角、平角、周角。

0角平分線把一個角分成兩個相等的角，角平分線是一條射線。

如果射線是〈的角平分線，則我們可知道V=<=1<

<=<=<,<<<,<<<

、平行線

0如何畫平行線？

0平行線的性質：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；

平行線的性質：兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

、垂直

0如何畫垂線？

0垂線的性質：過一點有且只一條直線與已知直線垂直。

垂線的性質：直線外一點與直線上任意一點的連線中，垂線最短。

垂直的性質：點到直線的最短距離。

、有趣的七巧板：

七巧板是由個等腰直角三角形，一個正方形，一個平行四邊形組成的。

第五章一元一次方程

、從算式到方程

方程是含有未知數的等式。

方程都只含有一個未知數，未知數的指數都是一次，這樣的方程叫做一元

一次方程。

就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的

解。

、等式的性質：

（）.等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。

0等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為的數，結果仍相等。

、把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。（要移就得變）

、在日歷牌中，一個豎列上相鄰兩個數相差，下面的數比上面的數大;

一個橫行上相鄰的兩個數相差，后面的數比前面的數大。

、常用體積公式：

長方形的體積長寬高；正方形的體積邊長邊長邊長；

棱柱的體積底面積高；圓柱的體積底面積高；

圓錐的體積gx底面積高。

、常用的相等關系：

0利潤售價成本；利潤率利潤：成本（進價）

0利息本金利率時間；本息和本金利息本金（利率期數）

利息稅利息稅率本金利率時間；

、行程問題的主要類型與相等關系：

0追與問題：甲乙同向不同地，貝|」：追者走的路程前者走的路程兩地間的

距離。

0問題：甲乙相向而行，貝I」：甲走的路程乙走的路程總路程。

、解應用題的關鍵是找出關鍵句，建立等量關系。

第六章生活中的數據

、把一個大于的數表示成義10"的形式（其中《V為正整數），就叫科學記

數法。

(從一個數的左邊第一個非數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數

的有效數字。)

、扇形統計圖的性質：各扇形分別代表每部分在總體中的百分比大小；各

扇形占整個圓的百分比之和為。

、0扇形圓心角的度數360。該部分占總體的百分比；

0每部分占總體的百分比部分數量：總體百分比該部分所對應圓心角的

度數與360°的比。

、制作扇形統計圖的步驟是：先統計百分比，計算出圓心角，畫出扇形，

標上百分比。

、各統計圖的特點：

0扇形統計圖能清楚地表示出部分在總體中的百分比；

0折線統計圖能清楚地反映反映事物的變化情況；

()條形統計圖能清楚地表現出每個項目的具體數目。

第七章可能性

必然事件：事先能肯定它

確定事件｛不可能事件：事先能肯定它一定

事件｛不確定事件：事先無法肯定它

、事情發生的可能性的大小：

機會大的不確定事件不一定發生，機會小的不確定事件也不一定不發生，

機會大大小只能說明發生的程度不同。

、要學會判斷事情發生的可能性的大小。

北師大版初中數學七年級（下冊）各章知識點

第一章：整式的運算

單項式

整式多項式

同底數塞的乘法

募的乘方

積的乘方

得運算同底數塞的除法

零指數幕

負指數塞

整式的加減

單項式與單項式相乘

整式的乘法單項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘

整式運算平方差公式

完全平方公式

單項式除以單項式

整式的除法

多項式除以單項式

一、單項式

、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。

、單項式的數字因數叫做單項式的系數。

、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。

、單獨一個數或一個字母也是單項式。

、只含有字母因式的單項式的系數是或一。

、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。

、單獨的一個非零常數的次數是。

、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

、單項式的系數包括它前面的符號。

、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。

、單項式的系數是或一時，通常省略數字

、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。

二、多項式

、幾個單項式的和叫做多項式。

、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。

、多項式中不含字母的項叫做常數項。

、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。

、多項式的每一項都包括項前面的符號。

、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。

、多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。

三、整式

、單項式和多項式統稱為整式。

、單項式或多項式都是整式。

、整式不一定是單項式。

、整式不一定是多項式。

、分母中含有字母的代數式不是整式；而是今后將要學習的分式。

四、整式的加減

、整式加減的理論根據是：去括號法則，合并同類項法則，以與乘法分配

律。

、幾個整式相加減，關鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。

、幾個整式相加減的一般步驟：

0列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

0按去括號法則去括號。

0合并同類項。

、代數式求值的一般步驟：

0代數式化簡。

0代入計算

0對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算。

五、同底數幕的乘法

、個相同因式（或因數）相乘，記作，讀作的次方（幕），其中為底數，

為指數，的結果叫做幕。

、底數相同的幕叫做同底數塞。

、同底數募乘法的運算法則：同底數塞相乘，底數不變，指數相加。即：

?O

、此法則也可以逆用，即：.。

、開始底數不相同的塞的乘法，如果可以化成底數相同的幕的乘法，先化

成同底數幕再運用法則。

六、騫的乘方

、募的乘方是指幾個相同的塞相乘。（）表示個相乘。

、得的乘方運算法則：塞的乘方，底數不變，指數相乘。（）。

、此法則也可以逆用，即：（）（）0

七、積的乘方

、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。

、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后

把所得的幕相乘。即。。

、此法則也可以逆用，即：（）o

八、三種“塞的運算法則”異同點

、共同點：

0法則中的底數不變，只對指數做運算。

0法則中的底數（不為零）和指數具有普遍性，即可以是數，也可以是

式（單項式或多項式）。

0對于含有個或個以上的運算，法則仍然成立。

、不同點：

0同底數塞相乘是指數相加。

0幕的乘方是指數相乘。

0積的乘方是每個因式分別乘方，再將結果相乘。

九、同底數騫的除法

、同底數塞的除法法則：同底數得相除，底數不變，指數相減，即：-（力）。

、此法則也可以逆用，即：：（W）。

十、零指數塞

、零指數塞的意義：任何不等于的數的次幕都等于，即：（力）。

十一、負指數募

、任何不等于零的數的一次得，等于這個數的次得的倒數，即：

注：在同底數塞的除法、零指數騫、負指數塞中底數不為。

十二、整式的乘法

（一）單項式與單項式相乘

、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的募

分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。

、系數相乘時，注意符號。

、相同字母的塞相乘時，底數不變，指數相加。

、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數一起寫在積里，作為

積的因式。

、單項式乘以單項式的結果仍是單項式。

、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。

（二）單項式與多項式相乘

、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配率用單

項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：（）o

、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

、積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。

、混合運算中，注意運算順序，結果有同類項時要合并同類項，從而得到

最簡結果。

（三）多項式與多項式相乘

、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每

一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：（）（）o

、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進

行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項

之前，積的項數等于兩個多項式項數的積。

、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同

號得正，異號得負”。

、運算結果中有同類項的要合并同類項。

、對于含有同一個字母的一次項系數是的兩個一次二項式相乘時，可以運

用下面的公式簡化運算：000。

十三、平方差公式

、00,即：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方之差。

、平方差公式中的、可以是單項式，也可以是多項式。

、平方差公式可以逆用，即：（）（）。

、平方差公式還能簡化兩數之積的運算，解這類題，首先看兩個數能否轉

化成

（）?（）的形式，然后看與是否容易計算。

十四、完全平方公式

、即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它

們的積的倍。

、公式中的，可以是單項式，也可以是多項式。

、掌握理解完全平方公式的變形公式：

0

0

0

、完全平方式：我們把形如：的二次三項式稱作完全平方式。

、當計算較大數的平方時，利用完全平方公式可以簡化數的運算。

、完全平方公式可以逆用，即：

十五、整式的除法

（一）單項式除以單項式的法則

、單項式除以單項式的法則：一般地，單項式相除，把系數、同底數塞分

別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指

數一起作為商的一個因式。

、根據法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數、

相同字母與不相同字母三部分分別進行考慮。

（二）多項式除以單項式的法則

、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一

項分別除以單項式，再把所得的商相加。用字母表示為：

、多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號。

第二章平行線與相交線

余角

余角補角

補角

角兩線相交對頂角

同位角

三線八角內錯角

同旁內角

平行線的判定

平行線

平行線的性質

尺規作圖

一、余角與補角

、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其

中一個角是另一個角的余角。

、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其

中一個角是另一個角的補角。

、互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數有關,

與角的位置無關。

、余角和補角的性質：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。

、余角和補角的性質用數學語言可表示為：

0則（同角的余角（或補角）相等）。

0且則（等角的余角（或補角）相等）。

、余角和補角的性質是證明兩角相等的一個重要方法。

二、對頂角

、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。

、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂

角。

、對頂角的性質：對頂角相等。

、對頂角的性質在今后的推理說明中應用非常廣泛，它是證明兩個角相等

的依據與重要橋梁。

、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂

角。

三、同位角、內錯角、同旁內角

、兩條直線被第三條直線所截，形成了個角。

、同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同

旁，這樣的一對角叫做同位角。

、內錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁,

這樣的一對角叫做內錯角。

、同旁內角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同

旁，這樣的一對角叫同旁內角。

、這三種角只與位置有關，與大小無關，通常情況下，它們之間不存在固

定的大小關系。

四、六類角

、補角、余角、對頂角、同位角、內錯角、同旁內角六類角都是對兩角來

說的。

、余角、補角只有數量上的關系，與其位置無關。

、同位角、內錯角、同旁內角只有位置上的關系，與其數量無關。

、對頂角既有數量關系，又有位置關系。

五、平行線的判定方法

、同位角相等，兩直線平行。

、內錯角相等，兩直線平行。

、同旁內角互補，兩直線平行。

、在同一平面內，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平

行。

、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平

行。

六、平行線的性質

、兩直線平行，同位角相等。

、兩直線平行，內錯角相等。

、兩直線平行，同旁內角互補。

、平行線的判定與性質具備互逆的特征，其關系如下：

在應用時要正確區分積極向上的題設和結論。

七、尺規作線段和角

、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規作圖稱為尺規作圖。

、尺規作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。

、尺規作圖中直尺的功能是：

0在兩點間連接一條線段;

0將線段向兩方延長。

、尺規作圖中圓規的功能是：

0以任意一點為圓心，任意長為半徑作一個圓；

0以任意一點為圓心，任意長為半徑畫一段弧；

、熟練掌握以下作圖語言：

0作射線XX;

0在射線上截取XXxx；

0在射線義義上依次截取xx義義xx；

0以點火為圓心，XX為半徑畫弧，交義義于點x；

0分別以點X、點X為圓心，以XX、XX為半徑作弧，兩弧相交于點

x；

0過點x和點火畫直線xx(或畫射線XX)；

0在NXxx的外部(或內部)畫Nxxx/xxx；

、在作較復雜圖形時，涉與基本作圖的地方，不必重復作圖的詳細過程，

只用一句話概括敘述就可以了。

()畫線段xxxx；()畫Nxxx/xxx；

第三章生活中的數據

單位換算

科學記數法

近似數

生活中的數據精確數

有效數字

精確度

統計圖（象形統計圖）

一、單位換算

、長度單位：

0百萬分之一米又稱微米，即微米米。

0億分之一米又稱納米，即納米米。

0微米納米。

0米分米厘米毫米微米納米。

、面積單位

0千米米分米厘米毫米微米納米。

、質量單位

0噸千克克。

二、科學計數法表示絕對值小于的較小數據

、用科學計數法表示絕對值小于的較小數據時，也可以表示為義的形式，

其中&II（為負整數，等于這個數的第一個不為零的數字前面所有零的

個數（包括小數點前面的一個零）的相反數。

三、近似數與精確數

、精確數是指一個物體或描述一事件的真實數值。

、近似數是指用測量或統計的方法、四舍五入、估計等得到的數。

、近似數產生的原因有：

0由于測量工具和測量方法的局限性不可能得到物體的準確值;

0有些事件也不可能或沒有必要得出它的精確值。

、近似數的真值的范圍大于或等于與它的最末位的半個單位的差而小于與

它的最末位的半個單位的和。例如近似數的真值范圍為大于或等于而小

于。

四、有效數字

、對于一個近似數，從左邊第一個不為零的數字起，到精確到的數位為止,

所有的數字都叫這個數的有效數字。

、對于科學計數法型的近似數，由義(<II<)中的來確定，的有效數

字就是這個近似數的有效數字。與義無關。

、對帶有記數單位的近似數，由數字來確定，與單位無關。

五、近似數的精確度

、近似數的精確度是近似數精確的程度。

、近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。

、精確度是由該近似數的最后一位有效數字在該數中所處的位置決定的。

、對于單獨一個近似數，根據最后一位有效數字在該數中所處的位置直接

確定精確度。

、對用科學記數法表示的數應注意將其還原為原來的數后，再確定其精確

度。

、對帶單位的近似數，也要還原為原來的數后再確定其精確度。

、對近似數進行取舍時需要注意一般形式與科學記數法形式。

六、統計圖(表)

、條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。

、折線統計圖：能清楚地反映事物的變化情況。

、扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

、象形統計圖：能直觀地反映數據之間的意義。

、從統計圖中獲取更多的有用信息，應做到以下幾步：

0審清統計圖橫軸和縱軸代表的意義，若是象形統計圖則要看準每個形

象圖標代表什么意義；

0把各部分的數據找出來；

0以圖中讀出的信息作為參考（已知），推測相關量的變化趨勢或規律;

0對需要計算后回答的信息要準確地進行計算。

、制作象形統計圖

0象形統計圖比一般的統計圖更直觀、更簡潔生動，極富有個性和情感,

但準確性差一些。

0制作象形統計圖沒有固定的格式，需要具有較強的想像力和創造力。

0制作象形統計圖：

一是要明確制作的統計圖的特點；

二是要結合具體問題，分析數據特點和規律，通過設計簡明、直觀、

形象的統計圖，加深對問題的理解。

第四章概率

必然事件

事件不可能事件

不確定事件

概率等可能性游戲的公平性

概率的定義

概率幾何概率

設計概率模型

一、事件

、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。

、必然事件：事先就能肯定一定會發生的事件。也就是指該事件每次一定

發生，不可能不發生，即發生的可能是（或）。

、不可能事件：事先就能肯定一定不會發生的事件。也就是指該事件每次

都完全沒有機會發生，即發生的可能性為零。

、不確定事件：事先無法肯定會不會發生的事件，也就是說該事件可能發

生，也可能不發生，即發生的可能性在和之間。

、三種事件都是相對于事件發生的可能性來說的，若事件發生的可能性為，

則為必然事件；若事件發生的可能性為，則為不可能事件；若事件不一定

發生，即發生的可能性在S之間，則為不確定事件。

、簡單地說，必然事件是一定會發生的事件；不可能事件是絕對不可能發

生的事件；不確定事件是指有可能發生，也有可能不發生的事件。

、表示事件發生的可能性的方法通常有三種：

0用語言敘述可能性的大小。

0用圖例表示。

0用概率表示。

二、等可能性

、等可能性：是指幾種事件發生的可能性相等。

、游戲規則的公平性：就是看游戲雙方的結果是否具有等可能性。

0首先要看游戲所出現的結果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事

件，若有一個必然事件或不可能事件，則游戲是不公平的；

0其次如果兩個事件都為不確定事件，則要看這兩個事件發生的可能性

是否相同；即看雙方獲勝的可能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同,

游戲才是公平的。

0游戲是否公平，并不一定是游戲結果的兩種情況發生的可能性都是二

分之一，只要對游戲雙方獲勝的事件發生的可能性一樣即可。

三、概率

、概率：是反映事件發生的可能性的大小的量，它是一個比例數，一般用

來表示，0事件可能出現的結果數所有可能出現的結果數。

、必然事件發生的概率為，記作（必然事件）；

、不可能事件發生的概率為，記作（不可能事件）；

、不確定事件發生的概率在S之間，記作V（不確定事件）V。

、概率是對“可能性”的定量描述，給人以更直接的感覺。

、概率并不提供確定無誤的結論，這是由不確定現象造成的。

、概率的計算：

0直接數數法：即直接數出所有可能出現的結果的總數，再數出事件可

能出現的結果數，利用概率公式直接得出事件的概率。

0對于較復雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。

四、幾何概率

、事件發生的概率等于此事件發生的可能結果所組成的面積（用表示）除

以所有可能結果組成圖形的面積（用全表示），所以幾何概率公式可表示

為（）全，這是因為事件發生在每個單位面積上的概率是相同的。

、求幾何概率：

0首先分析事件所占的面積與總面積的關系；

0然后計算出各部分的面積；

0最后代入公式求出幾何概率。

五、設計概率模型（游戲或事件）

、設計符合要求的簡單概率模型（游戲或事件）是對概率計算的逆向運

用。

、設計通常分四步：

0首先分析設計應符合什么條件；

0其次確定選用什么圖形表示更合理；

0然后再按一定要求和操作經驗來設計模型；

0最后再通過計算或其他方法來驗證設計的模型是否符合條件。

第五章三角形

三角形三邊關系

三角形三角形內角和定理

角平分線

三條重要線段中線

高線

全等圖形的概念

全等三角形的性質

三角形

全等三角形全等三角形的判定

（適用于與

全等三角形的應用利用全等三角形測距離

作三角形

一、三角形概念

、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形,

可以用符號表示。

、頂點是、、的三角形，記作“△”，讀作“三角形

、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊、、，有時也用，，來表示,

頂點所對的邊用表示，邊、分別用，來表示；

、N、/、N為△的三個內角。

二、三角形中三邊的關系

、三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

用字母可表示為＞＞＞；?＜o

、判斷三條線段能否組成三角形：

0當＞＞＞同時成立時，能組成三角形；

0當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。

、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而

小于兩邊的和，即.

三、三角形中三角的關系

、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于。

、三角形按內角的大小可分為三類：

0銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形；

0直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用表示

“直角三角形”，其中直角/所對的邊稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩

邊稱為直角三角形的直角邊。

注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。

0鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。

、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數。

、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。

、任意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內角。都具有三邊

關系和三內角之和為的性質。

、三角形內角和定理包含一個等式，它是我們列出有關角的方程的重要等

量關系。

四、三角形的三條重要線段

、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。

、三角形的角平分線：

0三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交

點之間的線段叫做三角形的角平分線。

0任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。

、三角形的中線：

0在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的

中線。

0三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。

、三角形的高線：

0從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間

的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。

0任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。

區別相同

中線平分對邊三條中線交于三角形內部（）都是線段

0都從頂點畫出

0所在直線相交于一點

角平分線平分內角三條角平分線交于三角表內部

高線垂直于對邊（或其延長線）銳角三角形：三條高線都在三角

形內部

直角三角形：其中兩條恰好是直角邊

鈍角三角形：其中兩條在三角表外部

五、全等圖形

、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。

、全等圖形的性質：全等圖形的形狀和大小都相同。

、全等圖形的面積或周長均相等。

、判斷兩個圖形是否全等時，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。

、全等圖形在平移、旋轉、折疊過程中仍然全等。

、全等圖形中的對應角和對應線段都分別相等。

六、全等分割

、把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割。

、對一個圖形全等分割：

0首先要觀察分析該圖形，發現圖形的構成特點；

0其次要大膽嘗試，敢于動手，必要時可采用計算、交流、討論等方法

完成。

七、全等三角形

、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“也”連接，讀作“全等

于”。

、用“四”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置

±o

、全等三角形的性質：全等三角形的對應邊、對應角相等。這是今后證明

邊、角相等的重要依據。

、兩個全等三角形，準確判定對應邊、對應角，即找準對應頂點是關鍵。

八、全等三角形的判定

、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或

、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或

、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”

或

、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或

、注意以下內容

0三角形全等的判定條件中必須是三個元素，并且一定有一組邊對應相

等。

0三邊對應相等，兩邊與夾角對應相等，一邊與任意兩角對應相等，這

樣的兩個三角形全等。

0兩邊與其中一邊的對角對應相等不能判定兩三角形全等。

、熟練運用以下內容

0熟練運用三角形判定條件，是解決此類題的關鍵。

0已知“”，可考慮：第三邊，即”“；：夾角，即

0已知"“，可考慮：另一角，即""或夾角的另一邊，即

0已知“”，可考慮：任意一邊，即或

、三角形的穩定性：根據三角形全等的判定方法0可知，只要三角形三

邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個

性質叫做三角形的穩定性。

九、作三角形

、作圖題的一般步驟：

0已知，即將條件具體化；

0求作，即具體敘述所作圖形應滿足的條件；

0分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；

0作法，即根據分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖

過程；

0證明，即驗證所作圖形的正確性（通常省略不寫）。

、熟練以下三種三角形的作法與依據。

0已知三角形的兩邊與其夾角，作三角形。

0已知三角形的兩角與其夾邊，作三角形。

0已知三角形的三邊，作三角形。

十、利用三角形全等測距離

、利用三角形全等測距離，實際上是利用已有的全等三角形，或構造出全

等三角形，運用全等三角形的性質（對應邊相等），把較難測量或無法測

量的距離轉化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得到被測距

離。

、運用全等三角形解決實際問題的步驟：

0先明確實際問題應該用哪些幾何知道解決；

0根據實際問題抽象出幾何圖形；

0結合圖形和題意分析已知條件；

0找到解決問題的途徑。

十一、直角三角形全等的條件

、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，

簡寫成“斜邊、直角邊"或

、“”是直角三角形特有的判定條件，對非直角三角形是不成立的；

、書寫時要規范，即在三角形前面必須加上““字樣。

十二、分析綜合法

、我們在平時解幾何題時，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。

、綜合法：從問題的條件出發，通過分析條件，依據所學知識，逐步探索,

直到得出問題的結論。

、分析法：從問題的結論出發，不斷尋找使結論成立的條件，直至已知條

件。

、在具體解題中，通常是兩種方法結合起來使用，既運用綜合法，又運用

分析法。

第六章變量之間的關系

自變量

變量的概念

因變量

變量之間的關系表格法

關系式法

變量的表達方法速度時間圖象

圖象法

路程時間圖象

一、變量、自變量、因變量

、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。

、如果一個變量隨另一個變量的變化而變化，則把叫做自變量，叫做因變

量。

、自變量與因變量的確定：

0自變量是先發生變化的量；因變量是后發生變化的量。

0自變量是主動發生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發生變化

的量。

0利用具體情境來體會兩者的依存關系。

二、表格

、表格是表達、反映數據的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之

間的關系。

0首先要明確表格中所列的是哪兩個量；

0分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；

0結合實際情境理解它們之間的關系。

、繪制表格表示兩個變量之間關系

0列表時首先要確定各行、各列的欄目；

0一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；

0寫出欄目名稱，有時還根據問題內容寫上單位；

0在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應列出因變量的各個

變化取值。

0一般情況下，自變量的取值從左到右應按由小到大的順序排列，這樣

便于反映因變量與自變量之間的關系。

三、關系式

、用關系式表示因變量與自變量之間的關系時，通常是用含有自變量（用

字母表示）的代數式表示因變量（也用字母表示），這樣的數學式子（等

式）叫做關系式。

、關系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。

、求兩個變量之間關系式的途徑：

0將自變量和因變量看作兩個未知數，根據題意列出關于未知數的方程,

并最終寫成關系式的形式。

0根據表格中所列的數據寫出變量之間的關系式;

0根據實際問題中的基本數量關系寫出變量之間的關系式；

0根據圖象寫出與之對應的變量之間的關系式。

、關系式的應用：

0利用關系式能根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值；

0同樣也可以根據任何一個因變量的值求出相應的自變量的值；

（）根據關系式求值的實質就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代

數式的值（求因變量的值）。

四、圖象

、圖象是刻畫變量之間關系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。

、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。

、用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸（又稱橫軸）上

的點表示自變量，用豎直方向的數軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。

、圖象上的點：

0對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數據即為該

點自變量的取值；

0過該點作縱軸的垂線，垂足的數據即為該點相應因變量的值。

0由自變量的值求對應的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的

值的點，過這個點作橫軸的垂線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線,

縱軸上垂足所表示的數據即為因變量的相應值。

0把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應的自變量的值。

、圖象理解

0理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量；

0看該點所對應的橫軸、縱軸的位置（數據）；

0從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。

五、速度圖象

、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示

時間；

、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：

0上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；

0水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；

0下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。

六、路程圖象

、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示

時間；

、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：

0上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠離起點（或已知定

點）;

0水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止；

0下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運動返回起點（或已

知定點）。

七、三種變量之間關系的表達方法與特點：

表達方法特點

表格法多個變量可以同時出現在同一張表格中

關系式法準確地反映了因變量與自變量的數值關系

圖象法直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢

第七章生活中的軸對稱

軸對稱圖形

軸對稱分類

軸對稱

角平分線

軸對稱實例線段的垂直平分線

等腰三角形

生活中的軸對稱等邊三角形

軸對稱的性質

軸對稱的性質

鏡面對稱的性質

圖案設計

軸對稱的應用

鑲邊與剪紙

一、軸對稱圖形

、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么

這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點：

0指一個圖形;

0存在一條直線（對稱軸）;

0圖形被直線分成的兩部分互相重合；

0軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條；

0線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形;

二、軸對稱

、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩

個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。可以說成：這兩個圖形關于某條

直線對稱。

、理解軸對稱應注意：

0有兩個圖形；

0沿某一條直線對折后能夠完全重合；

0軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱

圖形；

0對稱軸是直線而不是線段；

軸對稱圖形軸對稱

區別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關系

對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條

共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合

如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；

如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個圖形），那么這兩部分關于這條對稱

軸成軸對稱。

三、角平分線的性質

、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。

、性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

四、線段的垂直平分線

、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，

又叫線段的中垂線。

、性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。

五、等腰三角形

、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；

、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；

、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。

、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊

上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。

、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰

三角形的對稱軸。

、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱

為“三線合一”。

、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質，一般三角形不具備這一重要

性質。

、“三線合一”是等腰三角形特有的性質，是指其頂角平分線，底邊上的

高和中線，這三線，并非其他。

、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角

、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法：

0兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

0如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫

為“等角對等邊

六、等邊三角形

、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角

形。

、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角

形的所有性質。

、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都

是它的對稱軸。

、等邊三角形的三邊都相等，三個內角都是。

圖形定義性質

等腰三角形

有兩邊相等的三角形、兩腰相等，兩底角相等。

、頂角X底角。底角（頂角）。

、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合一

、軸對稱圖形，有一條對稱軸。

等邊三角形（又叫正三角形）

三邊都相等的三角形、三邊都相等，三內角相等，且每個內角都等于。

、具有等腰三角形的所有性質。

、軸對稱圖形，有三條對稱軸。

七、軸對稱的性質

、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應點（對稱點），能

夠重合的線段稱為對應線段，能夠重合的角稱為對應角。

、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。

、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸垂直

平分。

、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應線段、對應角都相等。

、類似地，軸對稱圖形的性質有：

0軸對稱圖形對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。

0軸對稱圖形的對應線段、對應角相等。

0根據軸對稱圖形的性質可求作軸對稱圖形的對應點、對應線段或對應

角，并由此能補全軸對稱圖形。

八、圖案設計

、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形，實際上是軸對稱圖形的性質的

靈活運用。

、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形的步驟：

0首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點；

0然后利用軸對稱的性質，作出其相應的對稱點（對應點所連的線段被

對稱軸垂直平分）。

0分別連接其對稱點，則可得其對稱圖形。

、表達方式（以點為例）：

0過點作對稱軸的垂線，垂足為;

0延長到'至！I,使'，則點'就是點關于直線的對稱點。

0在復雜的作圖中，也可以敘述為：作出點關于直線的對稱點'.

、在運用軸對稱設計圖案時，就注意以下幾點：

0要有明確的設計意圖；

0創意要新穎獨特；

0設計出的圖案要符合要求；

0能清楚地表達自己的設計意圖和制作過程。

、圖案的設計除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉、倒置、重復等

手段和形式。

、設計的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。

九、鏡面對稱

、鏡面對稱的有關性質：

0任何一個平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，

一個軸對稱圖形在鏡子中的像仍是軸對稱圖形。

0若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側在鏡中的像是其右（左）

側；

0若一個平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像

也靠近鏡面；

、關于數字、、、在鏡面中像的兩個結論：

0如果寫數字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的、、、所成的像與原

來的數字完全一樣。

0如果紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫的、、這三個數字在鏡中的像和

原來的數字完全一樣。

、像與物體到鏡面的距離相等。

、像與物體的對應點連線被鏡面垂直平分。

、由鏡中的時間來判斷真實時間是近幾年來中考的一個熱點。時間的表示

有用一般數字表示的，也有直接用鐘表來表示的。在判斷時，大家要注意

靈活利用鏡面對稱的知識來加以解決。

北師大版初中數學八年級（上冊）各章知識點

第一章勾股定理

、勾股定理

直角三角形兩直角邊，的平方和等于斜邊的平方，即

、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長，，有關系/+/=,2,那么這個三角形是直角三

角形。

3、勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數。

第二章實數

一、實數的概念與分類

、實數的分類

正有產數

零有限小數和無限循環小數

負有理數

正柳數

無理數無限不循環小數

負無理數

、無理數：無限不循環小數叫做無理數。

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類:

0開方開不盡的數，如V7,血等；

0有特定意義的數，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數，如（等；

0有特定結構的數，如…等；

0某些三角函數值，如等

二、實數的倒數、相反數和絕對值

、相反數

實數與它的相反數時一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,

零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原

點對稱，如果與互為相反數，則有，一，反之亦成立。

、絕對值

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（》）。

零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若，則〉；若，則

、倒數

如果與互為倒數，則有，反之亦成立。倒數等于本身的數是和。零沒

有倒數。

、數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意

上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應

的，并能靈活運用。

、估算

三、平方根、算數平方根和立方根

、算術平方根：一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正

數就叫做的算術平方根。特別地，的算術平方根是。

表示方法：記作f,讀作根號。

性質：正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

、平方根：一般地，如果一個數的平方等于，即，那么這個數就叫做

的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數的平方根記做“土耳”,讀作“正、負根號

性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；

負數沒有平方根。

開平方：求一個數的平方根的運算，叫做開平方。

y[a>0「

注意〃■的雙重非負性<

a>I

、立方根

一般地，如果一個數的立方等于，即那么這個數就叫做的立方根（或

三次方根）。

表示方法：記作夜

性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零

的立方根是零。

注意：。=_妙，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

四、實數大小的比較

、實數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；數

軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的

反而小。

、實數大小比較的幾種常用方法

0數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

0求差比較：設、是實數，

a-b>0<^>a>b,

a—b=Ooa=b,

a-b<0<^>a<b

（）求商比較法：設、是兩正實數，

—>10a>b;_=1oa=b;—<\oa<b\

bbb

o絕對值比較法：設、是兩負實數，則|4>忖=。<人

0平方法：設、是兩負實數，則/>b2=a<。。

五、算術平方根有關計算（二次根式）

、含有二次根號“4”；被開方數必須是非負數。

、性質：

（）函）2=。（心（））

a（a>0）廣

（）后=14=y

-a（a<0）匚

()=4a?Jh(a>0,/?>0)(y[a?4h=4ah(a>0,Z?>0))

0(^=^(a>0,b>0))

、運算結果若含有“人”形式，必須滿足：0被開方數的因數是整

數，因式是整式；()被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

六、實數的運算

0六種運算：力口、減、乘、除、乘方、開方

0實數的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號

里面的。

0運算律

加法交換律a+b=b+a

加法結合律(。+Z?)+。=Q+S+c)

乘法交換律ab=ba

乘法結合律(ab)c—a(bc)

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章圖形的平移與旋轉

一、平移

、定義

在平面內，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運

動稱為平移。

、性質

平移前后兩個圖形是全等圖形，對應點連線平行且相等，對應線段平

行且相等，對應角相等。

二、旋轉

、定義

在平面內，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的

圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

、性質

旋轉前后兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應

點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角。

第四章四邊形性質探索

一、四邊形的相關概念

、四邊形

在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖

形叫做四邊形。

、四邊形具有不穩定性

、四邊形的內角和定理與外角和定理

四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于°。

推論：多邊形的內角和定理：邊形的內角和等于（〃-2）?°;

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于°。

、設多邊形的邊數為，則多邊形的對角線共有條。從邊形的一個頂點

出發能引（）條對角線，將邊形分成（）個三角形。

二、平行四邊形

、平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

、平行四邊形的性質

0平行四邊形的對邊平行且相等。

0平行四邊形相鄰的角互補，對角相等

0平行四邊形的對角線互相平分。

0平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

常用點：（）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一

組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四

邊形的面積。

0推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

、平行四邊形的判定

0定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

0定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

0定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

0定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

0定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

、兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這

兩條平行線的距離。

平行線間的距離處處相等。

、平行四邊形的面積

平行四邊形底邊長X高

三、矩形

、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

、矩形的性質

0矩形的對邊平行且相等

0矩形的四個角都是直角

0矩形的對角線相等且互相平分

0矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交

點(對稱中心到矩形四個頂點的距離相等)；對稱軸有兩條，是對邊中點

連線所在的直線。

、矩形的判定

0定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

()定理：有三個角是直角的四邊形是矩形

0定理：對角線相等的平行四邊形是矩形

、矩形的面積

矩形長又寬

四、菱形

、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

、菱形的性質

0菱形的四條邊相等，對邊平行

0菱形的相鄰的角互補，對角相等

0菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

0菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交

點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在

的直線。

、菱形的判定

0定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

0定理：四邊都相等的四邊形是菱形

0定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

、菱形的面積

菱形底邊長X高兩條對角線乘積的一半

五、正方形（分）

、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

、正方形的性質

0正方形四條邊都相等，對邊平行

0正方形的四個角都是直角

0正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平

分一組對角

0正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的

交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證它是菱形。

先證它是菱形，再證它是矩形。

、正方形的面積

設正方形邊長為，對角線長為

正方形

六、梯形

（一）、梯形的相關概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的

底叫做下底。

梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

、梯形的判定

0定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。

0一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分類如下：

/一般梯形

梯形r直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

（三）等腰梯形

、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

、等腰梯形的性質

0等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

0等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。

0等腰梯形的對角線相等。

0等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分

線。

、等腰梯形的判定

。定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

。定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

0對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

（四）梯形的面積

（）如圖，S梯形A88=g（CQ+A3）?。七D-----------------7yC

0梯形中有關圖形的面積：]\

①~S.AC；/

②~S耶oc；rn----------------------------------

AEB

③^MDC-S&BCD

七、有關中點四邊形問題的知識點：