“不等式”高考剖析及2022年備考指南

目錄

一、試題分析..................................................................................2

1.整體分析...............................................................................2

2.內容分析..............................................................................2

3.題型、難度分析........................................................................2

4.文、理科命題分析......................................................................3

二、命題分析..................................................................................3

1.立足基本...............................................................................3

(1)與集合結合，考查基本能力........................................................3

(2)與三角函數結合，考查基本方法...................................................4

(3)與絕對值結合，考查轉化與化歸....................................................6

(4)與數列結合，考查基本理解........................................................8

(5)線性規劃，常規問題常規解決.....................................................10

(6)均值不等式，條件顯威力.........................................................11

2,注重內容交匯，體現學科素養............................................................13

(1)與幕函數、指數函數和對數函數交匯，比較中凸顯不等關系.........................13

(2)與圓錐曲線相結合，巧妙運用均值不等式..........................................15

(3)與三角關系式相結合，巧妙運用均值不等式........................................19

(4)與函數相結合，利用性質研究不等式..............................................20

(5)與導數、數列相結合，恒成立問題放光彩..........................................21

(6)求解范圍，巧用不等式的放縮.....................................................25

(7)借助不等式，解決范圍問題.......................................................27

三、復習備考建議............................................................................30

L夯實基礎知識...........................................................................30

2.掌握通性、通法.......................................................................30

3.提升數學學科核心素養.................................................................31

“不等式”高考剖析及2022年備考指南

不等式是高中教學必修課程主題一預備知識的重要內容，也是解決其他數學問題的重要

工具，不等式命題整體體現了函數與方程、轉化與化歸、分類討論等數學思想.2021年全國

各地高考數學試卷中對不等式相關內容的考查，不僅集中在不等式的解法、均值不等式的應

用、線性規劃等方面，更注重對不等式與其他知識的內在聯系和綜合考查.例如，不等式與

集合運算、常用邏輯用語、基本初等函數、向量、線性規劃等內容的融合，考查學生的基本

數學學科核心素養；不等式與數列、函數與導數及其應用、圓錐曲線相結合，考查學生更高

層次的數學學科核心素養.對不等式的基本性質、基本運算和綜合應用的考查，不僅體現了

不等式的基礎性，還體現了不等式的工具性.

一、試題分析

L整體分析

2021年高考數學共有8套試卷，其中全國甲卷和全國乙卷分文、理科，因此共有10份

試卷,綜觀10份高考數學試卷，直接考查不等式考點的試題很少，且主要是線性規劃問題,

多數試題的考查方式是把不等式和其他知識相融合.在研究2021年高考不等式相關試題的

考點和分值分布時，很難將考點和分值分離開來，這恰恰體現了不等式的基礎性和工具性,

同時體現了不等式試題的命題方向具有多面性和綜合性.

2.內容分析

綜觀2021年各份高考數學試卷，其中對不等式相關試題的考查方式有以下七種：

（1）與集合、常用邏輯用語的結合，解決簡單的不等式問題；

（2）與三角函數，基本初等函數及其性質，函數與導數及其極值、最值相融合，利用不等

式的工具性解決問題；

（3）與幕函數、指數函數和對數函數運算相結合，考查比較大小的問題；

（4）均值不等式與圓錐曲線、三角公式的結合，研究最值相關問題；

（5）不等式的直接應用，解決簡單的線性規劃問題；

（6）不等式與絕對值相結合，構建絕對值不等式問題；

（7）與向量、數列相結合，體現不等式的應用性.

3題型、難度分析

不等式相關試題的考查題型比較全面，選擇題、填空題和解答題均有涉及，試題難度差

異較大.線性規劃問題，不等式與集合、常用邏輯用語、圓錐曲線定義相結合的簡單問題難

度較小.例如，浙江卷第5題、全國甲卷文科第1題、全國乙卷文（理）科第3題、全國新

高考I卷第5題.均值不等式，不等式與函數結合問題，不等式與三角函數、曲線的切75?中

國數學教育?下半月（高中版）2021年第7—8期（總第243—244期）線，以及基函數、指

數函數和對數函數運算等結合考查不等式與相關知識的初步融合運用問題，難度適中,例如,

全國乙卷文科第8題、全國甲卷理科第16題、浙江卷第8題、全國新高考I卷第7題、全

國新高考II卷第7題.不等式與函數及其性質、數列、導數及其應用、圓錐曲線、絕對值不

等式相結合的問題，難度偏大，對學生的數學學科核心素養要求較高.例如，上海卷第16題、

第21題，全國乙卷文科第12題和理科第10題、第12題，全國新高考II卷第17題、第22

題，浙江卷第10題、第17題、第21題，全國新高考I卷第22題.其中，浙江卷對不等式

的考查尤為重視，在第5題，第8題，第10題，第17題，第20題，第21題，第22題中

均有對不等式及其思想方法的考查.

4.文、理科命題分析

隨著課程改革的逐步推進，越來越多省份加入到新高考行列，文、理科的命題趨勢逐漸

趨向于統一.2021年高考全國甲卷和全國乙卷仍延續了文、理分科的命題風格，從試題難度

和對思維能力的考查上看，理科試卷整體比文科試卷略高一籌.從與不等式及其思想方法的

運用有關試題的題量上看，全國乙卷文科卷要略多一些.這兩套試卷對應的文、理科試卷中

有較多的相同試題，有的根據難度的不同，做了題號的調配.由此可見，全國甲卷和全國乙

卷的命題既照顧到了文、理科學生的差異，又為將來高考數學取消文、理分科做了鋪墊.

二、命題分析

在2021年的10份高考數學試卷中，單獨考查不等式的試題并不多，但是涉及不等式

知識、方法的試題卻占有較大比重，凸顯了不等式的工具性和應用性.不等式的解法、線性

規劃問題主要在選擇題和填空題的基礎題中呈現，而與不等式深度融合的試題則更多被安排

在了選擇題和填空題壓軸題的位置上，甚至是解答題壓軸題的位置上.延續了將不等式考查

內容嵌入更加綜合、創新的問題情境中的命題風格.重點凸顯了不等式的思想方法和工具作

用，利用不等式中的比較法、分析法、放縮法等，來達到考查學生數學學科核心素養的目的.

1.立足基本

(1)與集合結合，考查基本能力.

例1(2021?甲卷)設集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則M「|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9)C.{3,5,7,9)D.{1,3,5,7,9)

【考點】交集及其運算

【分析】直接根據交集的運算性質，求出即可.

7

【解答】解：因為N={x|2尤>7}={x|x>；},M={1,3,5,7,9),

所以M「|N={5，7,9).

故選：B.

【評析】以集合為背景命制不等式問題是比較常見的考查方式，以考查不等式的基本解法和

集合的基本概念為目的，解題時應關注對基本問題的理解.

拓展題1.設集合用={1,3,5,7,9},N={x\2x>l],則例n|N=()

4.{7,9}B.{5,7,9)C.{3,5,7,9)D.{1,3,5,7,9)

【考點】交集及其運算

【分析】利用集合交集的定義求解即可.

x

【解答】解：因為M={1,3,5,7,9},yv={x|2>7}={x|x>log27),

又log,7<log,8=3,

所以M0|N={3,5,7,9).

故選：C.

【評析】本題考查了交集及其運算和指數不等式的解法，是基礎題.

拓展題2.設集合〃={》|/+2》-15<0},N={x|x..l或％,—7},則M0|N=()

A.[1,3)B.(-5,3)C.(-5,1]D.[-7,3)

【考點】交集及其運算

【分析】求出"中不等式的解集確定出例，找出用與N的交集即可.

【解答】解：由M中不等式變形得：(x-3)(x+5)<0,

解得：—5<x<3,即M=(—5,3),

N=(^?,,+8),

?-.A/Q/V=[l,3),

故選：A.

【評析】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

(2)與三角函數結合，考查基本方法.

例2(2021?甲卷)己知函數/(x)=2cos(ox+s)的部分圖像如圖所示，則滿足條件

(/(%)-/(--))(/(x)-/(丁))>0的最小正整數x為—

43

【考點】由y=Asin(〃>+0)的部分圖象確定其解析式；余

弦函數的圖象

【分析】觀察圖像，-r=—即周期為乃，將需要求解的式子進行周期變換，變換

4123

到工附近，觀察圖像可知工，即最小正整數為2.

33

【解答】解：由圖像可得37二"乃-二，即周期為乃，

4123

7444

???(/。)-/(--))((/W-/(—))>0，T=n,

冗冗

???(/U)-/(-))(/(x)-/(-))>0,

觀察圖像可知當x>/*)</(；)，/(x)</(?),

.:2嗚汾魚樽)=0,

「.x=2時最小，且滿足題意，

故答案為：2.

【評析】該題考查了三角函數的周期性，以及如何通過圖像判斷函數值的大小，題型靈活,

屬于中等題.

我們常常把不等問題轉化為相等問題來解決，這一點教材中已經借助一元二次函數、一元二

次方程、一元二次不等式進行了說明.題中/(x)<0對應圖象為/U)=0的下方部分，;(方>1對應

圖象為7U)=1的上方部分，結合圖象，便可求解不等式

拓展題I.已知函數/'(x)=2cos((yx+e)(6y>0,|3|<,

的部分圖像如圖所示.

(1)求/(X)的解析式；

(2)xe[O,劃時，解不等式

【考點】由丫=4$皿(3+9)的部分圖象確定其解析式；余弦函數的圖象

【分析】(1)利用余弦函數的圖像與性質，結合“五點作圖法”可求得。、(p,從而可得/(x)

的解析式；

(2)當尤e[0,m時，2x-Ce[-工，—],原不等式可等價轉化為(7(x)—l)/(x)>0,

666

進一步轉化為cos(2x-或COS(2X-￡<0,分別解此二不等式，取并即可得到答案.

【解答】解：(1)由函數/(x)=2cos3x+s)(o>0,|夕|<鄉的部分圖像可得：

3T137r7i34

41234

2

即T=—=冗，解得G=2；

co

由“五點作圖法”知，2x-+^=-,故9=一工

326

所以/(x)的解析式為f(x)=2cos(2x-2)；

6

(2)因為f(x)=2cos(2x—馬，

6

ul?,7TC_.77T7V、-冗._,47T._.兀、_57r-

所以/(----)=2cos(-----------)=2cos—=1,——)=2cos(---------)=2cos——=0,

42633362

所以原不等式可化為：(/(x)-l)/(x)>0,

所以/(x)>1,或f(x)<0,

冗I冗

即cos(2x----)>—或cos(2x-----)<0,

626

當xe[0,劃時，2x--&[--,

666

_7T1TC-TC7T_p.57tg7CI1TC口n八1—ix117TV、

cos(2x---)>—=>—,,2,x----<—L/—<2x--------,,—；-，叩0?x<一匕文---<用，冗；C1J

62663366412

cos(2x---)<0=>—<2x---<——=—<x<——;②

626236

由①②得xe[O，-)U(-,—)U(—,萬].

43612

【評析】本題考查由y=Acos(s+e)的部分圖像確定其解析式，考查余弦函數的圖像與性

質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

(3)與絕對值結合,考查轉化與化歸

例3(2021?乙卷)已知函數/(x)=|x-a|+的+3|.

(1)當a=l時，求不等式/(幻..6的解集；

(2)若求。的取值范圍.

【分析】(1)將a=l代入f(x)中，根據/(x)..6,利用零點分段法解不等式即可；

(2)利用絕對值三角不等式可得/(x).」a+3],然后根據/(x)>-a,得至)a+3|>—a,求

出a的取值范圍.

—2.x—2,%,-3

【解答】解：(1)當。=1時，/(%)=|%一1|+|工+3|二',一3<工<1,

2x+2,x.J

x,-34f-3<x<1-[龍..1—

0A或4A或0—，???川,-4或X..2,

{—2x—2..6[4..6[2工+2..6

不等式的解集為(-00,-4JIJ12,+00).

(2)/(無)=|x-a|+|x+3|.」x-a-x-3|=|a+3|,

若/(x)>-a,則|a+31>-a,

當a.O時，不等式恒成立；

當avO時，一a>0,不等式|a+3卜一〃兩邊平方可得/+6〃+9>々2,解得—二<〃<0,

2

綜上可得，a的取值范圍是(-3，+00).

2

【評析】本題主要考查絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

例4.(2020?新課標I)已知函數f(x)=13x+l|-2|x-l|.

(1)畫出y=/(x)的圖象；

(2)求不等式/(x)>f(x+l)的解集.

【分析】(1)將函數零點分段，即可作出圖象；

(2)由于/(x+1)是函數/(X)向左平移了一個單位，作

出圖象可得答案；

【解答】解：函數

x+3,(x.l)

/(x)=|3x+l|-2|x-l|=5x—1,(—,,x<1),

3

圖象如圖所示

(2)由于/(x+1)的圖象是函數/(x)的圖象向左平移了一個單位所得，(如圖所示)

直線y=54一1向左平移一個單位后表示為>'=5(x+1)-1=5x+4,

聯立上=解得橫坐標為x=-工，

[y=5x+46

不等式/(x)>f(x+1)的解集為｛x|x<--｝.

6

【評析】本題考查了絕對值函數的解法，分段作出圖象是解題的關鍵.屬

于基礎題.

拓展題1.己知函數f(x)=|x-3|+|x+2|.

(1)求不等式f(x)>7的解集；

(2)若方程f(x)=3-4“有實數解，求實數a的取值范圍.

【分析】(1)去絕對值寫出分段函數解析式，轉化為關于x的不等式組求解；

(2)利用絕對值的三角不等式求出f(x)的值域，再由方程/(力=3-4“有實數解，轉化為

關于。的不等式求解.

—2.x+1,不，-2

【解答】解：⑴依題意，/(x)=|x-3|+|x+2|=-5,-2<x<3

2x-\,x..3

―2x+1〉7_2x-l>7

f{x}>7<=>|5i

X,-2、或x..3

解得：x<-3或x>4.

故不等式f(x)>7的解集為｛x|x<-3或x>4｝；

(2)依題意，由絕對值三角不等式，得|x—3|+|x+2|…|3—x+x+2|=5,

當且僅當(3-x)(x+2)..0時等號成立.

???/(%)的=5,即f(x)的值域為[5,+8)，

?.?方程/(x)=3-4a有實數解，，3-4a..5,解得a,-g,

故實數的取值范圍為(v,-1].

【評析】本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值三角不等式的應用，考查運算求解能力,

是中檔題.

拓展題2已知函數/(x)=|x-a2|+|x-2a+l|.

(1)當4=2時，求不等式/(x)..4的解集；

(2)若/(x)..4,求a的取值范圍.

【分析】(1)把a=2代入函數解析式，寫出分段函數，然后對x分類求解不等式，取并集

得答案；

(2)利用絕對值不等式的性質可得

/(x)=|x-?2|+|x-2a+l|...|x-a2-(x-2a+l)|=|(a-1)21=(?-1):.由/(x)..4,得

(a-1)2..4,求解二次不等式得答案.

-2x+7,用,3

【解答】解：(1)當a=2時，/(X)=U-4|+|X-3|=-1,3<^,4,

2x-7,x>4

???當用,3時，不等式/(。.4化為—2X+7..4,即用,：，；；

當3vxv4時，不等式/(x)..44七為L.4,此時xw0；

當無..4時，不等式f(x)..4化為21一7..4,即.,.元..2.

22

711

綜上，當a=2時，不等式/(x)..4的解集為｛x|%,?或x...]｝；

(2)/(x)=|x-a21+1x-2a+11...|x-a2-(x-2a+1)|=|(a-1)21=((2-1)2.

又/(x)..4,，(a-1)L.4,

得a-L,-2或°一1..2,

解得：q,-l或a.3.

綜上，若f(x)..4,則。的取值范圍是(ro,-1]|J[3,+00).

【評析】本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的數學思想方法，考查絕對值不等式

的性質，是中檔題.隨著課程改革的深入，對絕對值不等式的考查也轉為非直接考查.解絕

對值不等式的方法主要有零點分段法和幾何意義法.當式子中含有兩個絕對值，且其中的x

的系數相等時，可以考慮利用數軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值

也是常見的方式，但是要注意表述取等號的條件.此題體現了對學生的數學運算、直觀想象

和邏輯推理素養的考查.

(4)與數列結合，考查基本理解.

例5(全國新高考H卷17)記S,,是公差不為0的等差數列的前〃項和，若％=S$，

02a4=J?

(I)求數列｛4｝的通項公式勺；

(II)求使Sn>an成立的n的最小值.

【考點】等差數列的通項公式；等差數列的前〃項和

【分析】(I)直接利用等差數列的性質和前"項和的應用求出數列的通項公式；

(ID直接利用作差法的應用和數列的分解因式的應用求出結果.

【解答】解：(I)數列S”是公差d不為0的等差數列｛〃"｝的前”項和，若%=$5,

根據等差數列的性質，4=$5=5%，故4=0,

根據a2a&=S1,可得(%-dM%+d)=(tz,-2d)+(%-")+4+(4+")’

整理得—[2=—24,可得d=2(4=0不合題意)，故=%+(〃—3)d=2〃—6.

2

(II)an=2n-6,ay=-4,Sn=-An+x2=?-5M,

S?>an,即〃2一5〃>2〃一6,整理可得〃°一7〃+6>0,

當〃>6或〃<1時，S.>q,成立，由于"為正整數，

故”的最小正值為7.

【評析】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法，數列的求和，主要考查學生的運算

能力和數學思維能力，屬于基礎題.

借助數列的知識，將轉化為一元二次不等式問題，再利用一元二次函數來解決問題,

需要注意數列中n的取值要求，這也是高考中經常見到的考查方式.

拓展題1記S,,是公差不為。的等差數列｛q｝的前〃項和，若%=&,^4=S5.

(1)求數列｛4,｝的通項公式凡；

(2)求使S,,>為成立的〃的最小值.

【考點】等差數列的前〃項和；等差數列的通項公式

【分析】(1)由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可求首項及公差，進而可求通項公

式；

(2)由已知先求出通項及和，然后結合已知不等式可求〃的范圍，進而可求.

【解答】解：(1)因為數列S“是公差d不為0的等差數列的前〃項和，

—S,1a3aq—,

所以[q+2d=3q+34

[(4+2d)(q+3d)=5q+\0d,

解得夕;'或夕舍)，

[a=2[a=0,

所以4,=4+("-l)d=2n-3.

(2)4,=2〃-3,G=-1,S“=_〃+Dx2=a?—2“,S“>a”,即/?-2〃>2〃-3.

整理可得〃°—4〃+3>0,解得”>3或“<1時，

由于"為正整數，故”的最小正值為4.

【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用，屬于中檔題.

柘展題2.已知｛““｝是公差不為零的等差數列，S”是其前"項和，若S3=9,且%是小與心

的等比中項.

(1)求｛a,,｝的通項公式；

（2）記勿=a“-log?4,neN+,證明：bn<bn+l.

【考點】8M：等差數列與等比數列的綜合

【分析】（1）設｛七｝的公差為4,"#0,運用等差數列的通項公式和求和公式，以及等比

數列的中項性質，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式；

（2）由（1）得運用作差法計算〃川結合對數的運算性質和不等式的性質，即可

得證.

【解答】解：設伍“｝的公差為"，"工0‘

（1）由$3=9，且%是生與電的等比中項，

得|q+4+%=9,即（3q+3d=9,

[a,="2%>[（4+44）2=（4+3）（4+13d）'

解得4=1,d=2,所以%=1+2（〃—1）,即a”=2〃—1,n&N*；

（2）證明：由（1）得仇=2〃-l-log2（2〃-l）,neN+,

bn+t=2n+l-log2（2n+1）,

.2"―1

2+1

^+1-^=°§2（-~；））

2n+\

因為〃￡所以―-<1,-log^3?log（――-）<0.

32〃+1~92〃+1

4

從而b“+i-bn..2—log23=log2~>0?

故。<%.

【評析】本題考查等差數列的通項公式和求和公式和等比數列的中項性質，考查數列的單調

性的判斷，以及方程思想和化簡運算能力，屬于中檔題.

（5）線性規劃，常規問題常規解決.

x+1..0

例6（2021?浙江）若實數X,y滿足約束條件x-y,,0,則z=x-的最小值是（

2x+3y—1”0

【考點】簡單線性規劃

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解,

把最優解的坐標代入目標函數得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

x+1=0

聯立,解得A(—1,1),

2x+3y-l=0

化目標函數z=x—gy為y=2x-2z,由圖可知，當直線

y=2x-2z過A時，

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為=

故選：B.

【評析】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合思想，是中檔題.

x+y-4?0,

例7.已知實數x,y滿足約束條件x-2y+5,,0,則2=X-丫的最大值為.

2x—y+7..O,

【考點】簡單線性規劃

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解,

把最優解的坐標代入目標函數得答案.

【解答】解：由2=*-丫，得丁=彳一2,根據題意作出可行

域如圖所示，

由圖可知當y=x-z經過點A時，z=x-y取得最大值，

,fx+y-4=0?

由9-n'解得MJ）,—

[x-2y+5=0

故答案為：-2.

【評析】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合思想，是中檔題.

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的實施，

線性規劃問題逐漸淡出了全國大部分地區的高中數學教材，因此大部分高考試卷中未涉及此

內容.所考查的線性規劃試題也以常規形式出現，主要以知識點覆蓋為主，用常規方法即可

解決.

（6）均值不等式，條件顯威力.

例8（2021?乙卷）下列函數中最小值為4的是（）

,4,4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+---------C.y=2'+2"-tD.y=lnx-\-----

|sinx|Inx

【考點】基本不等式及其應用

【分析】利用二次函數的性質求出最值，即可判斷選項A,根據基本不等式以及取最值的

條件，即可判斷選項8,利用基本不等式求出最值，即可判斷選項C,利用特殊值驗證，

即可判斷選項。.

【解答】解：對于A,y=f+2x+4=（x+l）2+3..3,

所以函數的最小值為3,故選項A錯誤；

對于B,因為0<|sinx|?1,所以y=|sinx|+―-—..2j|sinx|--—=4,

|sinx|、|sinx|

4

當且僅當|sinx|=:一，即|sinx|=2時取等號，

|sinx|

因為|sinx|”l,所以等號取不到，

4

所以y二|sinx|+———>4,故選項5錯誤;

對于C,因為2、>0,所以y=2，+22r=2*+*..2.

2、?二=4,

當且僅當2*=2,即x=l時取等號，

所以函數的最小值為4,故選項C正確;

114

對于。，因為當犬=-時，y=ln-+―-=-1-4=-5<4,

ee1

所以函數的最小值不是4,故選項。錯誤.

故選：C.

【評析】本題考查了函數最值的求解，涉及了二次函數最值的求解，利用基本不等式求解最

值的應用，在使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：一正、二定、三相等，考查了轉

化思想，屬于中檔題.輯推理能力和轉化與化歸能力.解決此類問題的關鍵：一是明確是否

滿足均值不等式的形式；二是靈活掌握均值不等式的使用條件，準確理解"一正、二定、三

相等”的意義.

柘展題1.下列函數中，最小值為4的是()

A.y=^+—B.y=2a+2+2

2Igx

C.y=sinx+------(0<x<4)D.y=ex+4e^x

sinx

【分析】利用基本不等式的使用法則“一正二定三相等”即可判斷出.

【解答】解:A.xe(0,l)時,y<0,最小值不為4.

B.y..2x2x6+2X,1=4,等號不成立，最小值不為4.

\lx2+2

44

C.由OVJCV萬，可得sinx=fe(0/)，令，?)=/+—,貝1一<(),由此函數/?)單

tt

調遞減，由此可得，")>/(1)=5,不符合題意.

D.y..2&“T=4,當且僅當x=0時取等號，最小值為4.

故選：

【評析】本題考查了基本不等式的使用法則“一正二定三相等”，考查了推理能力與計算能

力，屬于基礎題.

拓展題2.(2021秋?南崗區校級期末)下列函數中，最小值為4的是()

Ax4/gx12

/3Igx

4-4

C.y=sinx+———(XG(0,TF))D.y=\lx+1+.

【考點】基本不等式及其應用

【分析】由基本不等式的性質及前提依次對四個選項判斷即可.

x

【解答】解：對于選項A,y=e+—..244=4,

ex

當且僅當％=/〃2時，等號成立，故正確；

對于選項5,當戶-!"時，y=」-12v0,故不正確；

10“3

對于選項C,,??不￡(0,4)，/.sin^e(0,1］,

4

由對勾函數的性質知，y=sinx+——(xe(0,7))的最小值為5,故不正確;

I-------4f—

對于選項。，y=&+l+I______2a=4,

當且僅當》=±6時，等號成立，故正確；

故選：AD.

【評析】本題考查了基本不等式在求最值中的應用，屬于中檔題.

2.注重內容交匯，體現學科素養

(1)與黑函數、指數函數和對數函數交匯，比較中凸顯不等關系.

例9(2021?乙卷)設a=2/〃L01,b=lnl.O2,c=JH訝-1,貝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【考點】對數值大小的比較；利用導數研究函數的單調性

［分析］構造函數f(x)=2/〃(1+x)-(yjl+4x-1),0cxe1,h(x)=ln(\+2x)-(Jl+4x-1),

利用導數和函數的單調性即可判斷.

【解答】解：?.?4=2/4。1=/川。201,b=lnl.U2,

a>b,

令/(x)=2/n(l+x)-(J1+4x-1),0<x<l,

令+4x=t,貝lj1<fv石:.x=-------,

t2+3、

g?)=2/zz(-------)-t+l=2妨(產+3)—f+1-2勿4,

??.)=4=4t-t2-3(r-l)(r-3)

r+3

.?.g(。在(1,6)上單調遞增,

(1)=2/〃4—1+1—2加4=0,

---f(x)>0,

同理令h(x)=ln[\+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=f,則l<f<庫?.x=

/\/+1

機)=伉(~二~)一1+1=加(/+1)—E+1—勿2,

21]_-(/-I)2

二.”(f)—<0,

產+1?4-1

奴。在(1,宕)上單調遞減,

(p(t)<(p(1)=/〃2—1+1—/〃2=0,?.h(x)<0,

:.c>b，:.a>c>b?

故選：B.

【評析】本題考查了不等式的大小比較，導數和函數的單調性和最值的關系，考查了轉化思

想，屬于難題.

例10.設a=e002,b=7°6,C=(1.02)2,V??2.646,/?2?0.6931,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD,b<a<c

【考點】利用導數研究函數的單調性

【分析】根據基函數ynl02的單調性判斷。、人的大小，構造/(x)=e'-(l+x)2,利用導

數研究單調性，進而確定a、c的大小.

【解答】解：?.?塞函數y=x°m在(0,go)上是增函數，且e>JF,

.-.eam>KU1，即。>匕，

構造函數/(x)=e'-(l+x)2,r(x)=e*-2(l+x),f"(x)=ex-2,

.一.x</〃2時，r’(x)<0,f'(x)單調遞減，

而r(歷2)=-2歷2<0,y,(0)=-K0,

故在(0,/?2)上_f(x)<0,即/(x)單調遞減，

則在(0,/〃2)上f(x)<.f(0)=0,

0,02e(0,/〃2),eom-(1.02)2<0,

BPa<c,故人<a<c；故選：D.

【評析】本題考查了幕函數的單調性及導數的綜合應用，難點在于構造函數

/(x)=/-(l+x)2并判斷函數

拓展題1.(2021秋?丹東月考)已知函數/(x)=2/〃(l+x)-Jl+4x+l.

(1)求/(x)的單調區間；

(2)設a=2Z〃1.01,b=lnl.02,C=A/L04-1,比較a,b,c的大小.

【考點】利用導數研究函數的單調性

【分析】(1)求出函數的定義域，利用函數導數的符號，求解函數的單調區間即可.

(2)借助函數的單調性，判斷a,c的大小，設g(x)=/〃(l+x)->/m^+l,利用函數的導

數判斷函數的單調性，然后推出c>b.得到結果.

【解答】解：(1)f(x)的定義域為(―LE)，/'(x)=-------/2x(27)

4(1+x)(Vl+4x+1+x)Jl+4x

由/'(x)>0得0cx<2,由/'(x)<0得或x>2,

4

于是/(x)在(-』,0)單調遞減，在(0,2)單調遞增，在(2,位)單調遞減.

4

(2)由(1)可知/(0.01)>/(0),BP2//?1.01>>/r04-l,所以〃>c.

設g(%)=/〃(1+%)-Jl+2x+1,

1—X21

貝|J當x>-―時，g'(x)=-----------；-----:-------7--------<0.8。)在(一一,go)單調遞減，

2(1+x)(Jl+2x+1+x)yj\+2x2

所以g(0.02)<g(0),即/“1.02<JI國-1,因此c>0.

綜上a>c>6.

【評析】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性的判斷，考查分析問題解決問題的能力，

是中檔題.

比較大小問題本身就是不等式問題，大小是表象，關鍵看轉化.這類問題可以把幕函數、指

數函數和對數函數的性質及運算融入其中，考查面廣，難度可大可小，深受命題者青睞.例9

和例10立足對數式比較大小，考查對數運算及對數函數的圖象和性質，最終落腳點在利用

不等式的傳遞性比較大小，屬于容易題，提示我們要注意對函數圖象和基本性質的熟練應用，

要理解比較大小問題的本質.對不等式性質的考查常與某函數、指數函數、對數函數及其運

算相結合，有時也與充要條件、函數的單調性等相結合，一般以選擇題、填空題的形式進行

考查.(2)與圓錐曲線相結合，巧妙運用均值不等式.

(2)與圓錐曲線相結合，巧妙運用均值不等式.

例11(2021?新高考I)已知耳，鳥是橢圓C:]+?=l的兩個焦點，點”在C上，則

|〃耳|.|〃巴|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【考點】基本不等式及其應用；橢圓的性質

【分析】利用橢圓的定義，結合基本不等式，轉化求解即可.

22

【解答】解：K，&是橢圓C：3+?=l的兩個焦點，點〃在c上，IMKI+IM鳥1=6,

所以四"號"生卜=9,當且僅當|叫|=|%|=3時，取等號，

所以||?|"|的最大值為9.

故選：C.

【評析】本題考查橢圓的簡單性質的應用，基本不等式的應用，是基礎題.

拓展題1.(2021?乙卷)設B是橢圓C:曰+丁=1的上頂點，點在。上，則IP0的最大

值為()

5

A.B.76C.75D.2

2

【考點】橢圓的性質

【分析】求出3的坐標，設尸（逐cos。，sin。），利用兩點間距離公式，結合三角函數的有

界性，轉化求解距離的最大值即可.

【解答】解：8是橢圓C:5+y2=l的上頂點，所以B（0,l）,

點P在C上，設P（>/^cos。，sin。），6?e[0,2萬），

所以|P81=J（逐cos。-OR+（sin，-I/=^4cos20-2sin0+2

=yj-4sin20-2sin0+6=J-4（sin0+；）2+,

當sin9=-」時，|P8|取得最大值，最大值為*.

42

故選：A.

【評析】本題考查桶圓的簡單性質，橢圓的參數方程，三角函數最值的求法，考查轉化思想

以及計算能力，是中檔題.

22

拓展題2.設B是橢圓C:二+與=1（〃>6>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足

b~

\PB\?2b,則C的離心率的取值范圍是（）

【考白】橢圓的性質

2

2

【分析】設P（x。，%），可得|P8|2=—*—2t>yg+a+b~<e[—b,/?],結合一次函數

的性質即可求出離心率的取值范圍.

【解答】解：點B的坐標為（0,6）,設P（x。，％）,

則多+普=1,.?.片=/（I一碧）,

礦h-bL

22

2222

故IP8F=片+(y0—b)=a(l—捐)+(%-y；—2byQ+a+b,y0G[—b,b],

A3

又對稱軸為=?<0,

當即。.c時,

則當為=-匕時，|P3|2最大，此時|P8|=?,

故只需要滿足—一，一"即比"，則只一。2.",

C

所以e=￡,，更，又0<e<l,故e的范圍為（0,也],

a22

當一絲>-6時，即。<c時，

A3A4

則當%=-r時，IPS/最大，此時|依/=勺+/+6,,4/，

cc

則〃4—4/c2+4c。,0,解得a=0c,所以b=c,

又bvc,

故不滿足題意，

綜上所述的e的范圍為(0,當,

2

方法二：根據題意，有3(0力)，設P5,%),貝蛋奶=片+(%-324b2,

2

也即位(1—患)+(%一力2”4打，

不妨設6=1,則1],(/-1)y+2%-/+3..0,

22

也即1],(yo+l)[(a-l)yo-?+3]..O,

22

也即V為￡[-1,1]，(a-l)yo-a+3..O,

從而可得(/—1)(—1)—+3..0u>。￡(1,^2]f

從而離心率的取值范圍為(0,與,

故選：C.

【評析】本題考查了橢圓的方程和性質，考查了運算求解能力和轉化與化歸思想，屬于中檔

題.

22

拓展題3.(2021秋?涼山州期末)已知七，鳥是橢圓C:?+q=l的兩個焦點，點M在橢

圓C上，|"耳卜|知心|的最大值為()

A.273B.6C.2D.4

【考點】橢圓的性質

【分析】利用橢圓的定義，結合基本不等式，轉化求解即可.

【解答】解：6，6是橢圓C:5+q~=l的兩個焦點，.?.a=2,b=y/3,C=l,

?.?點〃在C上，\MFt\+\MF21=4,

MFt\-\MF2\?(W.；W)2=4,當且僅當IMf；|=|MF21=2時取等號，

..|MF；||MEI的最大值為4,

故選：D.

【評析】本題考查橢圓的簡單性質的應用，基本不等式的應用，是基礎題.

例12(2021?乙卷)已