〔一〕數的認識整數【正數、0、負數】1、一個物體也沒有，用0表示。0和1、2、3……都是自然數。自然數是整數。2、最小的一位數是1，最小的自然數是0。3、零上4攝氏度記作+4℃；零下4攝氏度記作-4℃。“+4”讀作正四。4、像+4、19、+8844這樣的數都是正數。像-4、-11、-7、-155這樣的數都是負數。5、0既不是正數，也不是負數。正數都大于0，負數都小于0。6、通常情況下，比海平面高用正數表示，比海平面低用負數表示。7、通常情況下，盈利用正數表示，虧損用負數表示。8、通常情況下，上車人數用正數表示，下車人數用負數表示。9、通常情況下，收入用正數表示，支出用負數表示。10、通常情況下，上升用正數表示，下降用負數表示。小數【有限小數、無限小數】1、分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……2、整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數，個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是10。3、每個計數單位所占的位置，叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。4、小數的性質：小數的末尾添上“0”或去掉“5、根據小數的性質，通常可以去掉小數末尾的“0〞，把小數化簡。例如0.40=0.4，雖然大小不變，但它們的意義卻發生了變化，0.40表示把單位1平均分成100份，表示這樣的40份，而0.4表示把單位1平均分成10份，表示這樣的4份，且它們的計數單位也不一樣，0.40的計數單位是0.01它有40個這樣的計數單位，而0.4的計數單位是0.1，它有4個這樣的計數單位。6、比擬小數大小的一般方法：先比擬整數局部的數，再依次比擬小數局部十分位上的數，百分位上的數，千分位上的數，從左往右，如果哪個數位上的數大，這個小數就大。7、把一個數改寫成用“萬〞或“億〞作單位的數，只要在萬位或億位右邊點上小數點，再在數的后面添寫“萬〞字或“億〞字。8、求小數近似數的一般方法：〔1〕先要弄清保存幾位小數；〔2〕根據需要確定看哪一位上的數；〔3〕用“四舍五入〞的方法求得結果。9、整數和小數的數位順序表：整數部分小數點小數部分…億級萬級個級數位…千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位·十分位百分位千分位萬分位…計數單位…千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十個〔一〕十分之一百分之一千分之一萬分之一…分數【真分數、假分數】1、把單位“1”2、兩個數相除，它們的商可以用分數表示。即：a÷b=〔b≠0〕3、從小數和分數的意義可以看出:小數實際上就是分母是10、100、1000……的分數。4、分數可以分為真分數和假分數。5、分子小于分母的分數叫做真分數。真分數小于1。6、分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。7、分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。8、分數的根本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數〔零除外〕，分數的大小不變。9、小數的性質和分數的根本性質是一致的，應用分數的根本性質，可以通分和約分。10、商不變的規律：被除數和除數同時乘或除以相同的數〔0除外〕，商不變11、表示把單位“1〞平均分成4份，表示這樣的3份，而噸表示把1噸平均分成4示這樣的3表示把3噸平均分成4示這樣的1份12、9×表示9的是多表示的9倍是多表示9個的和是多少13、一個不等于0的數乘大于1的假分數結果比原數大。例14、一個不等于0的數乘小于1的真分數結果比原數小。例15、一個因數不變〔0除外，〕另一個因數越大，積就越大16、乘積是1的兩個數互為倒數，倒數是相互依存的16、1的倒數是1，0沒有倒數17、真分數的倒數是大于1的假分數，大于1的假分數的倒數是真分數，等于1的假分數的倒數是118、非0整數的倒數是幾分之一，幾分之一的倒數是整數19、×××即分母是相鄰的自然數，〔0除外〕分子是1的兩個分數，它們的差等于它們的乘積所以20、分數與百分數的比擬不同點相同點分數可以加單位表示具體的量都表示分率百分數不可以表示具體的量，不能加單位21、分數、小數、百分數的互化改寫成分母是10、100、1000的分數，再約分小數〔0.25〕分數〔〕用分子除以分母把小數點向右移動兩位，再在后面添上%小數〔0.39〕百分數〔39%〕去掉%，把小數點向左移動兩位先寫成分母是100的形式，然后能約分的要約分百分數〔45%〕分數〔〕先把分數化成小數〔除不盡自覺保存三位小數〕，再化成百分數22、熟記常用三數的互化=0.5=50%≈0.333=33.3%≈0.667=66.7%23、應得利息也叫稅前利息，實得利息也叫稅后利息24、應得利息=本金×利率×時根據具體情況，有時無利息稅，有時稅率不一定是5%25、實得利息=應得利息-應得利息×5%根據具體情況，有時無利息稅，有時稅率不一定是5%或=應得利息×〔1-5%〕26、一年利息÷年利率=本金27、所謂“打折〞是指現價按原價的百分之幾出售。八折=80%七五折=75%28、原價×折扣=現價現價÷折扣=原價現價÷原價=折扣29、三成表示十分之三，也表示百分三十四成五表示十分之四點五，也表示百分之四十五因數與倍數【素數、合數、奇數、偶數】2、因數與倍數〔1〕2的倍數：個位上是0、2、4、6、8是2的倍數的數叫做偶數，不是2倍數的數叫做奇數。0也是偶數〔2〕3的倍數：每一位上的數相加的和是3的倍數，這個數就是3的倍數〔3〕5的倍數；個位上是0、5〔4〕是2的倍數又是5的倍數的數的特征：個位上是0〔5〕是2的倍數，又是3和5的倍數的數的特征：個位上是0，且每一位上的數相加是3的倍數。〔6〕一個數因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是它本身。例如：26最小的因數是1最大的因數是26〔7〕一個數倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。〔8〕如果一個數因數只有1和它本身，沒有其它的因數，這樣的數就叫做素數，又叫做質數〔素數只有兩個因數〕例如：2、3、5、7、11……〔9〕除了1和它本身，還有其它的因數，這樣的數叫做合數〔合數有3個或3個以上的因數〕例：9、12、15……〔10〕1即不是素數，也不是合數〔11〕50以內的素數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47在1—20這些數中：〔1既不是素數，也不是合數〕奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。素數：2、3、5、7、11、13、17、19。〔共8個，和為77。〕合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。〔共11個，和為132。〕〔12〕除0以外的自然數按因數的個數可以分為3類：即：1、素數、合數〔13〕最小的奇數是1，最小的偶數是0，最小的素數是2，最小的合數是4，既是奇數又是合數最小的是9〔14〕如果兩個數是倍數關系，那么最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數。例如15和30，最大公因數是15，最小公倍數是30〔15〕如果兩個數公因數只有1，那么最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。例如8和9，最大公因數是1，最小公倍數是72〔二〕數的運算計算法那么【整數、小數、分數】1、計算整數加、減法要把相同數位對齊，從低位算起。2、計算小數加、減法要把小數點對齊，從低位算起。3、小數乘法：〔1〕先按整數乘法算出積是多少，看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。〔2〕注意：在積里點小數點時，位數不夠的，要在前面用0補足。4、小數除法：〔1〕商的小數點要和被除數的小數點對齊；〔2〕有余數時，要在后面添0，繼續往下除；〔3〕個位不夠商1時，要在商的整數局部寫0，點上小數點，再繼續除。〔4〕把除數轉化成整數時，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要向右移動幾位。〔5〕當被除數的小數位數少于除數的小數位數時，要在被除數的末尾用0補足。5、一個小數乘10、100、1000……只要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……6、一個小數除以10、100、1000……只要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……7、分數加、減法：〔1〕同分母分數相加減，把分子相加減，分母不變。〔2〕異分母分數相加減，要先通分化成同分母分數，然后再相加減。8、分數大小的比擬：〔1〕同分母分數相比擬，分子大的大，分子小的小。〔2〕異分母的分數相比擬，先通分然后再比擬；假設分子相同，分母大的反而小。9、分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。10、甲數除以乙數〔0除外〕，等于甲數乘乙數的倒數。四那么運算關系加法一個加數=和－另一個加數減法被減數=差+減數減數=被減數－差乘法一個因數=積÷另一個因數除法被除數=商×除數除數=被除數÷商運算加法交換律a+b=b+a乘法交換律ab=ba連除的規律A÷b÷c=a÷(b×c)加法結合律a+b+c=a+(b+c)乘法結合律abc=a(bc)連減的規律a－b－c=a－(b＋c)乘法分配律(a+b)c=ac+bca+ab=a×1+a×b=a×(1+b)〔1〕比的根本性質：比的前項和后項，同時乘或除以一個不為0的數比值不變，應用比的根本性質可以化簡比〔2〕最簡整數比必須到達兩個要求：〔1〕前項和后項都是整數〔2〕前后項公因數只有1〔3〕分數的根本性質：分數的分子和分母同時乘或除以一個不為0的數分數值不變〔4〕商不變的規律：被除數和除數同時乘或除以一個不為0的數，商不變〔三〕式與方程用字母表示數1、在一個含有字母的式子里，數字和字母、字母和字母相乘時，中間的乘號可以記作“·〞，也可以省略不寫。在省略數字與字母之間的乘號時，要把數字寫在字母的前面。2、2a與a2意義不同：2a表示兩個a相加，a2表示兩個a相乘。即：2a=a＋a，a2=a×a。3、用字母表示數：〔1〕用字母表示任意數：如X=4a=6〔2〕用字母表示常見的數量關系：如s=vt〔3〕用字母表示運算定律：如a＋b=b＋a〔4〕用字母表示計算公式：S=ah方程與等式方程等式1、含有未知數的等式叫做方程方程等式2、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。3、求方程的解的過程，叫做解方程。4、方程和等式的聯系與區別：方程等式聯系方程一定是等式，等式不一定是方程區別含有未知數不一定含有未知數5、等式的根本性質〔一〕等式兩邊同時加上〔或減去〕一個相同的數，所得結果仍然是等式。6、等式的根本性質〔二〕等式兩邊同時乘〔或除以〕一個不等于零的數，所得結果仍然是等式。7、列方程解應用題的一般步驟：〔1〕弄清題意，找出未知數并用X表示。〔2〕找出應用題中數量間的相等關系，并列出方程。〔3〕求出方程的解。〔4〕檢驗或驗算，寫出答案。〔四〕正比例與反比例比、比例〔1〕表示兩個比相等的式子叫比例，組成比例的四個數叫比例的項，中間的兩項叫比例的內項，兩端的兩項叫比例的外項，〔2〕在比例里，兩個外項的積等于兩個內項積，這叫做比例的根本性質。如果用字母表示比例的四項即a：b=c：d那么比例的根本性質可以表示為ad=bc〔3〕判斷兩個比能否組成比例，可以有3種方法：一看兩個比的比值是否相等，二看兩個比化簡后是不是相同的比，三是假設這兩個比能組成比例，然后檢驗內項積是否等于外項積求比值與化簡比的區別：一般方法結果求比值根據比值的意義，用前項除以后項。是一個數。可以是整數、小數或分數。化簡比根據比的根本性質，把比的前項和后項都乘或除以相同的數〔零除外〕。是一個比。它的前項和后項都是整數，并且是互質數。4、化簡比：〔1〕整數比的化簡方法是：用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數。〔2〕小數比的化簡方法是：先把小數比化成整數比，再按整數比化簡方法化簡。〔3〕分數比的化簡方法是：用比的前項和后項同時乘以分母的最小公倍數。5、比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。6、比例尺=圖上距離︰實際距離7、把一個圖形按5：3變化，因為5：3的比值是，這個比值大于1，說明是把原來的圖形每條對應邊放大到原來的，把一個圖形按2：7變化，因為2：7的比值是，這個比值小于1，說明是把原來圖形的每條對應邊縮小到原來的。8、把一般三角形，平行四邊形，梯形放大或縮小時，要做到以下幾點確定底和高的格子數確定高的位置畫圖，標數據9、在同一地點，同時測量不同的物體，物體的高度與影長的比值是相等的10、判斷兩個量成不成比例要符合以下幾點這兩個量必須是相關的量，即一個量變化，另一個量也跟著變化，或者說這兩個量可以用加減乘除建立關系式這兩個量必須是變量如果相關聯的兩個變量比值一定，我們就說這兩個量成正比例關系，成正比例關系的兩個量所描繪的點在同一條直線上。如果相關聯的兩個變量積一定，我們就說這兩個量成反比例關系第二單元空間與圖形〔一〕圖形的認識、測量平面圖形【認識、周長、面積】一、平面圖形：1、角：〔1〕從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角，這一點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的計量單位是“度〞〔2〕角的大小跟邊的長短無關，跟兩條邊叉開的大小有關。〔3〕角的分類：小于90度的角是銳角，等于90度的角是直角，大于90度而小于180度的角是鈍角，等于180度的角是平角，等于360度的角是周角。2、線〔1〕、用直尺把兩點連接起來就得到一條線段，由此可見，線段是直的，有兩個端點，長度可以度量。〔2〕、把線段的一端無限延長，就得到一條射線，由此可見，射線也是直的，只有一個端點，不可度量〔3〕、把線段的兩端無限延長，就得到一條直線，由此可見，直線也是直的，無端點，不可度量，而且線段，射線都是直線的一局部〔4〕兩點確定一條直線，過一點可以畫無數條直線。ABAB〔6〕、點到直線的所有線段中，垂直線段最短。ABAB任意一點到線段兩端的連線相等〔8〕在同一平面內，兩條永不相交的直線叫做平行線。平行線之間的距離處處相等。〔9〕在同一平面內，兩條直線要么平行，要么相交，當兩條直線相交成直角時，我們就說這兩條直線互相垂直，交點叫做垂足，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，〔10〕點到直線的垂直線段叫做點到直線的距離。〔11〕N條直線兩兩相交，交點的個數最多應是1+2+3+……〔n-1〕它可以把平面分成假設干份最多的局部應是1+1+2+3+4……n〔12〕、沿著一條直線對折，折痕兩邊的圖形能夠完全重合，〔而不是完全相同〕我們就說這個圖形是軸對稱圖形〔13〕、長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，圓有無數條對稱軸，半圓有1條對稱軸，像這樣的平行四邊形沒有對稱軸，四條邊相等的四邊形即菱形有兩條對稱軸。3、三角形、四邊形〔1〕、由三條線段圍成的圖形叫做三角形，圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點，叫做三角形的頂點〔2〕、由四條線段圍成的圖形叫做四邊形，常見的四邊形有平行四邊形，長方形、正方形、梯形等〔3〕、由于n條線段圍成的圖形叫n邊形，N邊形內角和=〔n-2〕×1800〔4〕、兩組對邊分邊平行的四邊形叫平行四邊形，平行四邊形、長方形、正方形不僅對邊平行且相等，而且對角也相等，〔5〕平行四邊形沿著對角拉成長方形時，周長不變，面積變大了，長方形沿著對角拉成平行四邊形時，周長不變，面積變小了⑹、只有一組對邊平行的四邊形叫梯形，等腰梯形兩腰相等，兩個底角也相等三角形：銳角三角形：指的是三個角都是銳角的三角形按角分：直角三角形：指的是有一個角是直角的三角形，其余兩個角是銳角鈍角三角形：指的是有一個角是鈍角的三角形，其余兩個角是銳角等腰三角形：指的是兩邊相等的三角形按邊分：等邊三角形：指的是三條邊相等，三個角都是60度的三角形，等邊三角形又叫正三角形。等邊三角形是一種特殊的等腰三角形不等邊三角形：指的是三條邊都不相等的三角形。〔1〕等腰三角形的特征：在等腰三角形里相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底。腰與腰的夾角叫做頂角，腰與底的夾角叫做底角。等腰三角形兩個底角相等。〔2〕三角形的特征：①、三角形具有穩定性②、三角形內角和是180度③在三角形里，最多只能有一個直角，或一個鈍角，最少有兩個銳角④、在三角形里，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊⑤、在三角形中，大角所對的邊也大，因此在直角三角形里，斜邊最長⑥、頂點到底邊的垂直線段叫做三角形的高，任意一個三角形都有三條高，銳角三角形三條高在內部，直角三角形一條高在內部，兩條高在直角邊上，鈍角三角形一條高在內部，兩條高在外部作高時，要把三角板的直角邊與底邊重合，然后沿著底平移到這個底所對應的頂點，通過另外一條直角邊作垂直線段，這就是三角形的高圓1、在圓里，連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑.2、通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，直徑是圓里最長的一條線段3、有一些圖形，把它沿著一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。4、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。5、物體的外表或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。6、周長相等的兩個圖形，面積不一定相等，面積相等的兩個圖形，周長不一定相等。7、在正方形里畫假設干個盡可以能大的圓，圓的面積之和永遠是正方形面積的78.5%8、靠墻圍長方形，圍三面時，當長是寬的兩倍，面積最大，圍四面時，當長和寬相等時面積最大長方形面積=長×寬長方形周長=〔長+寬〕×2正方形面積=邊長×邊長正方形周長=邊長×4三角形面積=底×高÷2三角形周長=三條邊的長度相加平行四邊形面積=底×高平行四邊形的周長〔或梯形周長〕=四條邊的長度相加圓的面積=半徑×半徑×即S=∏r2梯形面積=〔上底+下底〕×高÷2×2×-半徑r直徑d周長c÷2÷4、平面圖形面積公式的推導〔1〕、平行四邊形面積公式推導把平行四邊形通過剪切平移可以轉化成一個長方形長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高長方形面積等于平行四邊形的面積因為長方形面積=長×寬，所以平行四邊形面積=底×高即S=ah〔2〕三角形面積公式的推導用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形面積等于和它等底等高平行四邊形面積的一半因為平行四邊形面積=底×高，所以三角形面積=底×高÷2即S=ah÷2〔3〕梯形面積公式的推導用兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形平行四邊形的底等于梯形的上底與下底的和，平行四邊行的高等于梯形的高梯形面積等于平行四邊形面積的一半因為平行四邊形面積=底×高所以梯形面積=〔上底+下底〕×高÷2即S=〔a+b〕h÷2〔4〕圓的面積公式的推導把圓分成假設干等份，剪開后拼成一個近似的長方形長方形的長相當于圓周長的一半〔∏r〕，寬相當于圓的半徑因為長方形面積=長寬所以圓的面積=∏r×r即S=∏r2二、立體圖形：1、長方體、正方體形體頂點面棱相同點8個頂點有6個面，都是長方形，相對的面大小形狀完全相同。長方體外表積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2或=〔長×寬+長×高+寬×高〕×2S=2ab+2ah+2bh或=(ab+ah+bh)×2正方體是一種特殊的長方體長方體的體積=長×寬×高v=abh或=底面積×高v=sh8個頂點6個面是完全相同的正方形正方體外表積=棱長×棱長×6S=6a2有12條棱，長度都相等正方體體積=棱長×棱長×棱長v=a×a×a=a3〔1〕用n個完全相同的小正方體拼成一橫行或一豎列，共有〔n-1〕個拼接處，因此一共減少了2×〔n-1〕個面〔2〕用兩個完全相同的長方體拼成一個較大的長方體有三種拼法〔上下拼、前后拼、左右拼〕要想拼成的外表積最大，應把最小的面拼在一起，要想拼成的外表積最小，應把最大的面拼在一起〔3〕用幾個完全相同的小正方體拼成一個大長方體，排成一橫行或一豎列這種拼法減少的面最小，因此外表積最大，而用幾個完全相同的小正方體拼成的長方體越接近正方體，減少的面越多，因此外表積越小〔4〕物體所占空間的大小叫做物體的體積。容積所能容納的物體的體積叫做物體的容積，容積實際上就是容器里面的體積。〔5〕把一個棱長為N的正方體涂色后切成假設干個小正方體，這樣三面涂色的小正方體在8個頂點上，兩面涂色的小正方體在棱上，共有〔N-2〕×12個，一面涂色的小正方體在面上，共有6〔N-2〕2〔6〕相對的面應分布在相鄰面或相鄰面所在的行或列的兩側且相對的面大小形狀完全相同2、圓柱和圓錐面體積圓柱兩個底面：是兩個完全相同的圓一個側面：是一個曲面圓柱上下一樣粗細高：兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無數條高圓柱側面積=底面周長×高圓柱外表積=側面積+底面積×2圓柱體積=底面積×高v=sh圓錐圓錐有一個頂點，一個底面，是一個圓形，圓錐的側面是一個曲面，側面展開是一個扇形，圓錐無論是從正面看，還是從側面看都是一個三角形。從頂點到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐的高只有一條圓錐的體積=底面積×高×v=sh底面周長底面周長高把圓柱的側面沿高剪開，得到一個長方形，這個長方形的長與圓柱的底面周長相等，高與圓柱的高相等，因為長方形面積=長×寬即底面周長×高，所以圓柱側面積=底面周長×高圓柱的外表積=一個側面積+兩個底面積圓柱的側面積展開還可能得到一個正方形正方形邊長=圓柱底面周長=圓柱高〔1〕把圓柱的底面平均分成假設干份，沿高切開拼成一個近似的長方體，〔2〕長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高，〔3〕因為長方體體積就是圓柱體積，而長方體體積=底面積×高,所以圓柱的體積=底面積×高即V=Sh當圓柱與圓錐等底等高時，圓柱的體積是圓錐的3倍，圓錐的體積是圓柱的，圓柱體積比圓錐多2倍，圓錐體積比圓柱少圓柱和圓錐等底等高時，圓錐的體積占1份柱的體積占3它們相們的和是4份112用長方形紙圍成一個圓柱，有兩種圍法，〔1〕第一種以長作為底面周長，寬為高，〔2〕第二種以寬為底面周長，長為高，其中以長為底面周長卷成的圓