3.2.2直線的兩點式方程整體設計教學分析本節課的關鍵是關于兩點式的推導以及斜率k不存在或斜率k=0時對兩點式的討論及變形.直線方程的兩點式可由點斜式導出.若已知兩點恰好在坐標軸上(非原點)，則可用兩點式的特例截距式寫出直線的方程.由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點的坐標，因此用截距式畫直線比較方便.在解決與截距有關或直線與坐標軸圍成的三角形面積、周長等問題時，經常使用截距式.但當直線與坐標軸平行時，有一個截距不存在；當直線通過原點時，兩個截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式.三維目標1.讓學生掌握直線方程兩點式和截距式的發現和推導過程，并能運用這兩種形式求出直線的方程.培養學生數形結合的數學思想，為今后的學習打下良好的基礎.2.了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.重點難點教學重點:直線方程兩點式和截距式.教學難點:關于兩點式的推導以及斜率k不存在或斜率k=0時對兩點式方程的討論及變形.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.上節課我們學習了直線方程的點斜式，請問點斜式方程是什么？點斜式方程是怎樣推導的？利用點斜式解答如下問題：（1）已知直線l經過兩點P1(1,2),P2(3,5),求直線l的方程.（2）已知兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點的直線方程.思路2.要學生求直線的方程，題目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).(分別找3個同學說上述題的求解過程和答案，并著重要求說求k及求解過程)這個答案對我們有何啟示？求解過程可不可以簡化？我們可不可以把這種直線方程取一個什么名字呢?推進新課新知探究提出問題①已知兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點的直線方程.②若點P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此時這兩點的直線方程是什么？③兩點式公式運用時應注意什么？④已知直線l與x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直線l的方程.⑤a、b表示截距是不是直線與坐標軸的兩個交點到原點的距離？⑥截距式不能表示平面坐標系下哪些直線？活動:①教師引導學生：根據已有的知識，要求直線方程，應知道什么條件？能不能把問題轉化為已經解決的問題呢？在此基礎上，學生根據已知兩點的坐標，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程.師生共同歸納：已知直線上兩個不同點，求直線的方程步驟：a.利用直線的斜率公式求出斜率k;b.利用點斜式寫出直線的方程.∵x1≠x2,k=,∴直線的方程為y-y1=(x-x1).∴l的方程為y-y1=(x-x1).①當y1≠y2時,方程①可以寫成.②由于②這個方程是由直線上兩點確定的，因此叫做直線方程的兩點式.注意：②式是由①式導出的，它們表示的直線范圍不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示傾斜角為90°的直線的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示傾斜角為0°或90°的直線的方程，但②式相對于①式更對稱、形式更美觀、更整齊，便于記憶.如果把兩點式變成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它來求過平面上任意兩已知點的直線方程.②使學生懂得兩點式的適用范圍和當已知的兩點不滿足兩點式的條件時它的方程形式.教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，發現當x1=x2時，直線與x軸垂直，所以直線方程為x=x1；當y1=y2時，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.③引導學生注意分式的分母需滿足的條件.④使學生學會用兩點式求直線方程；理解截距式源于兩點式，是兩點式的特殊情形.教師引導學生分析題目中所給的條件有什么特點？可以用多少方法來求直線l的方程？哪種方法更為簡捷？然后求出直線方程.因為直線l經過(a，0)和(0，b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得.①就是=1.②注意：②這個方程形式對稱、美觀,其中a是直線與x軸交點的橫坐標，稱a為直線在x軸上的截距，簡稱橫截距；b是直線與y軸交點的縱坐標，稱b為直線在y軸上的截距，簡稱縱截距.因為方程②是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，所以方程②式叫做直線方程的截距式.⑤注意到截距的定義，易知a、b表示的截距分別是直線與坐標軸x軸交點的橫坐標，與y軸交點的縱坐標，而不是距離.⑥考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點或與坐標軸平行的直線不能用截距式.討論結果：①若x1≠x2且y1≠y2,則直線l方程為.②當x1=x2時，直線與x軸垂直，直線方程為x=x1；當y1=y2時，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.③傾斜角是0°或90°的直線不能用兩點式公式表示(因為x1≠x2,y1≠y2).④=1.⑤a、b表示的截距分別是直線與坐標軸x軸交點的橫坐標，與y軸交點的縱坐標，而不是距離.⑥截距式不能表示平面坐標系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點或與坐標軸平行的直線不能用截距式.應用示例思路1例1求出下列直線的截距式方程：（1)橫截距是3，縱截距是5；（2)橫截距是10，縱截距是-7；（3)橫截距是-4，縱截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.變式訓練已知Rt△ABC的兩直角邊AC=3，BC=4，直角頂點C在原點，直角邊AC在x軸負方向上，BC在y軸正方向上，求斜邊AB所在的直線方程.答案：4x-3y+12=0.例2如圖1,已知三角形的頂點是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求這個三角形三邊所在直線的方程.圖1活動:根據A、B、C三點坐標的特征，求AB所在的直線的方程應選用兩點式；求BC所在的直線的方程應選用斜截式；求AC所在的直線的方程應選用截距式.解：AB所在直線的方程，由兩點式,得,即3x+8y+15=0.BC所在直線的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.AC所在直線的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.變式訓練如圖2,已知正方形的邊長是4，它的中心在原點，對角線在坐標軸上，求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程.圖2活動:由于正方形的頂點在坐標軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程.而正方形的對稱軸PQ，MN，x軸，y軸則不能用截距式，其中PQ，MN應選用斜截式；x軸，y軸的方程可以直接寫出.解:因為|AB|=4，所以|OA|=|OB|=.因此A、B、C、D的坐標分別為(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).所以AB所在直線的方程是=1,即x+y-2=0.BC所在直線的方程是=1,即x-y+2=0.CD所在直線的方程是=1,即x+y+2=0.DA所在直線的方程是=1,即x-y-2=0.對稱軸方程分別為x±y=0,x=0,y=0.思路2例1已知△ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點.（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長;（3）求AB邊的高所在直線方程.解：（1）由兩點式寫方程,得，即6x-y+11=0.（2）設M的坐標為（x0,y0），則由中點坐標公式,得x0==1,y0==1,故M（1，1）,AM==2.(3)因為直線AB的斜率為kAB==-6，設AB邊上的高所在直線的斜率為k,則有k×kAB=k×(-6)=-1,∴k=.所以AB邊高所在直線方程為y-3=(x-4),即x-6y+14=0.變式訓練求與兩坐標軸正向圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程.解：設直線方程為=1,則由題意知,有ab=3,∴ab=4.解得a=4,b=1或a=1,b=4.則直線方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2經過點A(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程.解：當截距為0時，設y=kx，又過點A(1,2)，則得k=2，即y=2x.當截距不為0時，設=1或=1,過點A(1,2)，則得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.這樣的直線有3條：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.變式訓練過點A(-5,-4)作一直線l，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5.答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能訓練課本本節練習1、2、3.拓展提升問題：把函數y=f(x)在x=a及x=b之間的一段圖象近似地看作直線，設a≤c≤b，證明f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.證明：∵A、B、C三點共線，∴kAC=kAB,即.∴f(c)-f(a)=［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.課堂小結通過本節學習，要求大家：掌握直線方程兩點式和截距式的發現和推導過程，并能運用這兩種形式求出直線的方程.理解數形結合的數學思想，為今后的學習打下良好的基礎.了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍，樹立辯證統一的觀點，形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.作業課本習題3.2A組9、10.設計感想計算機技術的發展日新月異，將計算機引進課堂是大勢所趨，有條件的學校或教師可以引進或自己制作多媒體課件來輔助教學，以提高教學效果，激發學生興趣，達到事半功倍的效果.介紹如下：在直角坐標系中，給出兩個已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，但A點B點的坐標受變量控制，即是可變的，坐標系中顯示A、B兩點決定的直線，且顯示相對應的兩點式表示的直線方程，當A、B兩點不斷任意變化時，直線和直線方程也隨之不斷變化(通過動感引發學生的興趣)，并伴隨悅耳的音樂聲，只有當x1=x2或y1=y2時，直線依然存在，而直線方程顯示“不存在”(并不斷閃爍)，伴以悅耳的提示音，且變幻的畫面,需用鼠標點擊才能繼續運轉.對于兩點式的其他變式也可以同樣如法炮制.通過這些形象、生動的畫面和聲音能極大引發學生學習的興趣，達到意想不到的效果.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發現水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節約用水就等于保護我們人類自己。

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節約用水的道理，浪費水的現象減少了，宣傳節約用水的人增多了，人人爭做節水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗