3.3垂徑定理第1課時

垂徑定理【學習目標】 1．理解并掌握垂徑定理； 2．會利用垂徑定理解決實際問題．【學法指導】 1．理解圓的對稱性，利用對稱性理解垂徑定理； 2．在運用垂徑定理求有關線段長度時有時需要分類討論．填一填1．圓的軸對稱性圓是_____________，每一條過圓心的直線都是圓的__________．【知識管理】軸對稱圖形對稱軸注意：圓有無數條對稱軸。2．垂徑定理定理：垂直于弦的直徑_________這條弦，并且___________________．平分平分弦所對的弧說明：如圖3－3－1所示，連結OA，OB，利用等腰三角形的性質也可證明定理．圖3－3－13．弧的中點及弦心距弦心距：圓心到圓的___________________叫弦心距．如圖3－3－1所示，OE是弦AB的弦心距．分一條弧一條弦的距離1．(知識點2)已知⊙O的半徑為5，弦AB的弦心距為3，則AB的長是 (

)A．3

B．4C．6 D．8【對點自測】D2．(知識點3)在直徑為10cm的⊙O中，有長為5cm的弦AB，則O到AB的距離等于 (

)D【解析】如圖所示，∵OC⊥AB于C，3．(知識點1)如圖3－3－2所示，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結論中一定正確的是 (

)圖3－3－2B4．(知識點2)如圖3－3－3所示，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于C，則OC的長等于______.圖3－3－3【解析】由垂徑定理可得AC＝4，連結AO，如圖所示，由勾股定理，得OC＝3.3研一研類型之一垂徑定理例1如圖3－3－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，以C為圓心，AC為半徑的圓交斜邊于D，求AD的長．圖3－3－4【點悟】遇到與弦有關的問題往往要過圓心作垂直于弦的直徑． 1.如圖3－3－5，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長為______.圖3－3－582．如圖3－3－6所示，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB于E，CD＝16，AE＝4，求OE的長．圖3－3－6解：連結CO，如圖所示，由AB⊥CD，AB為⊙O的直徑，可得CE＝ED＝8.在Rt△CEO中，CO2＝OE2＋CE2.設OE＝x，則AO＝EO＋AE＝x＋4，又CO＝AO＝x＋4，所以(x＋4)2＝x2＋82，解得x＝6，即OE＝6.例2已知圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則兩弦AB，CD的距離是 (

)A．7cm

B．17cmC．12cm D．7cm或17cmD(2)當圓心O在AB，CD之間時，如圖(2)所示，過O作OE⊥AB于E，延長交CD于F，連結OC，OA，同樣可得OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.所以，AB，CD之間的距離為7cm或17cm.【點悟】(1)本題主要是滲透分類思想，培養嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；(2)學會作輔助線的方法．圖3－3－7證明：如圖所示．作OG⊥AB，分別交AB，CD和圓于點E，F，G.2．如圖3－3－8，在同一平面內，有一組平行線l1，l2，l3，相鄰兩條平行線之間的距離均為4，點O在直線l1上，⊙O與直線l3的交點為A，B，AB＝12，求⊙O的半徑．圖3－3－8類型之二垂徑定理在實際生活中的應用例3

“圓材埋壁”是我國古代著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”答曰：“26寸”．題目用現在的數學語言表達是：“如圖3－3－9所示，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”圖3－3－9【解析】這是一道用垂徑定理和勾股定理解決的題目．【點悟】解決此類問題的關鍵是要由這一實際問題抽象出弦心距、弦長一半及半徑構成的直角三角形這一幾何模型．