中心極限定理HistogramofPrcpodionofHeads0航C45 050 0.55Qflfl0.65PropofliofOHeads本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。中心極限定理是概率論中討論隨機變量和的分布以正態分布為極限的一組定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從正態分布的條件。歷史Tis 寫到：中心極限定理有著有趣的歷史。這個定理的第一版被法國數學家棣莫弗發現，他在 年發表的卓越論文中使用正態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在 年發表的巨著TheorieAnalytiquedesProbabilites中拯救了這個默默無名的理論拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論，指出二項分布可用正態分布逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發現在當時并未引起很大反響。直到十九世紀末中心極限定理的重要性才被世人所知。年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變量定義中心極限定理并在數學上進行了精確的證明。如今，中心極限定理被認為是非正式地概率論中的首席定理。

棣莫佛一拉普拉斯定理用正態分布逼近二項分布棣莫佛一拉普拉斯（ ）定理是中心極限定理的最初版本，討論了服從三項分布的隨機變量序列。它指出，參數為的二項分布以為均值、 為方差的正態分布為極限。內容若口是次伯努利實驗中事件出現的次數， ，則對任意有限區間 ：k-npQW三 <b當一 及^一及時，一致地有P{—焉??5一當）.%時，一致地有

F"「②：其中OO<OO<T<OO)在高爾頓板問題上的應用FIG.7. FIGa. FI6a.FIG.7. FIGa. FI6a.高爾頓繪制的高爾頓板模型，其中的小球顯出鐘形曲線。棣莫佛一拉普拉斯定理指出二項分布的極限為正態分布。高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次_1廣口的伯努利試驗。小球從頂端到底層共需要經過排釘子，這就相當于一個次伯努利試驗。小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變量的概率密度函數。因此，中心極限定理解釋了高密頓板小球累積高度曲線為什么是正態分布獨有的鐘形曲線。林德伯格一列維定理口目口目中心極限定理的動態展示，獨立同分布隨機變量之和趨近正態分布。林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理的擴展，討論獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理。它表明，獨立同分布、且數學期望和方差有限的隨機變量序列的標準化和以標準正態分布為極限:內容設隨機變量獨立同分布，且具有有限的設隨機變量獨立同分布，且具有有限的數學期望和方差_X一升，仃.二，則.y-其中①）是標準正態分布的分布函數。證明

記-M的特征函數為爐㈤，則Z的特征函數為卜（而01由于=O故H（o）=o：，（。）=一，.因此中⑴=1-/沼+武巧所以由于E-祥/2是連續函數，它對應的分布函數為①）因此由逆極限定理知1mP&工？）T中⑶定理證畢。林德伯格費勒定理林德伯格一費勒定理，是中心極限定理的高級形式，是對林德伯格一列維定理的擴展，討論獨立，但不同分布的情況下的隨機變量和。它表明，滿足一定條件時，獨立，但不同分布的隨機變量序列的標準化和依然以標準正態分布為極限：內容且有有限方記隨機變量序列（獨立但不一定同分布，且有有限方差）部分和為

i=l記J=Var（XOn幡=￡學=癡區）!=i如果對每個￡ ，序列滿足1也lim-￡m2；{|X|>^}]=0rbc jt4Un1=1則稱它滿足林德伯格（ ）條件。滿足此條件的序列趨向于正態分布，即冬自4v（o」）與之相關的是李雅普諾夫（ ）條件：1R列苞出<8.典當育工研智斗=0%1=1滿足李雅普諾夫條件的序列必滿足林德伯格條件。證明在此只對較強的李雅普諾夫條件給出證明。以下證明對每一實數，特征函數滿足中多1/外⑴一-1-/2n甲右⑴吟-n廠對端fc=l泰勒展開，上式可近似為nfc=lInfc=lI/|3n ±4n由李雅普諾夫條件，當口八時，第一項收斂于零。令""‘『管"尸’町廠，則由李