西南大學附中重慶育才中學高2024屆拔尖強基聯盟高三十二月聯合考試數學試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應的答題區域內作答，超出答題區域書寫無效；保持答卷清潔、完整.3．考試結束后，將答題卡交回（試題卷學生保存，以備評講）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知復數，則（）A. B. C. D.2.已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（）A.內含 B.相切 C.相交 D.外離3.在首項為1的數列中，滿足，則（）A. B. C.0 D.14.若且，則（）A. B.6 C.36 D.125.已知點M為外接圓O上的任意一點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.6.在平面直角坐標系中，集合，集合，已知點，點，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（）A.2 B. C.1 D.7.設，則（）A. B. C. D.8.點為正四面體的內切球球面上的兩個動點，為棱上的一動點，則當取最大值時，（）A. B.1 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，在正四棱柱中，，O為此正四棱柱的外接球球心，下列說法正確的是（）A. B.球的表面積為C.點到的距離為 D.四棱錐的表面積為10.已知圓，直線（且不同時為0），下列說法正確的是（）A.當直線經過時，直線與圓相交所得弦長為B.當時，直線與關于點對稱，則的方程為：C.當時，圓上存在4個點到直線的距離為D.過點與平行的直線方程為：11.已知函數是偶函數，其中，若函數，則下列說法正確的是（）A.B.圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到C.的一個單調遞增區間是D.若關于的方程在上有兩個不同的實根，則的取值范圍是12.定義在上的函數同時滿足以下條件：①②③④則下列說法正確的有（）A.若，則 B.方程在上無實數解C.若，則 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數列是等差數列，表示數列的前項和，若，則______；14.若，則______．15.設橢圓的兩個焦點是，過點的直線與橢圓交于點，若，且，則橢圓的離心率是______．16.若，則最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.等差數列滿足，等比數列滿足，（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．18.在中，內角所對的邊分別為，滿足（1）求證：；（2）若為銳角三角形，求的最大值．19.五棱錐中，，，，，，，，平面平面，為的中點，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．20.研究表明，學生的學習成績y（分）與每天投入的課后學習時間x（分鐘）有較強的線性相關性．某校數學小組為了研究如何高效利用自己的學習時間，收集了該校高三（1）班學生9個月內在某學科（滿分100分）所投入的課后學習時間和月考成績的相關數據，下圖是該小組制作的原始數據與統計圖（散點圖）．月次123456789某科課后投入時間（分鐘）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573（1）當時，該小組建立了與線性回歸模型，求其經驗回歸方程；（2）當時，由圖中觀察到，第3個月的數據點明顯偏離回歸直線，若剔除第3個月數據點后，用余下的4個散點做線性回歸分析，得到新回歸直線，證明：；（3）當時，該小組確定了與滿足的線性回歸方程為：，該數學小組建議該班在該學科投入課后學習時間為40分鐘，請結合第（1）（2）問的結論說明該建議的合理性．附：經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，21.已知