實際問題與二元一次方程組題型歸納

知識點一：列方程組解應用題的基本思想

列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系.一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統一；(3)方程兩邊的數值要相等.知識點二：列二元一次方程組解應用題的一般步驟

利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：

1．審題:弄清題意及題目中的數量關系；2．設未知數:可直接設元，也可間接設元；

3．找出題目中的等量關系；4．列出方程組:根據題目中能表示全部含義的等量關系列出方程，并組成方程組；5．解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6．寫出答案.

要點詮釋：

(1)解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；

(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

(3)一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.

(4)列方程組解應用題應注意的問題

①弄清各種題型中基本量之間的關系；②審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息；③注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；④正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；⑤在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件；⑥列方程組解應用題一定要注意檢驗。知識點三：列方程組解應用題中常用的基本等量關系

類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程；；；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順水速度；

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。例1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發半小時后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？

思路點撥：畫直線型示意圖理解題意：

(1)這里有兩個未知數：①汽車的行程；②拖拉機的行程.

(2)有兩個等量關系：

①相向而行：汽車行駛小時的路程＋拖拉機行駛小時的路程＝160千米;

②同向而行：汽車行駛小時的路程＝拖拉機行駛小時的路程.

解：設汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小時千米.

根據題意，列方程組解這個方程組，得:

.

答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.

總結升華：根據題意畫出示意圖，再根據路程、時間和速度的關系找出等量關系，是行程問題的常用的解決策略。

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12⑥。

注意：免稅利息=利息

例4．小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）

思路點撥：設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據題意可列出表格：

解：設存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：

，解得：

答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

總結升華:我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數量關系，題目中的相等關系隨之浮現出來.

【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應繳利息所得稅=利息金額×20%）【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復存了3次，每次存款數都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

類型五：列二元一次方程組解決——生產中的配套問題解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

例5．某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現計劃用132米這種布料生產這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點撥：本題的第一個相等關系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數量等于衣身的數量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反了).

解：設用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據題意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

總結升華：生產中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數量比例，依次設未知數，用未知數可把它們之間的數量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵.

【變式1】現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【變式2】某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套。

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？

類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題解這類問題的基本等量關系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

例6.某工廠去年的利潤（總產值—總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？

思路點撥：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。

解：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，根據題意得：

，解之得：

答：去年的總產值為2000萬元，總支出為1800萬元

總結升華：當題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析。

【變式1】若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？

【變式2】某城市現有人口42萬，估計一年后城鎮人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮人口與農村人口。

類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題解這類問題的基本等量關系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數×倍量.

例7.“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產帳篷共9千頂，現某地震災區急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務．求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？

思路點撥：找出已知量和未知量，根據題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據計劃前后，倍數關系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。

解：設原計劃“愛心”帳篷廠生產帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產帳篷y千頂，由題意得：

，解得：

所以：1.6x=1.65=8,1.5y=1.54=6

答：“愛心”帳篷廠生產帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產帳篷6千頂.

【變式1】“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議．號召個人、社區、企業和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活．中國內地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的3倍少13個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動．

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決——數字問題解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n為整數時，奇數可表示為2n+1(或2n-1)，偶數可表示為2n等有關兩位數的基本等量關系式為：兩位數=十位數字10+個位數字

例8.兩個兩位數的和是68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的兩位數，也得到一個四位數，已知前一個四位數比后一個四位數大2178，求這兩個兩位數。

思路點撥：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y。

問題1：在較大的兩位數的右邊寫上較小的兩位數，所寫的數可表示為：100x＋y

問題2：在較大數的左邊寫上較小的數，所寫的數可表示為：100y＋x

解：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y。依題意可得：

，解得：

答：這兩個兩位數分別為45，23.

【變式1】一個兩位數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1，這個兩位數是多少？

【變式2】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少9，求這個兩位數？

【變式3】某三位數，中間數字為0，其余兩個數位上數字之和是9，如果百位數字減1，個位數字加1，則所得新三位數正好是原三位數各位數字的倒序排列，求原三位數。

類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題濃度問題：溶液質量×濃度=溶質質量.

例9．現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？

思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直接設出兩個未知數，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質量；（3）混合前兩種溶液所含水的質量之和＝混合后溶液所含水的質量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。

解：法一：設甲、乙兩種酒精溶液分別取xkg,ykg.依題意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：設甲、乙兩種酒精溶液分別取10xkg和5ykg，

則甲種酒精溶液含水7xkg，乙種酒精溶液含水ykg，根據題意得：

，

所以10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

總結升華：此題的第（1）個相等關系比較明顯，關鍵是正確找到另外一個相等關系，解這類問題常用的相等關系是：混合前后所含溶質相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯系各量之間的關系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應用題，首先要設未知數，多數題目可以直接設未知數，但并不是千篇一律的，問什么就設什么。有時候需要設間接未知數，有時候需要設輔助未知數。

舉一反三：

【變式】要配濃度是45%的鹽水12千克，現有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題幾何問題：解決這類問題的基本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積、體積等計算公式

例10．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關于x、y的二元一次方程組。

解：設長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：

，

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

總結升華：幾何應用題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數量關系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？

類型十一：列二元一次方程組解決——年齡問題年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的例11．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點撥：解本題的關鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據這兩個相等關系列方程。

解：設現在父親x歲，兒子y歲，根據題意得：

，

答：父親現在30歲，兒子6歲。

總結升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數是相同的（相同的時間內）。

【變式】今年，小李的年齡是他爺爺的五分之一.小李發現，12年之后，他的年齡變成爺爺的三分之一.試求出今年小李的年齡.

類型十二：列二元一次方程組解決——優化方案問題：優化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案

例12．某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當地一家農工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可以加工16噸；如果進行細加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時進行.受季節條件的限制，公司必須在15天之內將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此