初中數學競賽綜合強化練習5

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，&ABC,AECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm,B,C,。三點

13

在同一條直線上，下列結論：①AO=BE；②△CFG為等邊三角形；③CM=7cm；

④CM平分NBMD.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.已知“，。均為正數，且必不'，&+?,“7萬是一個三角形的三邊的

長，則這個三角形的面積是（）

31

A.-abB.abC.—abD.lab

22

3.已知a,b滿足（a+1）2-（b-2）《2-b+|c-3|=0,則a+b+c的值等于（）

A.2B.3C.4D.5

4.在一次數學活動課上，某數學老師在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數，從中隨

機取2張，并將它們上面的數相加，重復這樣做，每次所得的和都是5,6,1,8中的

一個數，并且這4個數都能取到，根據以上信息，下列判斷正確的是（）

A.四個正整數中最小的是1B.四個正整數中最大的是8

C.四個正整數中有兩個是2D.四個正整數中一定有3

5.下列方程是一元高次方程的是（）

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+—=0D.x，+l=0

x

6.如圖，AI>BI、C7分別平分ZfiAC、ZABC,ZACB,ID1BC,的周長

為18,ID=3,則AABC的面積為（）

A

BC

A.18B.30C.24D.27

7.若x=。，代數式d+2x+而二的值為T,貝lj當x=-a時，代數式》2+2》+后工

的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

8.分式5x：+lOx+12可取的最大值為（）

x'+2x+2

A.4B.5C.6D.7

二、填空題

9.對于實數P,我們規定：用｛Q｝表示不小于血的最小整數.例如：｛4｝=2,

｛百｝=2,現在對72進行如下操作：

72第一次,｛阮｝=9第二次＞｛碼=3第次＞｛g=2,即對72只需進行3次操作

后變為2.類比上述操作：對36只需進行次操作后變為2；如果只需進行3

次操作后變為2的所有正整數中最大的數為.

10.如圖（1）,將一個等腰直角三角形紙片沿著虛線剪成三塊，再利用這三塊小紙片

進行拼接，恰好拼成一個如圖（2）無縫隙、不重疊的平行四邊形，則夕的值是—.

(1)(2)

11.如圖，四邊形ABC。中，ZCBD=ACAD=9()°,AC=AD,若CD=5五AB,則

tanZACB=.

12.遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，類似現在我們熟

悉的“進位制如圖所示是一位母親記錄孩子出生后的天數，在從右向左依次排列的

不同繩子上打結，滿五進一，根據圖示可知，孩子已經出生的天數是天.

13.如圖，8。為邊長為a的菱形ABC。的對角線，ZBM>=60。，點何，N分別從點

A,B同時出發.以相同的速度沿AB,8。向終點B和。運動，連接。M和AMDM

與AN相交于點尸，連接BP,則2尸的最小值為.

14.如圖，在正方形ABCO中，點。是對角線BO的中點，點尸在線段。。上，連接

AP并延長交CZ）于點E,過點P作尸尸，4P交BC于點F,連接AF、EF,AF交BD于

G,以下三個結論：①4>="；②DE+BF=EF；③凡八所為定值.其中正確的結論

有.（填入正確的序號即可）.

[x=2

15.請寫出一個解是：的二元二次方程，這個方程可以是_____.

[y=l

16.如圖，已知在扇形A08中，ZAOB=120°,半徑04=03=8.P為弧上的動

點，過點「作加于點M,PNLOB于點、N,點、M，N分別在半徑04,08上,

連接MN.點。是APMN的外心，則點。運動的路徑長為.

三、解答題

17.如圖所示，ACA.BC,ADVBD,試證明：A、B、C、。在同一圓上.

D

C

18.已知|"++=0

(1)求m,"的值.

(2)先化簡，再求值：〃7(〃7-2〃)+(n?+〃)--2,”2.

19.對于平面直角坐標系xQy中的線段A8,給出如下定義：線段A8上所有的點到X

軸的距離的最大值叫線段AB的界值，記作卬.”如圖，線段AB上所有的點到工軸的

最大距離是3,則線段AB的界值叱田=3.

⑴若A(-1,-2),B(2,0),線段A3的界值叱m=線段A3關于直線

>=2對稱后得到線段CD,線段CO的界值卬”為；

(2)若E(-l,巾)，F(2,/M+2),線段EF關于直線y=2對稱后得到線段GH；

①當，〃<0時，用含用的式子表示以舊；

②當叫“=3時，〃，的值為；

③當34%H45時，直接寫出，”的取值范圍.

20.如圖①，已知A4?C是等邊三角形，A/，8c于點M,點P是直線BC上一動

點，設點P到AABC兩邊AB、AC的距離分別為九，h2,AMC的高為〃.

(2)如圖②，試判斷九，為，力之間的關系，并證明你的結論.

(3)如圖，當點P運動到BC的延長線上時，求證：左土號=匕+她.

202220221011

(D如圖1,點E在8c的延長線上，將AE繞點A順時針旋轉60。得AF,連接E尸交

AB延長線于點H,若NAEB=15°,HF=4,求AE的長；

(2)如圖2,點E在CA的延長線上，將AE繞點A逆時針旋轉60。得AF,點M為CE的

中點，連接BM,證明：FM=6BM；

(3)如圖3,將AB沿AS翻折得4E(NBAE<120。)，連。￡交AS于點S,當DS取得最

大值時，連接T。，若AT=3,AD=6,求7ZJ-TE的最大值.

22.有一個〃位自然數必〃…g/?能被初整除，依次輪換個位數字得到的新數

Ad…g/m能被我+1整除，再依次輪換個位數字得到的新數cd…g/7他能被x什2整

除，按此規律輪換后，d…g/mbc能被w+3整除，…，…g能被光什〃-1整除,

則稱這個“位數〃".初是年的一個“輪換數”.例如:60能被5整除，06能被6整

除，則稱兩位數60是5的一個“輪換數”；再如：324能被2整除，243能被3整除，

432能被4整除，則稱三位數324是2個一個“輪換數

(1)若一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍，求證這個兩位自然數一定是“輪換

數

(2)若三位自然數次是3的一個“輪換數"，其中a=2,求這個三位自然數赤.

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據等邊三角形的性質得CA=CB,CD=CE,ZACB=60°,ZDCE=60°,則NACE=60。，利

用“SAS”可判斷△AC。絲△BCE,則AO=BE,可判斷①；由等邊三角形的判定得出△CFG

是等邊三角形，可判斷②；證明求出CM長，可判斷③；證明M、F、

C、G四點共圓，由圓周角定理得出/BMC=/FGC=60。，NCMANCFG=60。,得出

NBMC=NDMC,所以CA/平分NB例。，可判斷④，據此即可判定.

【詳解】

解：-：/\ABC,△EC。均為等邊三角形，

AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

，NACG=60。，

二ZBCE=ZACD,

在^BCE和△AC。中，

BC=AC

?NBCE=NACD,

EC=DC

：./\BCE^/\ACD(SAS),

:.BE=AD,故①正確；

ZCAG=ZCBF,

在4。8尸和4CAG中，

Z.CBF=NC4G

BC=AC,

NBCF=NACG

二ABCF^AACG(ASA),

:.FC=GC,

,：ZFCG=60°,

...△CFG為等邊三角形，故②正確；

NEMD=ZMBD+ZMDB^ZMAC+NMDB=NFCB=60°,

NEMD=NACG,

答案第1頁，共28頁

，M、F、C、G四點共圓,

AZBMC=ZFGC=60°,ZCMD=ZCFG=60°,

JNBMC=NDMC,

???CM平分4故④正確；

如圖：過點E作EPLBD于點P,

：.AD=BE=79

?：4DMC=/ABD,NMDC=/BDA,

:?於DMCs叢DBA,

.CMCD

??茄一罰’

.CM3

??--=—,

57

：.CM=y,故③錯誤.

故正確的有3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性

質綜合，勾股定理，四點共圓的判定與性質，熟練掌握全等三角形的手拉手模型是解題關

鍵.

答案第2頁，共28頁

2.A

【解析】

【分析】

構造矩形4BC￡>,E、F分別為AO、AB的中點，設A￡>=26,AB=2a,將所求三角形

—

面積轉化為SACEF=S矩形A8CO—S?AEF-即口J求解.

【詳解】

解：如圖，在矩形A3CQ中，E、尸分別為A。、48的中點，

設AO=2/7,AB=2a,

:?AF=BF=a,AE=DE=b,

工在Rf^AEF、R^BCF、用△CDE中，依次可得到：

EF=^AE2+AF2=>Ja2+b2>

CF=^BF'+BC1=>ja2+4b2，

CE=yjcif+DE2=^4a2+h2，

S&CEF~S,矩形ABC。—$△但.-SABCF-^ACO￡

=2ax2b——xaxb——xax2b——xlaxb

222

=4ab——ab—ab—ah

2

=-3ab,.

2

故選：A

【點睛】

本題考查二次根式的應用.能夠通過構造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形

的面積轉化為矩形和幾個直角三角形的面積之差.利用數形結合是解答本題的關鍵.

答案第3頁，共28頁

3.C

【解析】

【分析】

根據完全平方和算術平方根以及絕對值都是非負數，列出方程求解即可.

【詳解】

解：根據題意，得，(4+1)2+厄工F+lc-3|=0，

'.a+[=0,2-b=0,c-3=0,

解得a=-l,h—2,c=3,

所以a+b+c—-l+2+3=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查了完全平方和算術平方根以及絕對值都是非負數，非負數的性質：幾個非負數的

和為0,那么這幾個數都為0,掌握非負數的性質是解題的關鍵.

4.D

【解析】

【分析】

設這四個數分別為w,X,Y,Z且wvxwywz,分類討論，進而得出符合題意的答案.

【詳解】

解：設這四個數分別為w,X,Y,ZS.W<X<Y<Z,故W+X=5,Y+Z=8,

(1)當W=1時，則X=4,

'：W<X<Y<Z

：.X=Y=Z=4,不合題意舍去，

(2)當卬=2時，則X=3,

當y=X=3時，。=5；

當E>X時，

<?W<X<Y<Z

，Y=Z=4,

故綜上所述，這四個數只能是2,3,3,5或2,3,4,4

答案第4頁，共28頁

A.四個正整數中最小的是2,故選項錯誤，不符合題意；

B.四個正整數中最大的是4或5,故選項錯誤，不符合題意；

C.四個正整數中有兩個可能是3,不是2,故選項錯誤，不符合題意；

D.四個正整數中一定有3,故選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了應用類問題，利用分類討論是解題的關鍵.

5.D

【解析】

【分析】

根據一元高次方程的定義：只含一個未知數，未知項的最高次數大于等于3的整式方程,

即可得出答案.

【詳解】

解：這四個方程都只含一個未知數，

VA,B中未知數的項的次數小于等于2,

:.A,B選項不是一元高次方程，不符合題意，

?.?c中分母中含有未知數，

二是分式方程，

.?.C選項不符合題意，

?；D符合一元高次方程定義：只含一個未知數，未知項的最高次數大于等于3的整式方

程，

??.D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查了一元高次方程的定義，注意幾元幾次方程都首先是整式方程.

6.D

【解析】

【分析】

過/點作/ELA8于點E,/FLAC于點R如圖，利用角平分線的性質得到/E=/F=〃>=3,

答案第5頁，共28頁

然后根據三角形面積公式得到SAABC=S&MB+S△出c+Sw據此即可求得.

【詳解】

解：過/點作于點E,/FL4C于點尸，如圖,

,：AI,BI,C7分別平分/BAC,ZABC,ZACB,

：.IE=IF=ID=3,

??S&ABC=S4IAB+S&[BC+$NAC

=-xABx3+-xBCx3+-xACx3

222

3

=-(AB+BC+AC)

=-xl8

2

=27

故選：D.

【點睛】

本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形

的面積.

7.D

【解析】

【分析】

將等式變形可得(4+1)2+^/^二=0,然后利用非負數性質得出。=-1，n=2,然后將當

x=l時，代入代數式求值即可.

【詳解】

解：???x=a,代數式/+2》+^/^5的值為-1,

答案第6頁，共28頁

/?a2+2a+yJn—2=-1,

(a+l)2+Vrt^2=0,

(a+l)2>0,7?Z2>0,

**?a+1=0,/J—2=0,

解得a=-l,n=2,

當x=I時，代數式f+2x=l+2=3.

故選擇D.

【點睛】

本題考查完全平非負數性質，算術平方根非負性質，完全平方公式，代數式求值，掌握完

全平非負數性質，算術平方根非負性質，完全平方公式，代數式求值是解題關鍵.

8.D

【解析】

【分析】

5x2+10X+12=2,、

先把分式化為-/+2丫+2(⑴)口1，根據完全平方公式的非負性得出(X+D+1N1

即可.

【詳解】

E5X2+10X+125(d+2x+2)+22=2

解.-------------=—--------------=5+---------=J5+------2---

解.J+2X+2f+2x+2V+2X+2(X+])+1;

(x+l)>0,

.(x+1)+1N1,

5寸+必+12

最x=5+2=7.

x2+2x+2

故選：D.

【點睛】

本題考查裂項法把分式分成有理數與分式兩部分，非負數性質，解題的關鍵是掌握裂項法

把分式分成有理數與分式兩部分，非負數性質.

9.3256

【解析】

答案第7頁，共28頁

【分析】

仿照題目已知的例題即可解答.

【詳解】

解：由題意得：

現在對36進行如下操作：

36/｛病｝=6療｛述｝=3髻｛⑸=2,

，對36只需進行3次操作后變為2；

現在對256進行如下操作：

256^（7256｝=16^｛716｝=4^｛^4）-2,

如果只需進行3次操作后變為2的所有正整數中最大的數為：256；

故答案為：3,256.

【點睛】

本題考查了估算無理數的大小，實數的運算，理解已知條件的規定：用｛、6｝表示不小于

4的最小整數，是解題的關鍵.

10.5/2+1

【解析】

【分析】

等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊的平形四邊

形，則等腰直角三角形的面積和平行四邊形的面積相等，可得;++求

出。和〃之間的關系即可得出結論.

【詳解】

解：如圖，等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊

的平行四邊形，

.??等腰直角三角形的面積等于平行四邊形的面積，

由圖（1）可知：等腰直角三角形的直角邊的長為（4+3，由圖（2）可知：平行四邊形的

底邊長為（a+b+9,高為

.1(a+4=a(a+b+b),

"2

答案第8頁，共28頁

Ah2-2ab-a2=0,

解得：-=V2+l^-=-＞/2+l（舍去）,

aa

...2的值是&+1.

a

故答案為：夜+1

【點睛】

本題考查了圖形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四邊形的面積公

式.解決本題的關鍵是利用轉化思想，剪拼前后兩個圖形的面積相等.

11.1

7

【解析】

【分析】

由/CB0=/CA0=9O。得到A、B、C、。四點共圓，C￡＞為直徑，取C￡＞的中點0,連接A0

并延長交。。于點E,連接BE,設AB=x,則AE=5Vir，勾股定理求出BE,利用

ZAEB=ZACB,求NAEB的正切函數值即可.

【詳解】

解：二?四邊形A8CD中，ZCBD=ZCAD=90°,

；.A、B、C、。四點共圓，

...C￡＞為直徑，

取8的中點0,連接A。并延長交。。于點E,連接BE,

：.AE=CD,

CD=5讓AB,

，設AB=x,則AE=5&X，

答案第9頁，共28頁

BE=>JAE2-AB2=7x，

/AEB=NACB,

【點睛】

此題考查了四點共圓，圓周角定理，勾股定理，三角函數計算，正切理解四點共圓是解題

的關鍵.

12.38

【解析】

【分析】

由題可知，孩子出生的天數的五進制數為123,化為十進制數即可.

【詳解】

解：根據題意得：

孩子出生的天數的五進制數為123,

化為十進制數為：123=1x5?+2x5,+3x5°=38（天）,

???孩子已經出生的天數是38天.

故答案為：38.

【點睛】

本題以數學文化為載體，主要考查了進位制等基礎知識和運算能力.解題的關鍵是會將五

進制轉化成十進制.

13.￡

3

【解析】

答案第10頁，共28頁

【分析】

如圖，延長CD使C￡）=r>G,AADG是等邊三角形，證明A4OW”AB4N（S4S）,有

ZADM=ZBAN,ZDAP+ZBAN=60°,ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=\SO0,

AD

A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為F,GB=2ABcos30°,當G、P、8三點共線即

cos30°

GP為圓的直徑時，BP最短對BP=GB-GP,計算求解即可.

【詳解】

解：如圖，延長CO使C￡>=OG,

???四邊形ABC。是菱形，ZBAD=60°

：.ZADG=60°fAD=GD

???4AOG是等邊三角形

在^ADM和△RAN中

AD=BA

?：\zDAM=ZABN=60°

AM=BN

：.AADMABAN(SAS)

/.ZADM=ZBAN

?/ZZMP4-ZB/W=60O

ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°

AD

...A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為2

cos3003

G8=2ABcos300=耳

答案第11頁，共28頁

...當G、P、8三點共線即GP為圓的直徑時，BP最短,

：.BP=GB-GP=^3a-2x—=—

33

故答案為：叵.

3

【點睛】

本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，四點共

圓，余弦等知識.解題的關鍵在于證明四點共圓.

14.

【解析】

【分析】

①證明A,B,F,P四點共圓，推出/%G=/P8F=45。，可得結論；②將AAOE繞點A順

時針旋轉90。得到△A8M,利用全等三角形的性質證明即可；③由AAM絲推出

S^AEF=S^AMF=^FM.AB,因為尸M的長度是變化的，所以△AE尸的面積不是定值.

【詳解】

取AF的中點T,連接尸T,BT.

\-AP±PF,四邊形ABC。是正方形，

二/4BF=NAPF=90°,ZABD=ZCBD=45°,

'：AT^TF,

：.BT=AT=TF=PT,

...A,B,F,尸四點共圓，

二/%F=/PBF=45°,

，N%F=NPM=45°,

：.PA=PF,故①正確，

將AADE繞點A順時針旋轉90。得到△A8M,

ZADE=ZABM=90°,ZABC=90°,

，ZABC+ZABM=\S00,

：.C,B,M共線,

NEAF=45。,

：.ZMAF=ZFAB+ZBAM=ZFAB+ZDAE=45°,

：.NFAE=NFAM,

答案第12頁，共28頁

在△硼M和△陽E中,

FA=FA

-ZFAM=NFAE,

AM=AE

：./\FAM^/\FAE(SAS),

：.FM=EF,

'：FM=BF+BM=BF+DE,

：.EF=DE+BF,故②正確，

/XAEF^/XAMF,

：.SAAEF=SAAMF=-FM>AB,

2

???■FM的長度是變化的，

.??△AEF的面積不是定值，故③錯誤,

故答案為：①②.

【點睛】

本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，四點共圓，等腰直角三角形的判定和

性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填

空題中的壓軸題.

15.xy=2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根據有兩個未知數，且方程中最高次是二次的方程是二元二次方程解答.

【詳解】

解：".'x=2,y=\,

.,.xy—2,且孫=2是二元二次方程，

故答案為：孫=2（答案不唯一）.

【點睛】

答案第13頁，共28頁

本題考查高次方程的概念，掌握二元二次方程中未知數是兩個，且最高次是二次這個知識

點是解題的關鍵.

16.”.

3

【解析】

【分析】

根據點尸在弧A8上運動，其路徑也是一段弧，由題意可得，點戶運動路徑所對的圓心角是

60°,連接尸O,取尸O的中點H,連接MH,NH,根據在RtAPMO和RtAPNO中，點，是

斜邊PO的中點，可證得點尸，M,0,N四點均在同一個圓，即0H上，過點”作

HKLMN,垂足為點K,由垂徑定理，ZM〃K=60。，MH=4,可求得

MN=2MK=4也,再根據點H和點O重合，得到點。運動路徑所對的圓心角是60。，根

據弧長公式可求解.

【詳解】

解：點尸在弧A812運動，其路徑也是一段弧，由題意可知,

當點M與點。重合時，NPMB=30°,

當點N與點。重合時，"24=30。，

點P運動路徑所對的圓心角是120°-30°-30°=60°,

如圖，連接尸O,取PO的中點”，連接AW,NH,

在RtAPMO和RtAPNO中，點H是斜邊PO的中點，

:.MH=NH=PH=0H='P0=4,

2

根據圓的定義可知，點P,M,0,N四點均在同一個圓，即。”上,

又AMON=120。，NPMO=ZPNO=90°,

4MPN=60°,AMHN=2NMPN=120°,

過點H作“，用N,垂足為點K,

由垂徑定理得，MK=KN=；MN,

答案第14頁，共28頁

.?.在RtAHMK中，ZMHK=60°,MH=4,則MK=26,

:.MN=2MK=4y/3,

*/H是\PMN的外接圓的圓心,

圖2

:.OD=PD,

.?.點。是以點。為圓心g。尸=4為半徑，

?.?點P運動路徑所對的圓心角是120°-30°-30°=60°,

點D運動路徑所對的圓心角是120°-30°-30。=60°,

二點。運動的路徑長為券^=學.

18(33

4〃

故答案是：工-.

【點睛】

本題考查了直徑所對的圓周角是直角，弧長公式，三角形的外心的性質，理解題意熟悉公

式是解題的關鍵.

17.見解析

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出AE=8E=CE=DE進而得出答案.

【詳解】

證明：如圖，取A8的中點E,連接CE,DE,

VAC1BC,AD1BD,

答案第15頁，共28頁

，AA8C和△433為直角三角形，

CE^-AB^AE^BE,DE=-AB,

22

/.AE=BE=CE=DE,

:.A,B,C,。四點都在以點E為圓心，AE長為半徑的圓上.

【點睛】

本題主要考查了四點共圓和直角三角形的性質，得出AE=BE=CE=DE是解題的關鍵.

18.(1)加=-1,n=5

(2)〃2,25

【解析】

【分析】

(1)分別根據絕對值的非負數、完全平方數的非負數列出機、〃的方程，解之即可求出

"八n的值;

(2)先利用整式的運算法則化簡，再代入“3〃值計算即可求解.

(1)

解：V|W+1|+(?-5)2=0,|W+1|>0,(M-5)2>0,

/.m+l=0,n—5=0,

解得：m=-\,n=5,

(2)

解：〃?(6一2〃)+(m+〃)“-2nr

=nr-2nm+m2+2mn+zz2-27n2

-n2,

當n=5時，原式=5?=25.

【點睛】

本題考查了絕對值與二次根式的非負性、多項式乘法的化簡求值，還涉及完全平方公式、

合并同類項法則等知識，熟練掌握非負數的性質以及運算法則是解答的關鍵.

19.(1)2,6

⑵①%〃=4沏；1,5；-\<m<\,5<m<7

【解析】

答案第16頁，共28頁

【分析】

（1）由對稱的性質求得C、。點的坐標即可知唯0=6.

（2）由對稱的性質求得G點坐標為（-1,4-機），”點坐標為（2,2-m）

①因為加＜0,故4-〃?＞2-"?＞0,則卬＜；"=4-"7

②需分類討論|4-叫和|2-同的值大小，且需要將所求加值進行驗證.

③需分類討論，當|4—時＞|2-時，則3M|4—機區5且|2—討43,當|4—討＜|2—時，貝！］

3412TH45且|4-討43,再取公共部分即可.

（1）

線段AB上所有的點到x軸的最大距離是2,則線段A8的界值口品=2

線段AB關于直線y=2對稱后得到線段CO,C點坐標為（-1,6）,。點坐標為（2,4）,

線段8上所有的點到x軸的最大距離是6,則線段C。的界值%＞=6

⑵

設G點縱坐標為"點縱坐標為b

b+m+2小

由題意有f=2,-------=2

2

解得a=4-m,b-1-nx

故G點坐標為（-1,4如），H點坐標為（2,2-m）

①當機<0,4-m>2-m>0

故叫〃=4-團

②若|4-時＞|2-時,則|4—叫=3

即m=1或m=7

當年=1時，|4一時=3,符合題意

當刀=7時，|4一時=3,|2—w=5,|4_時＜|2_",不符合題意,故舍去.

若|4—時＜|2—對，則|2-+3

即m=-］或"?=5

當片-1時，|4—網=5,|2-討=3,|4-討＞|2—叫，不符合題意，故舍去

答案第17頁，共28頁

當zn=5時，|4一同=1,|2-時=3,符合題意.

則叱汨=3時，機的值為1或5.

③當|4一同>|2—時,則344一時<5且|2—m|W3

故有34|4-討，

解得m￡1,m>7

|4-/??|<5,

解得一1工加49

i^L-\<m<\,7</n<9

|2—zn|<3

解得一14加工5

故一1<m<\

當|4_"v|2_時,則3力一小5且|4-小3

故有34|2-日，

解得力工-1,tn>5

|2-^<5,

解得—3<機<7

故一3W/nW-l,5<m<7

|4-/TT|<3

解得\<m<l

故5K加K7

綜上所述，當3W%H45時，機的取值范圍為—和5WmW7.

【點睛】

本題考查了坐標軸中對稱變化和含絕對值的不等式，本題不但要分類討論4-加和2-〃?的大

小關系，還有去絕對值的情況是解題的關鍵.忖4。的解集為-a4x4a,|目2。的解集為

x<-a,x^a.

20.(1)當點P與點M重合時，%=瓦,理由見解析；

答案第18頁，共28頁

(2)〃=0+心，證明見解析；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】

(D當點尸與點M重合時，過點M作于點/，MEJ_AC于點E,由等邊三角形

的性質得出BM=C仞，AB=AC,則S4ABM=S」ACM,根據三角形面積公式可得出結論；

(2)連接AP,根據S4ABe=5zABP+S"lPC可得出結論；

(3)連接AP,根據S?PC+LA8C=S"8尸可得出力2+〃=〃/,進行變形后可得出結論.

(1)

解：當點P與點M重合時，hi=h2,

理由：過點M作MFLAB于點F,MELAC于點E,如圖①，則ME=h2,

「△ABC是等邊三角形，AMLBC,

：.BM=CM,AB=AC,

：.S^ABM=SAACM,

:.MF=ME,

(2)

h=hj+fi2.

證明：如圖②，連接AP,則SAABC=SAABP+S^APC,

：.BC'AM=^AB-PF+-AC-PE,B|JyBC-h^-AB-ht+yAC-h2,

又???△ABC是等邊三角形，

：.BC=AB=AC,

/z—/l/+/l2；

答案第19頁，共28頁

圖②

(3)

解：如圖③，連接4P,則SAAPC+SAABC=SAABP,

：.^AC-PE+BC-AM=^AB-PF,B|JAC-h2+BC'h=AB-h1,

又「△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC=AB,

%2+人=加,

.,.(九-仃"

兩邊同時除以2022得，"+片_絕=上,

202220222022

.」+后桃力2即月+1力2?/棋

2022__ion_2022''2022-2022+1017

圖③

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，三角形的面積，運用等積法建立關系式

是解題的關鍵.

21.(1)46+8；

(2)見解析

⑶6G乂也-6+3—31/6+3\/2

【解析】

答案第20頁，共28頁

【分析】

(1)過點“作“交4產于3根據菱形ABC。，ZABC=120°,得出/048=180。-

ZABC=180°-120°=60°,AD//BC,可得NDAE=NAEB,可求ND4E=15。，先證△AEF

為等邊三角形，得出/F=60。，根據余角性質可求/雙尸=90。-//=30。，利用30。直角三角

形性質可求L尸=2"尸=2x4=8,根據勾股定理LH=yjLF2-FH2=782-42=4>73，再證

ZAHL^^HAF,得出AL=L”=4指即可；

(2)過8作8L_LAC于L,過尸作尸K_LAE于K,設AE=,%AC=〃，將4E繞點A逆時針

旋轉60。得AR得出尸為等邊三角形，nTWAF=EF,可求N4FK=/EFK=30。，

AK=EK=；m,根據勾股定理在Rl^AKF中，FK=ylAF2-AK2=卜-圉當m，根

據菱形A8CZ),可求AL=CL=；",NCBL=NABL=60°,進而可求/LC8=90°-/CBL=30°,利

用30。直角三角形性質得出BC=2B3在R@8CL中，根據勾股定理BC?=BL?+CZ?，得

出比邛CL邛x],根據點M為CE中點,可得CM=EM=gEC=g(m+〃),得出

A/K=M￡KE=：(m+〃)一；加,ML=MC-CL^m+n)-^n=^m,再利用勾股定理股

定理FM7KM-KF?=j⑶+=；)3濟+“2

BM=y/LM。+LB?=［怎)+與X；的=Jxg力/+/=2加即

可;

(3)連結S3,過E作7ZLOE,,過G作G/LAO于/,過T作"J_AB于J,在77)上截

取TE=TE,根據將A3沿AS翻折得AE(N&4￡：<120。)，ZBAS=ZEAS,AB=AE,可證

△A8S絲”ES(SAS),可得NA8S=NAES,根據四邊形ABC。為菱形，證明A、S、B、D

四點共圓，得出點S在AABO的外接圓劣弧AB上運動，當ASJ_4B時，OS長最大，

ZADH=90°-ZDAH=30°,AH=3,DH^^D^C-AH2=>/62-32=3>/3>點T在以點4為圓3

為半徑的圓上運動，當點A關于"直線的對稱點在NAQH的角平分線￡>T上時，TD-TE

的值最大，設點A的對稱點為G,Rt"/G中，根據勾股定理AG2=A/2+/G2即

答案第21頁，共28頁

（3-機）~=（6-36）+tn2,解得根=6\/5—9,在R3QGH中，根據勾股定理求得DG,可

求。T,再證四邊形為矩形，可得JH=TL=3g-3,在"上截取。277V,可得

NNDT=NNTD=\50,得出NFNL=NNDT+NNTD=30。可求DN=TN=2TL,根據在RtZkTTVL

中，根據勾股定理NL二折屋垣=麗=9一36,在RSAHE中，ZEA//=60°,根據

DE=sin60°xAE=373,DE=60LE=OE-OL=7Z求出7E艮可.

（1）

解：過點H作HLLEF,交4尸于￡,

???菱形ABC。，ZABC=120°

???ZDAB=\80°-ZABC=180°-l20°=60°,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

,/ZAEB=15°f

：.ZDAE=\5°9

TAE繞點A順時針旋轉60。得AF,

???△AE尸為等邊三角形，

???ZF=60°,

■:HL1EF,

：.Z/7LF=90°-ZF=30°,

ALF=2/7F=2x4=8,根據勾月殳定理LH=JZ廣二不產=二不=40，

?；NDAE+NEAH=NEAH+NHAF=6。。

：.ZDAE=ZHAF=i5°,

???/”次為“/〃的外角，

?,.ZAHL=ZHLF-ZHAF=30°-15°=15°,

JZAHL=ZHAFf

:?AL=LH=46?

AE=AF=AL-^LF=4百+8；

答案第22頁，共28頁

E

D

C

B

ARH

GL

F

⑵

證明：過B作BZAAC于3過尸作尸K_LAE于K,設AE=M,AC=n,

?.?將AE繞點A逆時針旋轉60。得AF,

.'.AE=AF=m,ZEAF=60°,

...△AEF為等邊三角形，

:.AF=EF,

,：FKA.AE,

；.NAFK=NEFK=30°,AK=EK=-m,

2

在RSAK/中，FK=dAFJAK2=

?.,菱形ABC。，ZABC=120°,BLLAC,

：.AL=CL=1?,ZCBL=ZABL=60°,

2

ZLCB=90°-ZCBL=30°,

:.BC=2BL,

在RtABCL中，根據勾股定理SC?=BI}+CI：，即4BL2=Bl}+CL2.

解得BL=*L=與嗎,

?.?點M為CE中點，

：.CM=EM=^EC=y(/n+H),

/.MK=ME-KE=+=ML=MC?CL=J("?+〃)一；〃=gm,

答案第23頁，共28頁

在RSMKF中，根據勾股定理FM=yjKM2+KF2

在RIAMLB中，根據勾股定理BM=y)LM2+LB2

：.BM=J-x-yj3m2+n2=-\=FM,

V32>/3

:.FM=；

⑶

解：連結SB,過E作7Z，￡>E,,過G作GHA。于/,過T作7V_LA8于J,在77)上截取

TE'=TE,

?；將AB沿AS翻折得AE(ZBAE<120°),

AZBAS=ZEAS,AB=AE,

在"BS和AES中，

AB=AE

-ZBAS=ZEAS,

AS=AS

：./\ABS^￡,AES(SAS),

ZABS^ZAES,

???四邊形ABC。為菱形，

：.AD=AB=AE=6,ZABC=\20°,

：.NADE=NAED=NABS,ZDAB=180°-ZABC=60°,

；.A、S、B、。四點共圓，

...點S^ABD的外接圓劣弧AB上運動，

答案第2