2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題（每題3分，計30分，每題只有一個正確的答案）1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣32．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝23．我國新能源汽車產業發展取得了明顯成效，逐漸進入市場化驅動階段．下列新能源汽車圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．用配方法將二次函數y＝x2﹣8x﹣9化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7 C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣255．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定6．二次函數y＝（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）7．在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業時長明顯減少．2022年上學期每天書面作業平均時長為100min，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業時長為70min．設該校這兩學期平均每天作業時長每期的下降率為x，則可列方程為（）A．70（1+x2）＝100 B．70（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．100（1﹣x2）＝708．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得到△ADE，若∠E＝75°且AD⊥BC于點F，則∠BAC的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．80°9．將二次函數y＝﹣2（x+1）2+5的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移4下單位長度，所得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+9 B．y＝﹣2（x+3）2+9 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+110．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x＝﹣1，且過點（﹣3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④b2﹣4ac＞0．其中說法正確的是（）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④二、填空題（每小題3分，共計30分）11．在平面直角坐標系中，與點P（2，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是．12．函數y＝中自變量x的取值范圍是．13．方程kx2﹣9x+8＝0的一個根為1，則k＝．14．二次函數y＝3（x+2）2﹣5的最小值是．15．如果函數y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函數，那么m的值為．16．二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點坐標是．17．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，若點A，D，E在同一條直線上，且AB＝1，BC＝2，則AD的值為．18．電腦病毒傳播快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有121臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則x＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，點D是AB邊所在直線上的點，且BD＝BC，則CD＝．20．如圖，在正方形ABCD中，點E為AB上點一點，連接DE，點F在DE上，EF＝2DF＝2，連接AF，∠FAE＝∠ADE+∠AFE，連接BF，則S△BEF＝．三、解答題：（共60分）21．（7分）用指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（公式法）；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）．22．（7分）如圖，在正方形網格中，建立平面直角坐標系，△ABC的三個頂點都在格點上，點A（1，1），B（2，4）．（1）將△ABC繞著點O逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關于原點對稱的△A2B2C2；（3）在x軸上找一點D，使A1D+B1D的值最小，請直接寫出點D的坐標．23．（8分）如圖，已知拋物線的二次項系數為1，且經過點（1，﹣8）和（﹣2，7），請回答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC，BC，求△ABC的面積．24．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連接DE．（1）求證：四邊形BCDE是菱形．（2）若∠BAD+∠BED＝180°，AE＝BC，在不添加任何輔助線的條件下，直接寫出圖中所有等于120°的角．25．直播購物逐漸走進了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件，通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，若將每件商品售價定為x元，日銷售量設為y件．（1）求y與x的函數表達式；（2）當x為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？26．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠BAC＝∠BDC，∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC．（1）求證：AB＝AC；（2）過點A作AE⊥BD，垂足為點E，求證：BD﹣CD＝2DE；（3）點F為BC上一點，連接AF，DF，AF+DF＝，∠CAF＝2∠DBC，若∠BAC＝120°，CD＝2，求線段BD的長．27．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2+3x+c與x軸交于點A、B（A左B右），與y軸交于點C，直線y＝﹣x+4經過點B、C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P為第一象限內拋物線上一點，連接PA，PB，設點P的橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，如圖3，AP交y軸于點D，AD＝DP，點F為x軸上點B右側一點，∠PAB﹣∠BPF＝45°，將線段AB繞著點A逆時針旋轉至AE，AE∥PF，連接OE交拋物線于點H，求點H的坐標．

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區九年級（上）第一次月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，計30分，每題只有一個正確的答案）1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣3解：一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次項系數為1，一次項系數為﹣1，常數項為3．故選：B．2．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2，故選：D．3．我國新能源汽車產業發展取得了明顯成效，逐漸進入市場化驅動階段．下列新能源汽車圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．4．用配方法將二次函數y＝x2﹣8x﹣9化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7 C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故選：C．5．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定解：一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0根的判別式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0有兩個不相等的實數根，故選：A．6．二次函數y＝（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）解：拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標是（3，1）．故選：D．7．在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業時長明顯減少．2022年上學期每天書面作業平均時長為100min，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業時長為70min．設該校這兩學期平均每天作業時長每期的下降率為x，則可列方程為（）A．70（1+x2）＝100 B．70（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．100（1﹣x2）＝70解：設根據題意得：100（1﹣x）2＝70．故選：C．8．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得到△ADE，若∠E＝75°且AD⊥BC于點F，則∠BAC的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．80°解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝75°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°．故選：B．9．將二次函數y＝﹣2（x+1）2+5的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移4下單位長度，所得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+9 B．y＝﹣2（x+3）2+9 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+1解：將二次函數y＝﹣2（x+1）2+5的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移4下單位長度，所得到的拋物線的解析式為：y＝﹣2（x+1+2）2+5﹣4，即y＝﹣2（x+3）2+1．故選：D．10．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x＝﹣1，且過點（﹣3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④b2﹣4ac＞0．其中說法正確的是（）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，2a﹣b＝0，②正確，符合題意．∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，①正確，符合題意．∵拋物線經過（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經過（1，0），∴x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，③錯誤，不符合題意．從圖象看，拋物線和x軸有2個交點，故b2﹣4ac＞0正確，故④正確，符合題意．故選：D．二、填空題（每小題3分，共計30分）11．在平面直角坐標系中，與點P（2，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是（﹣2，3）．解：點P（2，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．12．函數y＝中自變量x的取值范圍是x≥．解：由題意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案為：x≥．13．方程kx2﹣9x+8＝0的一個根為1，則k＝1．解：把x＝1代入方程得：k﹣9+8＝0．解得k＝1．14．二次函數y＝3（x+2）2﹣5的最小值是﹣5．解：由于（x+2）2≥0，所以當x＝﹣2時，函數取得最小值為﹣5．故答案為：﹣5．15．如果函數y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函數，那么m的值為﹣1．解：∵函數y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函數，∴|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣1．故答案為：﹣1．16．二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點坐標是（0，3）．解：∵y＝（x﹣1）2+2，當x＝0時，y＝1+2＝3，∴二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點坐標是（0，3）；故答案為：（0，3）．17．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，若點A，D，E在同一條直線上，且AB＝1，BC＝2，則AD的值為．解：連接BD，由旋轉得：BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，∴BD＝BC＝2，由旋轉得：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠E＝45°，由旋轉得：∠CAB＝∠E＝45°，∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，在Rt△ABD中，AB＝1，∴AD＝＝＝，故答案為：．18．電腦病毒傳播快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有121臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則x＝10．解：每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，列方程得：1+x+x（1+x）＝121，∴x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10．答：每輪感染中平均一臺電腦會感染10臺電腦．故答案為：10．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，點D是AB邊所在直線上的點，且BD＝BC，則CD＝2或2．解：分兩種情況：①如圖1，當點D在AB邊上時，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵BD＝BC，∴△BCD是等邊三角形，∴CD＝BC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（負值已舍去），∴CD＝2；②如圖2，當點D在AB延長線時，過點B作BE⊥CD于點E，則∠CEB＝90°，由（1）得：BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵BD＝BC，∴CE＝CD，∠CBE＝∠CBD＝×120°＝60°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝BC＝×2＝1，在Rt△CEB中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝2；綜上所述，CD的長為2或2，故答案為：2或2．20．如圖，在正方形ABCD中，點E為AB上點一點，連接DE，點F在DE上，EF＝2DF＝2，連接AF，∠FAE＝∠ADE+∠AFE，連接BF，則S△BEF＝7．解：如圖，作AN⊥DE于N，BM⊥DE交DE的延長線于M，BG⊥AN交AN的延長線于G，，則∠BMN＝∠MNG＝∠BGN＝90°，∴四邊形BMNG是矩形，∴NG＝BM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∠GAB+∠AED＝90°，∴∠ADN＝∠GAB，∵∠AND＝∠AGB＝90°，DA＝AB，∴△DAN≌ABG（AAS），∴AG＝DN，∵∠FAE＝∠ADE+∠AFE，∠FAE＝∠FAG+∠GAB，∠ADE＝∠GAB，∴∠FAN＝∠AFN，∴AN＝FN，∴AG﹣AN＝DN﹣FN，∴，∴，故答案為：7．三、解答題：（共60分）21．（7分）用指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（公式法）；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）．解：（1）2x2﹣5x+1＝0，∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴，∴，；（2）（2x﹣1）2﹣x2＝0，（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，（3x﹣1）（x﹣1）＝0，3x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝1．22．（7分）如圖，在正方形網格中，建立平面直角坐標系，△ABC的三個頂點都在格點上，點A（1，1），B（2，4）．（1）將△ABC繞著點O逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關于原點對稱的△A2B2C2；（3）在x軸上找一點D，使A1D+B1D的值最小，請直接寫出點D的坐標．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求：（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求：（3）如圖所示，點D即為所求：D（﹣2，0）．23．（8分）如圖，已知拋物線的二次項系數為1，且經過點（1，﹣8）和（﹣2，7），請回答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC，BC，求△ABC的面積．解：（1）由題意得，設拋物線的解析式為y＝x2+bx+c，把（1，﹣8）和（﹣2，7）分別代入y＝x2+bx+c得：，解得．∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）當y＝0時，x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1．∴A（﹣1，0），B（5，0），∴AB＝6．當x＝0時，y＝﹣5，∴C（0，﹣5）∴OC＝5．∴S△ABC＝AB?OC＝＝15．24．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連接DE．（1）求證：四邊形BCDE是菱形．（2）若∠BAD+∠BED＝180°，AE＝BC，在不添加任何輔助線的條件下，直接寫出圖中所有等于120°的角．【解答】證明：∵AB＝AD，BC＝CD，∴AC為BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴∠BOE＝∠DOC＝90°，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，，∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∵CB＝CD，∴四邊形BCDE是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，∠BCD＝∠BED，AC⊥BD，∵AE＝BC，∴AE＝BE＝DE，∴∠BAO＝∠EBA，∠DAO＝∠EDA，∵AB＝AD，BE＝DE，AC⊥BD，∴∠BAO＝∠DAO＝∠BAD，∠BEO＝∠DEO＝∠BED，∵∠BAD+∠BED＝180°，∴∠BEO+∠BAO＝90°，∠DEO+∠DAO＝90°，∵∠BEO＝∠BAO+∠EBA，∠DEO＝∠DAO+∠EDA，∴3∠BAE＝90°，3∠DAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∴∠BEO＝∠DEO＝2×30°＝60°，∴∠BED＝∠BEO+∠DEO＝60°+60°＝120°，∠AEB＝180°﹣∠BEO＝180°﹣60°＝120°，∠AED＝180°﹣∠DEO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BCD＝120°，∴圖中所有等于120°的角為：∠AEB、∠AED、∠BED、∠BCD．25．直播購物逐漸走進了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件，通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，若將每件商品售價定為x元，日銷售量設為y件．（1）求y與x的函數表達式；（2）當x為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）y＝20+＝140﹣2x，所以y與x的函數表達式為y＝﹣2x+140；（2）設銷售利潤為w元．依題意得：w＝（x﹣40）（140﹣2x），整理得：w＝﹣2x2+220x﹣5600，化成頂點式得w＝﹣2（x﹣55）2+450，∴當x為55時．每天的銷售利潤最大，最大利潤是450元．26．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠BAC＝∠BDC，∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC．（1）求證：AB＝AC；（2）過點A作AE⊥BD，垂足為點E，求證：BD﹣CD＝2DE；（3）點F為BC上一點，連接AF，DF，AF+DF＝，∠CAF＝2∠DBC，若∠BAC＝120°，CD＝2，求線段BD的長．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠BCD﹣∠ABD＝∠ABC，∴∠BCD﹣∠DCA＝∠ABC，即∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）證明：在BD上截取BH＝CD，連接AH，如圖：由（1）知：AB＝AC，∠ABH＝∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴AH＝AD，∵AE⊥BD，∴EH＝ED，∴DH＝2DE，∴BD﹣BH＝DH＝2DE，∴BD﹣CD＝2DE；（3）解：延長AF至點G，使AG＝AC，連接CG，BG，過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥BD于N，如圖：由∠CAF＝2∠DBC，設∠CAG＝2α，則∠DBC＝α，∴∠AGC＝∠ACG＝90°﹣α，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠FCG＝∠ACG﹣∠ACB＝60°﹣α，∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°﹣α＝∠ACD，∴∠DCF＝∠ACD+∠ACB＝60°﹣α，∴∠FCG＝∠DCF＝60°﹣α，∵AG＝AC＝AB，∠BAG＝120°﹣2α，∴∠AGB＝∠ABG＝30°+α，∴∠CBG＝∠DBC＝α，∵BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（ASA），∴CD＝CG，∵CF＝CF，∠FCG＝∠DCF，∴△DFC≌△GFC（SAS），∴DF＝FG，∵AF+DF＝，∴AF+FG＝，∴AG＝＝AC＝AB，∴AM＝AB＝，CM＝AM＝，∴BC＝2CM＝2，∵∠BDC＝∠BAC＝120°，∴∠NDC＝60°，∴∠NCD＝30°，∴DN＝CD＝1，CN＝DN＝DN＝，∴BN＝＝＝7，∴BD＝BN﹣DN＝7﹣1＝6；∴線段BD的長為6．27．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2+3x+c與x軸交于