猜題18第17-18題數列、三角函數、解三角形（上海與全國近年真題對比）

上海近五年高考部分真題（含春高）

解答題

1.（2022?上海）已知在數列｛斯｝中,“2=1，其前〃項和為S”.

（1）若｛%｝是等比數列，51=3,求limS”；

n—8

（2）若｛““｝是等差數列，求其公差d的取值范圍.

【分析】（1）由己知求得等比數列的公比，再求出前〃項和，求極限得答案;

（2）求出等差數列的前2〃項和，代入S2”》〃，對〃分類分析得答案.

【解析】解：（1）在等比數列｛小｝中，"2=1，52=3,則0=2,

afl-q11'）

公比q=°,則S=-------=4（1一一—）>

2nl~q2n

??limS"=lim4（1一L）=4；

n->8n+82n

（2）若｛%｝是等差數列，

nil=（a2+a2n-i），2n20、

則S2n—~―級-----=2dn+（2-3d）n》〃，

即（3-2”）4W1,當”=1時，dWl；

當〃N2時，d21恒成立,1e[-1,0）,

3-2n3-2n

綜上所述，</G[0,1].

2.（2021?上海）在△ABC中，已知a=3,b=2c.

（1）若4="，求SAABC.

3

（2）若2sinB-sinC=1,求CAABC.

【分析】（1）由余弦定理求得c2,從而求得aABC面積；

（2）由正、余弦定理求得b、c值，從而求得△A8C周長.

2222

【解析】解：（1）由余弦定理得cosA=-工=加±￡.=%一二%

22bc4c2

解得/=且，

7

，SaABC=JbcsinA=g~X2c2=;

2414

(2),:b=2c,■由正弦定理得sinB=2sinC,又：2sinB-sinC=1,

；.sinC=上，sinB=2,.*.sinC<sinB.：.C<B,，C為銳角,

3_______3_

2

.".cosC=^1_(l)=-^2..

由余弦定理得：c2=a2+/?2-2abcosC,XVa=3,b=2c,

.?.c2=9+4c，2-8&c,得：3c2-8&c+9=0,解得：土正..

__3

當c=4&M時,

=3+4&+遙；

33

當c=4圾時,b=8衣乜遙時c皿c=3+4&-V5.

33

3.(2021?上海)已知A、B、C為△ABC的三個內角，a、b、c是其三條邊，<2=2,cosC=-A.

4

(1)若sinA=2sin8,求6、c；

(2)若cos(A-^2L)=2,求c

45

【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解5的值；利用余弦定理即可求解c的值.

(2)根據已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數基本關系式可求得cosA,sinA,sinC的值，進而根

據正弦定理可得。的值.

【解析】解：(1)因為sinA=2sin8,可得。=2b,

又a=2,可得b=l,

2.,2202.-,221_

由于cosC=———-———----———=-A,可得c=V6-

2ab2X2X14

(2)因為cos(A-2L.)=YA(cosA+sinA)=—,

425

可得cosA+sinA=gv1,

5

又cos2A+sin2A=l,

可解得cosA=""*,sinA=&L,或sinA=，"上,cosA=Y2,

10101010

因為cosC=--,可得sinC='J15、tanC=-A/15?可得。為鈍角，

_44_

若sinA=」"2,COSA=2￡A,可得tanA=7,可得tanB=-tan(A+C)=tanA+tanC=---------------------

1010tanAtanC-17X(-V15)-l

<0,

可得3為鈍角，這與。為鈍角矛盾，舍去，

所以sinA=2^,由正弦定理可得。=包包.

10sinAsinC2

4.(2020?上海)已知函數/(x)=sino)x,a)>0.

(1)f(x)的周期是4m求3,并求/(x)=方的解集；

(2)已知3=1,g(x)=/(x)+V3/(-x)/(2L-x),xRO,-ZL],求g(x)的值域.

24

【分析】(1)直接利用正弦型函數的性質的應用求出結果.

(2)利用三角函數關系式的變換和正弦型函數的性質的應用求出函數的值域.

【解析】解：(1)由于/(x)的周期是4n，所以3=空」，所以/G)=sinlx.

4兀22

令sin[x]，故'xYk兀?或2k%'整理得x=4k兀土或x=4k兀+可?

N/Nb000

故解集為｛Mx=4k7l+-^-或x=4k兀kwZ].

(2)由于0)=1,

所以/(x)=sinx.

2_l-cos2xv3?sin2x=-與sin2x-]cos2x

所以g(x)—sinx+Vssin(-x)sindy_-x)----------4

22

=A-sin(2x+-^—).

26

由于xe[O,—],

4

所以假＜2x*＜一2兀

3

■^Csin(2x-f^-Xl,

故-14-sin(2x-+^-)《總,

故卷(g(x)《S

所以函數g(x)的值域為0].

5.(2020?上海)已知各項均為正數的數列｛念｝,其前〃項和為％,“1=1.

(1)若數列｛如｝為等差數列，Sio=7O,求數列｛即｝的通項公式；

(2)若數列｛斯｝為等比數列，44=工，求滿足S”>100〃"時〃的最小值.

8

【分析】(1)設等差數列的公差為“，運用等差數列的求和公式，解方程可得讓進而得到所求通項公

式;

(2)設等比數列的公比為q,由等比數列的通項公式可得q,再由等比數列的求和公式，解不等式可得

n的最小值.

【解析】解：（1）數列｛斯｝為公差為d的等差數列,Sio=7O,6/1=1,

可得10+JLX10X94=70,解得4=9，

23

則an—1+—(n-1)=—n--1；

333

(2)數列｛〃“｝為公比為q的等比數列，。4=工，ai=\,

可得/=2，即勺=

82

2

s?>iooa?,即為2-（A）z,l>ioo-（A）nl,

22

即2”>101,可得〃27,即〃的最小值為7.

6.（2019?上海）已知數列｛斯｝,幻=3,前”項和為S”.

（1）若｛的｝為等差數列，且“4=15,求S”；

（2）若｛%｝為等比數列，且limSn<12>求公比<7的取值范圍.

n—811

【分析】（1）求出公差即可求S,；

（2）由lim存在得-且"之①由12得勺<3，取交集可得公比q的取值范圍.

n-8。n—84

【解析】解：（1）?.?〃4=m+3d=3+3d=15,，d=4,

.??S〃=3〃+n（彳1）X4=2〃2+〃；

（2）S"=3（l@）.,limS存在，，-

1-qn-811

lim5^存在，,-1<4<1且4*°'limS"=lim~=~~,

n—8L8n-81-Ql-q

.".-A_<12,：.q<l,-l<4<0或OVqV2，

1-q44

公比q的取值范圍為（-1,0）U（0,1）.

7.（2018?上海）設常數a€R,函數/（x）=?sin2x+2cos2x.

（1）若f（x）為偶函數，求a的值；

(2)若/(三)=我+1,求方程f(x)=1-&在區間［-皿，n］上的解.

4

【分析】(1)根據函數的奇偶性和三角形的函數的性質即可求出，

(2)先求出。的值，再根據三角形函數的性質即可求出.

【解析】解：(1)V/(x)=?sin2x+2cos2x,

x)=-6fsin2x+2cos2x,

V/(x)為偶函數，

(-x)=f(X),

/.-asin23+2cosx=asin2x+2cosx,

2asin2x=0,

(2)v/(2L)=?+i,

/.tzsin-2L+2cos2(-2L)=〃+l=J^+l,

24

/./Cx)=>/3sin2x+2cos2x=*\/3sin2x+cos2x+l=2sin(2x+-^-)+1,

6

???/(%)=一近，

A2sin⑵+2L)+1=1-近,

6

/.sin(2X+-ZL)=-EL,

62

A2X+2L=--+2kn9或2X+2L=§IT+2E，kEZ,

6464

???力=-5兀孤+近,或X=_1^JT+E,keZ,

2424

?%ei-ii,nJ,

得或k"一5兀或口一11兀

2424

8.(2018?上海)已知y=cosx.

(1)若f(a)q，且ae[o,n],求f(a—的值;

(2)求函數y=/(2x)-2/(x)的最小值.

【分析】(1)根據兩角和差的余弦公式進行計算即可

(2)利用一元二次函數的性質利用配方法進行轉化求解即可.

【解析】解：(1)若且。日0,IT],

3

則cosa=費，則sina=J]_([)2,

+

則f(a-^-)=cos(a-21_)=cosacos-ZL+sinasin-2I_=_1_—L/"2^-^-

工333323263

(2)函數y=/(2x)-If(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx--)2-

22

Y-IWcosxWl,

???當cosx=工時，函數取得最小值，最小值為-3.

22

全國近二年高考部分真題

一、解答題

2S

1.(2022?全國?統考高考真題)記S“為數列｛q｝的前〃項和.已知一+〃=2%+1.

(1)證明：｛%｝是等差數列；

(2)若%,%，%成等比數列，求5“的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)-78.

fS.,n=1

【分析】(1)依題意可得2S〃+〃2=2y+〃，根據?作差即可得到。〃-%=1,從而

IS,-S,T，〃22

得證；

(2)法一：由(1)及等比中項的性質求出為,即可得到｛4“｝的通項公式與前"項和，再根據二次函數的性

質計算可得.

【解析】(1)因為3+"=2a“+l,BP2S?+?2=2na?+n@,

n

當〃22時，2S,Z+(N-1)2=2(〃-1)%+(n-1)②，

2

①一②得，2S.+/-25?,,-(n-l)=2W/?+n-2(W-l)a?,l-(n-1),

即2an+2〃-1=2叫,-2(〃-l)a,i+1,

即=2(”—1),所以aa-a“T=l，”22且〃eN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數列.

（2）［方法一］:二次函數的性質

由（1）可得見=4+3,%=q+6,%=q+8,

又4，%,包成等比數列，所以

即（4+6）=（q+3）.（4+8）,解得4=-12,

所以4,=〃T3,所以S“

所以，當"=12或"=13時，（SJzn=-78.

［方法二］：【最優解】鄰項變號法

由（1）可得%=4+3,%=q+6,%=4+8,

又出,%,。9成等比數列，所以％2=。/4，

即(q+6『=(4+3>(q+8),解得《=-12,

所以““=〃-13,即有q<〃2<<a,2<0,al3=0.

則當〃=12或〃=13時，（S?）|nin=-78.

【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出S,,的最小值，適用于可以求出S”的表達式;

法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解.

2.（2022?全國?統考高考真題）記一ABC的內角AB,C的對邊分別為aec,已知

sinCsin（A-B）=sin^sin（C—74）.

⑴證明:2a2=b2+c2;

25

（2）若a=5,cosA=與，求_/18。的周長.

【答案】（1）見解析

⑵14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證;

（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出。c,從而可求得b+c,即可得解.

【解析】（1）證明：因為sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCeosA-sinBsinAcosC,

所以"+2Mi.a2+Z

lac2bclab

即此產_W+c-2）=_y^

22

所以2a2=b+c;

(2)解：因為。=5,cosA二三,

由⑴得戶+,2=50,

由余弦定理可得a2=b2+c2-20ccosA,

則50-條c=25,

31

所以A==,

2

故（/?+。）2=/+。2+2"=50+31=81,

所以b+c=9,

所以一ABC的周長為a+6+c=14.

3.(2022?全國?統考高考真題)記/5C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—5)=sinBsin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)證明：2/=/+/

【答案】(1泮;

O

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據題意可得，sinC=sin(C-A),再結合三角形內角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再

根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出.

【解析】(1)由A=23,sinCsin(A-8)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而0<8<曰，

所以sinBw(O,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<C<7t,0<C-A<兀，顯然CwC-A,所以，C+C-A=n,

而A=2B,A+B+C=n,所以C=即.

8

(2)由sinCsin(A_3)=sin5sin(C-A)可得,

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin3(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根據余弦定理可知，

+。2—62)―^92+/_/)=+c2+/一才)，化簡得：

2a2=h2+c2,故原等式成立.

4.（2。22?全國?統考高考真題）記一MC的內角4B,C的對邊分別為小，c,已知扁=謂

（1）若c=等，求&

⑵求二￡的最小值.

c

【答案】⑴9

0

(2)472-5.

【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將產三=產鼻化成cos（A+8）=sin8,再

1+sinAl+cos2B7

TT

結合0<8<],即可求出；

⑵由（1）知，C=1+8,A=g-28,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成4cos"+一^-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

BcosBB,

【解析】（1）因為半J__s_in__2_8__—._2_s_i_n______—_s_i_n__OIlj

1+sinA1+cos252cos2Bcos8'

sinB=cosAcosB-sinAsinB=c

而0<B<],所以B哈

TTTT

(2)由(1)知，sin^=-cosC>0,所以一<。<兀,0<8<一,

22

而sinB=-cosC=sin(c-/),

所以C=]+B,即有A=]_28,所以

*2/+/sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一—=------------=----------------

c2sin2Ccos2B

(2cos24-1-cos2Bc2r-r-

--------------------=4COS2B+---―5>2V8-5=4V2-5?

cos-BcosB

當且僅當cos?8=]時取等號，所以哼蘭的最小值為4&-5.

5.(2022.全國?統考高考真題)記S”為數列｛4｝的前〃項和，已知4=1j是公差為g的等差數列.

(1)求｛%｝的通項公式；

111c

(2)證明：一+—++—<2.

%〃24

【答案】(1)4=

(2)見解析

【分析】(1)利用等差數列的通項公式求得顯=1+；(〃-1)=彳，得到S"=("+2””,利用和與項的關

系得到當〃22時，4=S._S“T=("+；""_」乎U?，進而得:詈=喏，利用累乘法求得q=嗎3,

檢驗對于n=1也成立，得到｛4｝的通項公式a“=及詈.

(2)由(1)的結論，利用裂項求和法得到,+」?++-=2|1--進而證得.

%%an\

S.I

【解析】(1)???耳=4=1,，一=1,

a\

又???｛2｝是公差為1的等差數列，

-顯=1+%_1)=小?s_("+2””

.?.當"22時，s“]=(”+。出,

3

.?CC(〃+2)%(?+>)?,,-1

整理得：(〃-1)%=(〃+1)的，

.?.an=4…2-

%〃24.2an-\

,34nn+1M(H+1)

=1X—X—X..,X----------X-----------=------------

12n-2n-\2

顯然對于W=1也成立，

6.(2022?全國?統考高考真題)記一A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,h,c,分別以db,。為邊長的

三個正三角形的面積依次為力邑,S3,已知S「S2+S3=*，sinB='.

(1)求A8C的面積；

(2)若sinAsinC=—^,求尻

3

【答案】(1)坐

8

【分析】(1)先表示出再由岳-邑+53=等求得/+02一/=2,結合余弦定理及平方關系求得

ac,再由面積公式求解即可；

(2)由正弦定理得一與一=---，即可求解.

sin2BsinAsinC

【解析】(1)由題意得岳=\"2?且=3/S且@02,貝IJ

12242434

QQ,Q_V326k2超2

S.—+5\=—ci--hH------c——?

1234442

^2,2_i21

即〃+。2一從=2,由余弦定理得cosB="+C一。，整理得accosB=1,貝i]cos8>0,又sinB=：,

2ac3

則cos8=Jl/4二逑,ac=_!_=逑，則S4叱='acsinB=變；

VUJ3cosB4ABC28

逑

ac.b2_ac_ac__9b3

(2)由正弦定理得:----=-----，貝n!iJ7=----------=---------=-7=~=—,則----=一

sinAsinCsin^BsinAsinCsinAsinCV24sinB2

T

7.（2022.全國.統考高考真題）已知｛%｝為等差數列，｛包｝是公比為2的等比數列，且4-包=%-4=%-4.

⑴證明:%="；

⑵求集合｛k\bk=am+at,l<m<500）中元素個數.

【答案】（1）證明見解析；

（2）9.

【分析】（1）設數列｛q｝的公差為d,根據題意列出方程組即可證出；

（2）根據題意化簡可得加=2皿，即可解出.

【解析】⑴設數列｛%｝的公差為d,所以，1+1_24=8：_e+3>）'即可解得，…吟,所以原

命題得證.

A-2

（2）由（1）知，自=4=1?，所以4=am+a｝O%X2?T=4+（m-\）d+a[,即獷=2m,亦即m=2e[l,5（X）],

解得24ZW10,所以滿足等式的解無=2,3,4,,10,故集合｛%|4=品+414〃?4500｝中的元素個數為

10-2+1=9.

8.（2022?北京?統考高考真題）在.ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C；

（2）若6=6,且一A3C的面積為6石，求一A3C的周長.

【答案】（l）g

0

⑵6+6行

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得cosC的值，結合角C的取值范圍可求得角C的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得。的值，即可求得J1BC的周長.

【解析】（1）解：因為Ce（O,zr）,貝iJsinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=~.

26

(2)解：由三角形的面積公式可得S"c=g"sinC=|a=6石，解得一后

由余弦定理可得c2=a2+/-2"cosC=48+36—2x47^x6x3=12,:.c=2#)，

2

所以，一43c的周長為a+b+c=6G+6.

9.(2022?天津?統考高考真題)在_ABC中，角A、B、C的對邊分別為a",c.已知。=卡力=2c,cosA=-L

4

⑴求C的值；

(2)求sinB的值;

⑶求sin(2A-B)的值.

【答案】⑴。=1

(2)sinB=

4

(3)sin(2A—8)=平

【分析】(1)根據余弦定理〃=〃+。2一2機.cosA以及匕=2c解方程組即可求出;

(2)由(1)可求出〃=2,再根據正弦定理即可解出;

（3）先根據二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根據兩角差的正弦公式即可求出.

【解析】（1）因為〃=從+/_2/?CCOSA,即6=/+（:2+；0C,而。=2C,代入得6=4/+/+。？，解得:

c=l.

（2）由（1）可求出6=2,而0<4<兀，所以sin-=Jl-cos2A=姮,又~<=上三所以

4sinAsinB

2x巫r-

zx

DbsinA4V10.

sinD=----------=------T=—=--

a巫4

（3）因為cosA=-。，所以5<A<7t,故Xsin4=5/l-cos2/A=—,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2x（」］xM^=-3^,cos2/i=2cos2A-l=2x—-1=--,而sin8=也匹所以

t4j481684

cosB=>/l-sin2B=,

故sin(24-B)=sin2AcosB-cos2Asin〃=[—+.

10.(2022?天津?統考高考真題)設｛4｝是等差數列，他,｝是等比數列，且4=4=%-4=4-仇=L

⑴求｛q｝與也｝的通項公式；

⑵設｛4｝的前n項和為S“，求證：0用+4川應=5川%-5優；

⑶求￡[%+i-(-i)z]a.

2=1

【答案】⑴見=2〃-1也=2"T

(2)證明見解析

(6〃-2)4'田+8

9

【分析】(1)利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；

(2)由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；

(3)先求得[%L(T產一'%7]陽一1+[%+一(-1)"%”]如，進而由并項求和可得(=￡上4"二再結合錯

%=1

位相減法可得解.

【解析】⑴設]“｝公差為",也｝公比為4,則q=l+(〃-l)d也=卡,

f\+d-q=\

由生一4=4-仇=1可得j1+2d_g2_]nd=4=2(d=q=0舍去)，

所以％=2”-1也=2"i；

(2)證明:因為%=2%#0,所以要證⑸M+-M"=S向a-S也,

即證⑸+i+a?+l)b?=5?+1-2b?-S?b?,即證S?+t+a?+l=2S?+t-Sn,

即證。M=S“+「S”,

而%+i=S?+i-S?顯然成立,所以(S,+i+a?+i)b?=5?+|-b?+t-Sn-b?.

(3)因為+[。2*+1-(-

=(4&-l+4/-3)x22"2+[4Z+l-(4J)]x22i=2h4*,

2nn

所以Z(-1)%M=Z[(如「(T)"-%T)&T+-(T)"。")陽]

女=1&=1

這2h4“，

k=\

設T“=f12k.4k

k=\

所以7；=2x4+4x42+6x43+…+2〃x4",

貝IJ47；=2X42+4X43+6X44+.-+2"X4"",

2x4(1-4”)

作差得-37；=2(4+42+43+44+…+4")-2〃-4”“-2nx4rt+,

1-4

(2-6n)4"+,-8

3

所以小(6-2廣+8,

所以汽"-(-1)2?(6〃甫叫8

k=\9

H.（2021.全國?統考高考真題）設｛可｝是首項為1的等比數列，數列也｝滿足"=詈.已知4,

成等差數列.

（1）求｛%｝和也｝的通項公式；

C

⑵記s“和7；分別為｛4｝和也｝的前"項和.證明：4〈方.

【答案】（1）。“=《1尸，2=袤YI；（2）證明見解析.

【分析】⑴利用等差數列的性質及4得到時_6g+l=0,解方程即可;

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出5“，1,再作差比較即可.

【解析】（1）因為｛4｝是首項為1的等比數列且％,3a-9%成等差數歹U，

所以6a2=4+9%,所以6qq=q+9q/,

即9屋-6g+l=0,解得q=§,所以

所以2=曾=/.

（2）［方法一］:作差后利用錯位相減法求和

?_12n-\n

北=§+系++產+三，

顯」1111、

22以+3+孕++F>

?sf123IfI1I110-i1-12-1n-1-1

，-》n=5+?+于++可-5〔十寸鏟++制=三+京+3^++-i+今

1C1,1

—2—n—\

設「“二⑧

2+_2++_____Z，

3'323"-'

,、1,1cl,I

ii0—1—2—n-\—

則milr=2,2,2,+2?⑨

3"3132333"

/(T)

n_3

由⑧-⑨得gr“=-J++

卜*+^)~^=2.13"

1------

3

_3

所以「=__!__211_=__

"4x3""2X3"''2x3"i

因此=2———="―<0.

"23"2x3"i2X3"

故方吟q.

［方法二］【最優解】：公式法和錯位相減求和法

'還,31

證明：由(1)可得S〃=-----/一=7(1一看)，

1--23

3

_12n-\n心

T"=3+?++3^-+37，①

112n-\n否

/=?+?++丁+產，②

gz^/F12T1111n1。一天)n1八1、n

①—②得=5+?+于++初一戶=-^n~Fr=i(1~F)-Fr，

3

31〃

所以片合卻小-合TT)=-備<。，

所以】，〈才

［方法三］:構造裂項法

由(I)知"="&，令c“=(a〃+￡)(g)，且仇=c“-c“+i,即=(a〃+￡)(g)-[a(〃+D+￡](g)，

通過等式左右兩邊系數比對易得a=7=?,所以%=（|〃+￡|｛界

則北=々+4++勿=q—C"+i=：一尼+］）［g）,下同方法二

［方法四］:導函數法

x(T)

設f(x)=x+x2+X3++x"=

1-x

](1-*")]_1(1-/汁(1-6-1(1-爐)卜(1一力[1+獷"_(〃+]口”

由「FT=百=一不下一

\+nxn+l~(n+\)x"

則r(x)=l+2x+3x2++nx"-'

(I)?

又2

所以7>4+%+4++4=；l+2x—+3xf—+

3⑴

L一(〃+叫

下同方法二.

【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數

學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇,

關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.

（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；

方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得臬名,然后證得結論，為最優解;

方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造。“=（如+夕）0）,使6“=%-%”，求得7“的表達式,

這是錯位相減法的一種替代方法，

方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.

12.（2021.全國?統考高考真題）記是內角A,B,C的對邊分別為。，b,J已知。2="c,點D在

邊月C上，BDsinZABC=asmC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AO=2DC,求cosZ148c.

7

【答案】（1）證明見解析；（2）cosZ4BC=—.

【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有8。=華，結合已知即可證結論.

（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊。與。的關系，然后利用余弦定理即可求得cosNABC的值.

【解析】（1）設一"C的外接圓半徑為凡由正弦定理，

bc

WsinZABC=—,sinC=—,

2R2R

bc

因為3￡>sinNABC=asinC,所以8。——=a——,即=

2R2R

又因為。2=ac,所以BD=b.

（2）［方法一］【最優解】：兩次應用余弦定理

因為AD=2￡）C,如圖，在/RC中，85。=立空?,①

2ab

由①②得=3/+（勺2-/，整理得2a2_，/+°2=0.

又因為加=四,所以6/-114C+3c2=0,解得“智或0音,

當a=￡,/=ac=J時，a+b=—+^^-<c（舍去）.

3333

當〃=主方=訛=二時，cos/ABC=-2-2-------2-=一

22°3c12

z—,C

2

7

所以cos/48C=五.

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，己知AD=2DC,貝!JS^ABD=—S^ABC,

i2?1

即一x—b'sinNA￡)8=—x—acxsin/ABC,

2332

故有NAT?=NABC,從而ZABD=NC.

hCARA

由i,野Kr5而,即,AC—,

2b

山ADAB—

故年二77,即Hn3-c,

ABAC—一7

ch

2

又。2=4,所以c=§a,

則cosZABC=:+土”=—

lac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結合

21

由(1)知3D=A=AC,再由A￡)=2DC得A￡)=—〃,C￡>=—b.

33

ADBD

在&AD3中，由正弦定理得

sinZABDsinA

又NABD=NC,所以|。2

h,化簡得sinC=]SinA.

sinCsinA

22

在;AfiC中，由正弦定理知又由加=衣，所以/=彳/.

33

?>4)22

2212a-+-a-一a~

93=7n

在，ABC中，由余弦定理，得cosNA8C」「/"一

2ac2x。-12

3

7

故cosZ48C=五

［方法四］:構造輔助線利用相似的性質

如圖，作￡>￡〃/W,交BC于點E,則△DECs/vlBC.

由4)=2￡>C,===y.

(笠+(gi

在二中，COS/BED=3~“---------

2