PAGE第4頁共5頁課時驗收評價(二十四)任意角和弧度制、三角函數的概念一、點全面廣強基訓練1．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(aeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選C當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，故選C.2．已知角α終邊上一點P(1,2)，把角α按逆時針方向旋轉180°得到的角為θ，則sinθ＝()A．－eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)解析：選D角α終邊上一點P(1,2)，逆時針方向旋轉180°后，坐標為(－1，－2)，則sinθ＝eq\f(－2,\r(12＋22))＝－eq\f(2\r(5),5)，故選D.3．已知第二象限角θ的終邊上有兩點A(－1，a)，B(b,2)，且cosθ＋3sinθ＝0，則3a－bA．－7 B．－5C．5 D．7解析：選D由cosθ＋3sinθ＝0得tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(1,3)，由三角函數定義知tanθ＝－a＝eq\f(2,b)＝－eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(1,3)，b＝－6，∴3a－b＝1＋6＝7.4．已知α，β是第一象限角，且sinα>sinβ，則()A．α>βB．α<βC．cosα>cosβD．tanα>tanβ解析：選D因為α，β是第一象限角，所以sinα>0，sinβ>0，又sinα>sinβ，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，所以eq\f(1,cos2α)>eq\f(1,cos2β)>0，所以tan2α>tan2β，因為tanα>0，tanβ>0，所以tanα>tanβ.故選D.5．在直角坐標系xOy中，角α的始邊為x軸的正半軸，頂點為坐標原點O，已知角α的終邊l與單位圓交于點A(0.6，m)，將l繞原點逆時針旋轉eq\f(π,2)與單位圓交于點B(x，y)，若tanα＝－eq\f(4,3)，則x＝()A．0.6 B．0.8C．－0.6 D．－0.8解析：選B已知角α的終邊l與單位圓交于點A(0.6，m)，且tanα＝－eq\f(4,3)，則tanα＝eq\f(m,0.6)＝－eq\f(4,3)，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α為第四象限角．由l繞原點逆時針旋轉eq\f(π,2)與單位圓交于點B(x，y)，可知點B(x，y)在第一象限，則∠BOx＝eq\f(π,2)＋α，所以cos∠BOx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2)＋α))＝－sinα，即eq\f(x,1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(－0.8,1)))，解得x＝0.8.6．在－720°～0°范圍內所有與45°終邊相同的角為______．解析：所有與45°終邊相同的角可表示為β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，從而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°.答案：－675°和－315°7．若角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________.解析：由已知tanα＝3，∴n＝3m，又m2＋n2∴m2＝1，又sinα<0，∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2.答案：28．已知扇形的周長為4，當它的半徑為________和圓心角為______弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．解析：設扇形圓心角為α，半徑為r，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴當r＝1時，(S扇形)max＝1，此時|α|＝2.答案：1219．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解：設角α終邊上任一點為P(k，－3k)，則r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.當k＞0時，r＝eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；當k＜0時，r＝－eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標為－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合．解：(1)由題意可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根據三角函數的定義得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝eq\f(π,3)，故與角α終邊相同的角β的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).二、重點難點培優訓練1．已知角θ終邊上有一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(4,3)π，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))))，則cosθ的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：選D因為taneq\f(4,3)π＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π－π＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π＋\f(π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝－1，所以P(eq\r(3)，－1)，所以cosθ＝eq\f(\r(3),\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)，故選D.2．已知點A在圓x2＋y2＝4上，且∠xOA＝eq\f(7,12)π，則點A的橫坐標為()A.eq\f(\r(2)－\r(6),2)B.eq\f(\r(2)－\r(6),4)C.eq\f(1－\r(3),4)D.eq\f(1－\r(3),2)解析：選A由題設點A(x0，y0)，∵點A在圓上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，cos∠xOA＝eq\f(x0,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(x0,2)，又cos∠xOA＝coseq\f(7π,12)＝coseq\f(π,4)＋eq\f(π,3)＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)－sineq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)，∴eq\f(x0,2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)，解得x0＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).3．已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))為角α終邊上一點，角π－α的終邊與單位圓的交點為P′(x，y)，則x－y＝________.解析：角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))為角α終邊上一點，則cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，角π－α的終邊與單位圓的交點為P′(x，y)，則x＝cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(3,5)，y＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(4,5)，∴x－y＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)4.《擲鐵餅者》取材于希臘現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅的過程中最具有表現力的瞬間．現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為eq\f(π,4)m，擲鐵餅者雙手之間的距離約為eq\f(5\r(2),4)m，“弓”所在圓的半徑約為1.25m，則擲鐵餅者的肩寬約為______m．(精確到0.01m)解析：如圖，AB＝eq\f(5\r(2),4)，OA＝OB＝1.25，△AOB中，過O作OM⊥AB