高考

數學平面向量平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示基礎篇考點一平面向量的概念及線性運算1.向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法

(1)交換律:a+b=b+a;(2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法數乘(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb2.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ,使b=λa.考點二平面向量基本定理及坐標運算1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向

量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我們把{e1、e2}叫做表示這個平

面內所有向量的一個基底.零向量和共線向量不能作基底.2.平面向量的坐標運算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b?x1y2-x2y1=0.3.向量的坐標表示若A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x2-x1,y2-y1).綜合篇考法一平面向量線性運算的解題策略1.盡可能轉化到三角形或平行四邊形中,靈活運用三角形法則、平行四

邊形法則,結合圖形的幾何性質進行運算.2.復雜的向量問題可建立坐標系,借助向量的坐標運算,也可靈活地選取

基底,利用平面向量基本定理及相關的向量知識進行求解.例1

(多選)(2022濟南開學檢測,5)等邊三角形ABC中,

=

,

=2

,AD與BE交于F,則下列結論正確的是

(

)A.

=

(

+

)

B.

=

+

C.

=

D.

=

+

解析如圖,∵

=

,∴D為BC的中點,∴

=

(

+

),∴A正確;∵

=2

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

(

-

)=

+

,∴B錯誤;設

=λ

,λ∈R,則

=

+

=

+

,∵B,F,E三點共線,∴

+

=1,解得λ=

,∴

=

,∴C正確;

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

-

=

+

,∴D錯誤.故選AC.答案

AC考法二向量共線問題的求解方法1.兩非零向量共線是指存在實數λ,使兩向量可以相互表示,在應用時注意

待定系數法和方程思想的應用.2.證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線和三點共

線的區別與聯系,當兩向量共線且有公共點時,才能得到三點共線.3.對于平面上的任一點O,

,

不共線,

=λ

+μ

,則A,B,C共線?λ+μ=1,特別地,當λ=μ=

時,C為線段AB的中點.4.若兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.5.若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.例2

(2022廣東肇慶統一檢測,6)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=

AD,BF=

BC,CE與DF交于點O.設

=a,

=b,若

=λa+μb,λ,μ∈R,則μ-λ=

(

)

A.

B.

C.

D.

解析連接AF,AC,∵D,O,F三點共線,∴可設

=x

+y

,則x+y=1,∴

=x

+y(

+

)=x

+y

=

b+ya.∵E,O,C三點共線,∴可設

=m

+n

,則m+n=1,∴

=

+n(

+

)=

b+na,∴

解得

∴

=

a+

b,∴λ=

,μ=

,μ-λ=

-

=

,故選C.答案

C例3

(2022山東質檢,14)已知向量a=(

,1),b=(0,1),d=(k,

),若2a-b與d平行,則實數k=

.解析因為a=(

,1),b=(0