非hermie正穩定矩陣的刻畫

眾所周知，對哈雷特回歸矩陣的研究在理論和應用上都相對成熟。1985年，霍尼、r.a和約翰遜（c.r.r）考慮到不規則矩陣的修正，在他的作品《magnetanalysis》中給出了不規則矩陣的定義，但沒有進行進一步的證明和研究。然后，關于不規則矩陣的研究繼續有一些結果。然而，從整體上看，這項工作是一項不太可能的工作。在這項工作中，我們主要討論了不規則矩陣與正穩定矩陣之間的關系。在正穩定矩陣的劃分條件中，排除了對矩陣哈希特屬性的要求，并改進了這些劃分條件。1半正穩定矩陣及近自然恢復矩陣定義1設A∈Cn×n,若對任意x∈Cn,x≠0,皆有Re(x*,Ax)>0(Re(x*Ax)≥0)則稱A為正定矩陣(半正定矩陣).定義2設A∈Cn×n,λi∈λ(A),i=1,…,n,若Re(λi)>0(Re(λi)≥0),則稱A為正穩定矩陣(半正穩定矩陣).引理1設A∈Cn×n為非Hermite正定矩陣,則Re(λi)>0,i=1,…,n.引理2設A∈Cn×n為非Hermite矩陣,則A為正定矩陣的充要條件是A*,A+A*為正定矩陣.引理3設A∈Cn×n,則(1)A為正穩定矩陣的充要條件是存在Hermite正定矩陣M∈Cn×n,使得H=MA+A*M是Hermite正定矩陣.(2)若存在Hermite矩陣M∈Cn×n,使MA+A*M=H是Hermite正定矩陣,則A為正穩定矩陣的充要條件是M為正定矩陣.2g>定理1設A∈Cn×n,則A為正穩定矩陣的充要條件是A+I非奇異,且矩陣G=(A+I)-1(A-I)或G=(A-I)(A+I)-1為收斂矩陣.證明充分性設λ=a+bi為A的任一特征值,由A+I非奇異知,-1不是A的特征值,故λ≠-1.于是1λ+11λ+1有意義,且λ-1λ+1λ?1λ+1為G=(A+I)-1(A-I)的特征值,又因G為收斂矩陣,故|λ-1λ+1|≤ρ(G)<1∣∣λ?1λ+1∣∣≤ρ(G)<1,把λ=a+bi代入此不等式,得到a>0,即A的特征值的實部為正,從而A為正穩定矩陣.同理可證G=(A-I)-1(A+I)的情況.必要性設A的特征值的實部為正,則-1不是A的特征值,從而A+I非奇異.由G=(A+I)-1(A-I)得到I+G=A(I-G),A=(I+G)(I-G)-1而I-G=I-(A+I)-1(A-I)=2(A+I)-1,故I-G可逆.設λ為G的任一特征值,由I-G可逆知,λ≠1,故1λ-11λ?1有意義,且1+λ1-λ1+λ1?λ為A的特征值.若設λ=m+ni,由A的特征值實部為正得到m2+n2<1,從而|λ|=√m2+n2<1|λ|=m2+n2???????√<1,故ρ(G)<1,即G為收斂矩陣.定理2設A∈Cn×n,A+I非奇異,則A為正穩定矩陣的充要條件是存在正定矩陣W(不要求為Hermite矩陣),使W-G*WG為正定矩陣.其中G如定理1所給.證明充分性由定理1知,只需證明ρ(G)<1.設λ為G的任一特征值,0≠x為G的對應于λ的特征向量,則Gx=λx,x*G*=ˉλx*?x*(W-G*WG)x=x*Wx-x*G*WGx=x*Wx-λˉλx*Wx=(1-|λ|)x*Wx,Gx=λx,x?G?=λˉx??x?(W?G?WG)x=x?Wx?x?G?WGx=x?Wx?λλˉx?Wx=(1?|λ|)x?Wx,Re(x*(W-G*WG)x)=(1-|λ|)Re(x*Wx)由W,W-G*WG為正定矩陣,故Re(x*(W-G*WG)x)>0,Re(x*Wx)>0,故1-|λ|2>0,|λ|<1,從而ρ(G)<1,再由定理1知,A為正穩定矩陣.必要性設A為正穩定矩陣,即A的所有特征值的實部為正,則由定理1知,G為收斂矩陣.即Gm→0,(m→∞),因(G*)m=(Gm)*,故(G*)m→0(m→∞).令W=I+G*G+(G*)2G2+…+(G*)mGm+…(*)下證此矩陣級數絕對收斂.我們考慮級數(*)的通項的范數‖(G*)mGm‖,由譜半徑的性質與范數的關系知,ρ(G)=limm→∞m√∥Gm∥ρ(G)=limm→∞∥Gm∥?????√m,而G為收斂矩陣,故ρ(G)<1.于是由極限定義,存在ε>0和正整數M1,使當m≥M1時,有m√∥Gm∥<ρ(G)+ε∥Gm∥?????√m<ρ(G)+ε,即‖Gm‖<(ρ(G)+ε)m,又因ρ(G*)=ρ(G),故存在正整數M2,使當m≥M2時,有‖(G*)m‖<(ρ(G)+ε)m.取m>M=max{M1,M2},有‖(G*)mGm‖≤‖(G*)m‖‖Gm‖<(ρ(G)+ε)2m,由ρ(G)+ε<1知,∞∑m=1(ρ(G)+ε)2m∑m=1∞(ρ(G)+ε)2m收斂,從而∞∑m=1∥(G*)mGm∥收斂.又由于單位矩陣I正定,而對每個自然數m,矩陣(G*)mGm=(Gm)*Gm半正定,從而W為正定的.且W-G*WG=I+G*G+(G*)2G2+…-G*(I+G*G+(G*)2G2+…)G=I+G*G+(G*)2G2+…+(G*)mGm+…-G*G-(G*)2G2-…-(G*)mGm-…=I也為正定的.定理3設A∈Cn×n,若存在正定矩陣M(不要求為Hermite矩陣),使H=MA+A*M半正定,則A是半正穩定的.證明定義S=MA-A*M,則H+S=2MA.設λ是A的任一特征值,0≠x是A的對應于λ的特征向量.則Ax=λx,2MAx=2λMx.故2λMx=2MAx=(H+S)x=Hx+Sx兩邊左乘x*,得2λx*Mx=x*Hx+x*Sx,(1)而x*Sx=x*(ΜA-A*Μ)x=x*ΜAx-x*A*Μx=λx*Μx-ˉλx*Μx,(2)結合(1),(2)得(λ+ˉλ)x*Μx=x*Ηx,即2Reλ·x*Mx=x*Hx.從而有2Reλ·Re(x*Mx)=Re(x*Hx),由M正定,H半正定知,Re(x*Mx)>0,Re(x*Hx)≥0,故Reλ≥0,即A是半正穩定的.定理4設A∈Cn×n,則A為正穩定的充要條件是存在正定矩陣T∈Cn×n(不要求為Hermite矩陣),使得TA+A*T是正定矩陣.證明充分性設λ為A的特征值,0≠x為A的對應于λ的特征向量.則Ax=λx?x*(ΤA+A*Τ)x=x*ΤAx+x*A*Τx=λx*Τx+ˉλx*Τx=(λ+ˉλ)x*Τx=2Reλ?x*Τx,故Re(x*(TA+A*T)x)=2Reλ·Re(x*Tx).由T,TA+A*T是正定矩陣知Re(x*Tx)>0,Re(x*(TA+A*T)x)>0因此有Reλ>0.故A為正穩定矩陣.必要性由引理3的(1)即得.定理5設存在矩陣S∈Cn×n,使SA+A*S為正定矩陣,則A為正穩定矩陣的充要條件是S為正定矩陣.證明充分性由定理4即可得出.必要性令N=S+S*,則N為Hermite矩陣.由SA+A*S為正定矩陣和引