高中數(shù)學(xué)《排列組合的復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)稿件提供人:北辰區(qū)高中數(shù)學(xué)教研員姜德華

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)目標(biāo)

（1）能夠熟練判斷所研究問(wèn)題是否是排列或組合問(wèn)題；

（2）進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計(jì)算技能；

（3）熟練應(yīng)用排列組合問(wèn)題常見(jiàn)解題方法；

（4）進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力。

2．能力目標(biāo)

認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問(wèn)題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問(wèn)題的能力。

3．德育目標(biāo)

（1）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題；

（2）認(rèn)識(shí)事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化；

（3）解決問(wèn)題能抓住問(wèn)題的本質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：解題思路的分析

教學(xué)策略：以學(xué)生自主探究為主，教師在必要時(shí)給予指導(dǎo)和提示，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)采用自主探索和小組協(xié)作討論相結(jié)合的方法。

媒體選用：學(xué)生在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)教室通過(guò)專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，利用網(wǎng)絡(luò)資源（如在線測(cè)度等）進(jìn)行自主探索和研究。

教學(xué)過(guò)程

一、知識(shí)要點(diǎn)精析

（一）基本原理

1.分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的辦法，那么完成這件事共有：…種不同的方法。

2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同的辦法，那么完成這件事共有：

…種不同的方法。

3.兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：

（1）對(duì)于加法原理有以下三點(diǎn)：

①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸悾狗诸惣炔贿z漏也不重復(fù)。

（2）對(duì)于乘法原理有以下三點(diǎn)：

①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計(jì)分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。

（二）排列

1．排列定義：一般地說(shuō)從個(gè)不同元素中，任取

個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素的一個(gè)排列。特別地當(dāng)時(shí)，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。

2．排列數(shù)定義：從個(gè)不同元素中取出

個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示。

3．

排列數(shù)公式：（1）…，特別地

（2）且規(guī)定

（三）組合

1．組合定義：一般地說(shuō)從個(gè)不同元素中，任取

個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。

2．組合數(shù)定義：從個(gè)不同元素中取出

個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。

3．

組合數(shù)公式：（1）

（2）

4．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）規(guī)定（2）

（四）排列與組合的應(yīng)用

1.排列的應(yīng)用問(wèn)題

（1）無(wú)限制條件的簡(jiǎn)單排列應(yīng)用問(wèn)題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問(wèn)題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。

2．組合的應(yīng)用問(wèn)題（19）

一堆一本，一堆兩本，一堆三本

（答案：）

（20）

甲得一本，乙得兩本，丙得三本

（答案：）

（21）

一人得一本，一人得兩本，一人得三本

（答案：）

（22）

平均分給甲、乙、丙三人

（答案：）

（23）

平均分成三堆

（答案：）

（24）

分成四堆，一堆三本，其余各一本

（答案：）

（25）分給三人每人至少一本。（答案：++）題型五：全能與專項(xiàng)

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，有多少種選派方法？

題型六：染色問(wèn)題

（26）梯形的兩條對(duì)角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問(wèn)有（

）種不同的涂色方法？（答案：260）（27）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分

（如圖）。現(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相

鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有

種。

分析：先排1、2、3排法種排法；再排4，若4與2同色，

5有種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法；

若5與2同色，6有種排法；若5與3同色，6有1種排法

所以共有（++1）=120種題型七：編號(hào)問(wèn)題

（28）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？

（答案：144）

（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填上一個(gè)數(shù)字且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）

題型八：幾何問(wèn)題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，有多少種不同的取法？

（Ⅱ）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有

5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有種取法，含頂點(diǎn)A的

三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有+3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有種，除去4點(diǎn)共面

的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有=60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形（對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為

-（60+6+3）=141

題型九：關(guān)于數(shù)的整除個(gè)數(shù)的性質(zhì)：

①被2整除的：個(gè)位數(shù)為偶數(shù)；

②被3整除的：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)；

④被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數(shù)能被8整除；

⑥25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)；

⑦5的倍數(shù)：個(gè)位數(shù)是0，5；

⑧9的倍數(shù)：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個(gè)？

（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問(wèn)題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？

分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個(gè)空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對(duì)應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有種。

三、在線測(cè)試題

1．以一個(gè)正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（

D

）個(gè)

（A）70（B）64（C）60（D）58

2．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（

D

）

（A）90種

（B）180種

（C）270種

（D）540種

3．將組成籃球隊(duì)的12個(gè)名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，則不同的名額分配方法共有（

A

）

（A）

（B）

（C）

（D）

4．5本不同的書(shū)，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（

B）

（A）480

（B）240

（C）120

（D）96

5．編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)人分別去坐在編號(hào)為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個(gè)號(hào)碼一致的坐法種數(shù)為（

C

）

（A）90

（B）105

（C）109

（D）100

6．如右圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，

則不同的著色方法共有（B

）種（用數(shù)字作答）

（A）48

（B）72

（C）120

（D）36

7．若把英語(yǔ)“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是（

A

）。

（A）19

（B）20

（C）119

（D）60

8．某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)，得3分；平一場(chǎng)，得1分；負(fù)一場(chǎng)，得0分，一球隊(duì)打完15場(chǎng)，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（

D

）

（A）6種

（B）5種

（C）4種

（D）3種

四、課后練習(xí)

1．10個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問(wèn)有

種不同的放法？

2．坐在一排9個(gè)椅子上，相鄰兩人之間至少有2個(gè)空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是

3．如圖A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來(lái)，不同的建橋方案共有

種。4．面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，Y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將X軸上這5個(gè)點(diǎn)或Y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有

個(gè)。5．某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購(gòu)買

張郵票。

6．（1）從1，2，…，30這前30個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)

數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)。

（3）在1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)數(shù)，使它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，問(wèn)這樣的等差數(shù)列共有多少個(gè)？

（4）1！+2！+3！+…+100！的個(gè)位數(shù)字是

7．5個(gè)身高均不等的學(xué)生站成一排合影，若高個(gè)子站中間，從中間到兩邊一個(gè)比一個(gè)矮，則這樣的排法種數(shù)共有（

）

（A）6種

（B）8種

（C）10種

（D）12種

8．某產(chǎn)品中有4只次品，6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)別），每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則第五次測(cè)試發(fā)現(xiàn)最后一只次品的可能情況共有多少種？《排列和組合的綜合應(yīng)用》多媒體教學(xué)的教師小結(jié)

數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下也許會(huì)遭遇諸如以下的困難：

——我怎樣向?qū)W生提供更多的相關(guān)的學(xué)習(xí)資料？

——我如何有效地進(jìn)行課堂檢測(cè)并及時(shí)反饋？

——我怎樣讓每個(gè)學(xué)生都參與討論并且使討論的結(jié)果都呈現(xiàn)出來(lái)？

這種在教學(xué)資源、教學(xué)檢測(cè)、教學(xué)組織上所體現(xiàn)出來(lái)的局限，不僅在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下難以改變，即使在多媒體輔助教學(xué)下也是捉襟見(jiàn)肘。它不僅影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，更是阻礙了數(shù)學(xué)教改的進(jìn)程。

幸而，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)到了網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，基于Web的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了革命的曙光。鑒此認(rèn)真分析教材特點(diǎn)，學(xué)生特點(diǎn)開(kāi)了《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，現(xiàn)對(duì)此進(jìn)行課后總結(jié)：

《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是幾種常見(jiàn)命題的形式的解題思路及有關(guān)應(yīng)用。首先，通過(guò)排列和組合有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)排列和組合有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)，給學(xué)生打下了很好的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動(dòng)手參與實(shí)踐，使之獲取知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時(shí)拋出問(wèn)題，使學(xué)生有的放矢，有針對(duì)性，知道自己下一步應(yīng)該做什么，同時(shí)組織學(xué)生以小組進(jìn)行討論學(xué)習(xí)，防止出現(xiàn)學(xué)生純粹瀏覽網(wǎng)頁(yè)這種現(xiàn)象。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個(gè)性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對(duì)各種常見(jiàn)的類型，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問(wèn)題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過(guò)程中，充分體現(xiàn)出計(jì)算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過(guò)實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容。在上課過(guò)程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問(wèn)題，氣氛活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺(jué)得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了排列和組合的有關(guān)知識(shí)。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習(xí)留給學(xué)生探索，動(dòng)手的時(shí)間還可以再多一些；另外由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不