第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論線(xiàn)性系統(tǒng)的基本概念線(xiàn)性系統(tǒng)分析方法復(fù)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.1

線(xiàn)性系統(tǒng)的基本概念1.

系統(tǒng)及其分類(lèi)所謂系統(tǒng)，是指一組相互關(guān)聯(lián)的事物構(gòu)成的總體，如光學(xué)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、管理系統(tǒng)和指揮系統(tǒng)等。這樣定義的系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)。這里僅討論物理系統(tǒng)。一個(gè)物理系統(tǒng)是這樣一種裝置：當(dāng)對(duì)其作用一個(gè)激勵(lì)時(shí)，它就產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)。其示意圖如圖2.1-1所示。2第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論圖 2.1-1物理系統(tǒng)示意框圖3第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.

線(xiàn)性系統(tǒng)的定義及其算符表示假設(shè)一個(gè)激勵(lì)f1(x)作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為g1(x)，4而激勵(lì)f2(x)產(chǎn)生的響應(yīng)為g2(x)，f1(x)→g1(x),用符號(hào)表示為f2(x)→g2(x)(2.1-1)如果系統(tǒng)滿(mǎn)足可加性f1(x)+f2(x)→g1(x)+g2(x)(2.1-2)第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論和齊次性(均勻性)5c1f1(x)→c1g1(x)(2.1-3)式中：

c1為任意常數(shù)。這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)。綜合式(2.1-2)和式(2.1-3),線(xiàn)性系統(tǒng)的定義可表示為c1f1(x)+c2f2(x)→c1g1(x)+c2g2(x)(2.1-4)第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論描述系統(tǒng)輸入、輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程是把一個(gè)激勵(lì)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的一個(gè)響應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換也可以用一個(gè)算子表示為g(x)=L｛f(x)｝(2.1-5)對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，則有c1g1(x)+c2g2(x)=L｛c1f1(x)+c2f2(x)｝(2.1-6)6第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論3.

線(xiàn)性不變系統(tǒng)如果一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入函數(shù)的位置移動(dòng)時(shí)，輸出函數(shù)的形狀不變，其輸出函數(shù)位置僅產(chǎn)生相同的移動(dòng)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為位移不變系統(tǒng)，即若L｛f(x)｝=g(x)則L｛f(x－x0)｝=g(x－x0)(2.1-7)式中:

x0為實(shí)常數(shù)。7第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論一個(gè)系統(tǒng)既是線(xiàn)性的，又是位移不變的，則稱(chēng)為線(xiàn)性位移不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為線(xiàn)性不變系統(tǒng)。該系統(tǒng)用算符表示為(2.1-8)式中:

x1和x2為實(shí)常數(shù)。8第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.2

線(xiàn)性系統(tǒng)分析方法2.2.1

線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)基元函數(shù)的響應(yīng)1.

脈沖響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入是一個(gè)用δ函數(shù)表示的脈沖時(shí)，其對(duì)應(yīng)的輸出稱(chēng)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。如果線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)位于x=x0處的輸入脈沖δ(x－x0)的響應(yīng)用h(x；x0)表示，即(2.2-1)那么，在原點(diǎn)處的脈沖輸入δ(x)，其輸出為(2.2-2)9第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論一般來(lái)說(shuō)，h(x；x0)和h(x；0)具有不同的函數(shù)形式。但對(duì)于線(xiàn)性不變系統(tǒng)，由于位移不變性，它對(duì)x=x0處的輸入脈沖δ(x－x0)的響應(yīng)可以寫(xiě)成(2.2-3)10第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論可見(jiàn)，線(xiàn)性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)僅由觀(guān)察點(diǎn)x與輸入作用點(diǎn)x0間的間隔決定，而與單獨(dú)x、x0的位置無(wú)關(guān)。因此，線(xiàn)性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可以簡(jiǎn)化為(2.2-4a)和(2.2-4b)11第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論12時(shí)，其輸2.

復(fù)指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)當(dāng)線(xiàn)性不變系統(tǒng)的輸入為復(fù)指數(shù)函數(shù)出為(2.2-5)式中：

ξ0為一任意實(shí)參數(shù)。若輸入為位移形式(其中x0為實(shí)常數(shù))，則由線(xiàn)性性質(zhì)可得(2.2-6)第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論由位移不變性得(2.2-7)因此有(2.2-8)函數(shù)g(x－x0;

ξ0)是g(x;

ξ0)的位移形式，它們一般是復(fù)函數(shù)。13第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論把g(x;

ξ0)表示成復(fù)數(shù)形式式中：

H(x;

ξ0)和Φ(x;

ξ0)分別為g(x;

ξ0)的振幅和相位函數(shù)。并由此得到14第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論應(yīng)用式(2.2-8)可得(2.2-9)即(2.2-10)15第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論因此，輸出g(x;

ξ0)應(yīng)具有的形式為(2.2-11)即對(duì)線(xiàn)性不變系統(tǒng)有(2.2-12)16第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)線(xiàn)性不變系統(tǒng)的特征函數(shù)為ψ(x;

ξ0)，當(dāng)系統(tǒng)的輸入也是ψ(x;

ξ0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出為(2.2-13)17第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論式中：

H(ξ0)為一復(fù)比例系數(shù)，它表示系統(tǒng)特征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的輸出與該特征函數(shù)之比， 與空間位置變量x無(wú)關(guān)，僅取決于參量ξ0的大小。它可用復(fù)數(shù)形式表示為式中:

A(ξ0)為復(fù)振幅，表示輸出函數(shù)的衰減或增益；Φ(ξ0)為相位，表示輸出函數(shù)沿x軸位移量的大小。這樣式(2.2-13)可改寫(xiě)為(2.2-14)18第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論3.

余弦函數(shù)的響應(yīng)當(dāng)線(xiàn)性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(ξ)是厄米函數(shù)，即

H(ξ)=H*(－ξ)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)余弦函數(shù)的響應(yīng)仍為余弦函數(shù)。設(shè)輸入為cos2πξ0x，則輸出為19第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論(2.2-15)20第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.2.2

線(xiàn)性系統(tǒng)的空間域和頻率域分析方法1.

空間域分析法空間域分析法的要點(diǎn)是用一個(gè)空間變量的函數(shù)，即脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x)來(lái)表征系統(tǒng)的特性。對(duì)任一復(fù)雜的輸入函數(shù)

f(x)，用脈沖分割法將其分解為基元函數(shù)的線(xiàn)性組合，這些基元可用δ函數(shù)表示。各基元響應(yīng)的同樣的線(xiàn)性組合就是

f(x)的響應(yīng)g(x)。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的線(xiàn)性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x)應(yīng)滿(mǎn)足(2.2-16)這一條件要求系統(tǒng)當(dāng)輸入函數(shù)有界時(shí)，輸出函數(shù)必須有界。21第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論設(shè)一個(gè)復(fù)雜的輸入函數(shù)f(x)可以近似表示為如圖2.2-1所示的n個(gè)窄脈沖之和。我們考察第i個(gè)窄脈沖，該脈沖坐標(biāo)為xi，寬度為Δxi，高度為f(xi)，該脈沖的面積為f(xi)Δxi。 當(dāng)Δxi→0時(shí)，fi(x)就是強(qiáng)度等于脈沖面積的δ函數(shù)，而該δ函數(shù)位于x=xi處，即(2.2-17)22第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論圖 2.2-1函數(shù)的脈沖分割23第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論這樣，輸入函數(shù)就可以分解為δ函數(shù)的線(xiàn)性組合(2.2-18)當(dāng)式(2.2-17)所示的輸入作用于系統(tǒng)時(shí)，由線(xiàn)性系統(tǒng)的齊次性可知其輸出gi(x)為脈沖響應(yīng)的f(xi)Δxi倍，即(2.2-19)若系統(tǒng)為線(xiàn)性不變系統(tǒng)，則24第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論由疊加原理，f(x)對(duì)應(yīng)的輸出g(x)分別為(2.2-21)25第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論令窄脈沖寬度Δxi→0，脈沖數(shù)n→∞，應(yīng)用h(x)滿(mǎn)足的條件，上面式(2.2-21)的極限變?yōu)橄铝蟹e分:(2.2-22)26第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論以上討論表明： 對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)乘積的積分； 對(duì)于線(xiàn)性不變系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積，即g(x)=f(x)*h(x)(2.2-23)27第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.

頻率域分析法1)

輸入為簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧函數(shù)一個(gè)單一頻率的無(wú)限波列可表示為(2.2-24)式中:

F(ξ)為復(fù)振幅。系統(tǒng)對(duì)該輸入所產(chǎn)生的輸出為同頻率的簡(jiǎn)諧波，即(2.2-25)28第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論式中:

G(ξ)為輸出簡(jiǎn)諧波的復(fù)振幅，且(2.2-26)或(2.2-27)29第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2)

輸入為周期函數(shù)設(shè)輸入的周期函數(shù)f(x)滿(mǎn)足狄里赫利條件，則可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)(2.2-28)式中:

ξ為函數(shù)f(x)的基頻。對(duì)輸入的n次諧波分量fn(x)=cnei2πnξx，對(duì)應(yīng)的輸出為(2.2-29)30第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論則總輸出為所有輸出分量的疊加，即(2.2-30)顯然，對(duì)不同的諧波頻率nξ，H(nξ)有不同的值，它反映了線(xiàn)性不變系統(tǒng)對(duì)不同頻率諧波的響應(yīng)特性，所以，也把傳遞函數(shù)稱(chēng)為頻率響應(yīng)。31第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論3)

輸入為非周期函數(shù)如果輸入的非周期函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(ξ)存在，則f(x)可表示為(2.2-31)即分解為頻率ξ連續(xù)變化的諧波分量之和，相應(yīng)于頻率為ξ的諧波振幅為F(ξ)

dξ。對(duì)應(yīng)輸入f(x)的輸出為(2.2-32)32第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論式中:

G(ξ)是輸出函數(shù)g(x)的頻譜(傅里葉變換)，且(2.2-33)或(2.2-34)33第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論3.

線(xiàn)性不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)的關(guān)系對(duì)于線(xiàn)性不變系統(tǒng)，由空間域分析的結(jié)果有： 當(dāng)輸入其輸入函數(shù)的頻譜為δ函數(shù)時(shí)，輸出就是脈沖響應(yīng)h(x)；為(2.2-35)由頻率域分析可知，輸出函數(shù)的頻譜為(2.2-36)34第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論對(duì)式(2.2-36)進(jìn)行傅里葉逆變換，得到輸出函數(shù)(2.2-37)可見(jiàn)，對(duì)于線(xiàn)性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)h(x)與傳遞函數(shù)H(ξ)構(gòu)成了一個(gè)傅里葉變換對(duì)。35第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.3

復(fù)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)361.

串聯(lián)系統(tǒng)設(shè)有兩個(gè)線(xiàn)性不變系統(tǒng)1和2，其脈沖響應(yīng)分別為h1(x)和h2(x)，傳遞函數(shù)分別為H1(ξ) 和H2(ξ)，構(gòu)成圖2.3-1所示的串聯(lián)系統(tǒng)。第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論圖 2.3-1串聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)示意圖37第2章線(xiàn)性系統(tǒng)概論串聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)是第一個(gè)系統(tǒng)的輸出就是第二個(gè)系統(tǒng)的輸入，第二個(gè)系統(tǒng)的輸出則是復(fù)合系統(tǒng)的輸出。因此，由空間域分析方法可知，第一個(gè)系統(tǒng)的輸出為第二個(gè)系統(tǒng)的輸出為(2.3-1)38第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論對(duì)式(2.3-1)進(jìn)行傅里葉變換，應(yīng)用卷積定理得到串聯(lián)系統(tǒng)輸出的頻譜為(2.3-2)因此，串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于兩個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積。相應(yīng)的調(diào)制傳遞函數(shù)和相位傳遞函數(shù)分別為39第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論以上結(jié)論推廣到n個(gè)線(xiàn)性不變系統(tǒng)組成的串聯(lián)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)、調(diào)制傳遞函數(shù)和相位傳遞函數(shù)分別為(2.3-3)40第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論2.

并聯(lián)系統(tǒng)圖2.3-2所示為兩個(gè)獨(dú)立的線(xiàn)性不變系統(tǒng)的并聯(lián)系統(tǒng)，兩獨(dú)立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為41第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論圖 2.3-2并聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)示意圖42第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論由于G(ξ)=G1(ξ)±G2(ξ)，因此并聯(lián)復(fù)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2.3-4)43第2章 線(xiàn)性系統(tǒng)概論即并聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于各獨(dú)立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。如果把并聯(lián)地方出現(xiàn)的負(fù)號(hào)包含在各獨(dú)立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，則n個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)并聯(lián)后的傳遞函數(shù)為(2.3-5)