三角函數的周期性1.3.1三角函數的周期性

今天是星期幾？ 今年的平安夜是星期幾? 2007年的元旦是星期幾?

如果有一個函數稱為h(x)＝week(x)，你認為這個函數有怎樣的特征？ 前面我們還研究了三角函數f(x)＝sinx和g(x)＝cosx，正弦函數和余弦函數也有類似的特征嗎？1.3.1三角函數的周期性

由單位圓中的三角函數線可知，正弦、余弦函數值的變化呈現出周期現象．每當角增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數值也分別相同．即有

sin(2π＋x)＝sinx

，

cos(2π＋x)＝cosx

．正弦函數和余弦函數所具有的這種性質稱為周期性．1.3.1三角函數的周期性

若記f(x)＝sinx，則對于任意x∈R，都有f(x+2π)=f(x)．

思考：如何用數學語言刻畫函數的周期性？1.3.1三角函數的周期性

一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．周期函數的定義1.3.1三角函數的周期性思考1：周期函數的圖象具有什么特征？

思考1.3.1三角函數的周期性思考2：正弦函數、余弦函數除了2π以外還有其它的周期嗎？

易知2π是正弦函數和余弦函數的周期，且4π，6π，…以及－2π，－４π，…都是正弦函數和余弦函數的周期，即每一個常數2kπ(k∈Ｚ且k≠０)都是這兩個函數的周期．

思考1.3.1三角函數的周期性思考3：一個周期函數的周期有多少個？1.若T為函數f(x)的一個周期，則kT（k≠0）也為f(x)的周期.2.對于一個周期函數f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期．3.如果不加特別說明，周期一般都是指函數的最小正周期．

思考1.3.1三角函數的周期性思考4：觀察單位圓中正弦線的變化，你能看出正弦函數的最小正周期嗎？動畫正弦函數的最小正周期是2π；余弦函數的最小正周期是2π．

思考1.3.1三角函數的周期性證明：假設T是正弦函數的周期,且0＜T＜2π,則對任意實數x都有:令x=0,得即從而對任意實數x都應有這與矛盾.因此,正弦函數沒有比２π小的正周期.又0＜T＜2π,故T=π,探究1:證明正弦函數沒有比2π小的正周期.

探究1.3.1三角函數的周期性探究2：函數f(x)=3是周期函數嗎？有最小正周期嗎？注意：周期函數不一定有最小正周期.

探究1.3.1三角函數的周期性探究3：觀察正切線并回答：正切函數是否為周期函數？若是周期函數，其周期為多少？動畫注：正切函數是最小正周期為π的周期函數.

探究1.3.1三角函數的周期性例1.若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數關系如圖所示．

(1)求該函數的周期；

(2)求t=10s時鐘擺的高度．解(1)由圖象可知,該函數的周期為1.5ｓ．

(2)設h=f(t)，由函數f(t)的周期為1.5s，可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,故t=10s時鐘擺的高度為20mm．圖象法求周期.

運用1.3.1三角函數的周期性例2.求下列函數的周期.(1)f(x)=cos2x；(2).

運用1.3.1三角函數的周期性1.一般地，函數y=Asin(ωx＋φ)及y=Acos(ωx＋φ)（其中A，ω，φ為常數，且Ａ≠０，ω＞０）的周期為

.

心得1.3.1三角函數的周期性2.已知Ａ，ω，φ為常數，且A≠0，ω≠0，若函數y=f(x)的周期為T，則函數y=Af(ωx＋φ)的周期為

.

心得1.3.1三角函數的周期性1.一個周期函數的周期有多少個?周期函數的圖象具有什么特征?參考答案：無數個，重復性

練習1.3.1三角函數的周期性2.已知函數,使f(x)的周期在(2/3,4/3)內,則正整數k的最小值和最大值分別是多少?解：函數f(x)的最小正周期為，故，得，又k為正整數，故k的最小值為15，最大值為28.

練習1.3.1三角函數的周期性3.判斷下列說法是否正確,并簡述理由：(1)時，,則一定不是函數y=sinx的周期；正確(2)時，,則一定是函數y=sinx的周期．不正確，因為在x=7π/6時成立,并不能保證對任意的x都有成立,如x=0時，就不成立.

練習1.3.1三角函數的周期性4.求下列函數的周期：

(1)y=2cos3x；

(2)．5．若函數的最小正周期為，則正數k=

．

練習1.3.1三角函數的周期性6.若彈簧振子對平衡位置的位移x(cm)與時間t(s)之間的函數關系如圖所示：（１）求該函數的周期；（２）求t＝10.5ｓ時彈簧振子對平衡位置的位移．⑴周期為4；⑵－8cm.

練習1.3.1三角函數的周期性1.周