第1講三角函數的圖象與性質專題二內容索引0102必備知識?精要梳理關鍵能力?學案突破必備知識?精要梳理1.“1”的變換1=sin2α+cos2α=cos2α(1+tan2α).2.三角函數圖象的變換由函數y=sinx的圖象變換得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的步驟誤區警示無論哪種變換,每一個變換總是針對自變量x而言的,即圖象變換要看“自變量x”發生多大變化,而不是看角“ωx+φ”的變化.特別提醒函數y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.4.三角函數的奇偶性與對稱性

(3)對于函數y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數,沒有對稱軸,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=

(k∈Z)確定.溫馨提示正弦曲線、余弦曲線的對稱軸恰好經過相應曲線的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標分別是正弦函數和余弦函數的零點.函數y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的對稱中心不一定是其零點

關鍵能力?學案突破突破點一三角函數的定義、誘導公式及同角三角函數的基本關系式[例1-1](2023·廣東河源模擬)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊過點P(sin138°,cos138°),則tan(α+18°)=(

)D解析

因為cos

138°<0,sin

138°>0,所以點P在第四象限,即α為第四象限角,由三角函數的定義,B規律方法1.三角函數中常見的三種變換方法(1)弦切互化法:主要利用公式

化成正弦、余弦.(2)和積轉換法:利用(sin

θ±cos

θ)2=1±2sin

θcos

θ進行變形、轉化.(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=2.應用誘導公式與同角三角函數的關系開方運算時,一定要注意三角函數的符號;利用同角三角函數的關系化簡時要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為底、化繁為簡等.對點練1B解析

∵sin2α=1-cos2α,且sin2α=cos

α-1,∴1-cos2α=cos

α-1,即cos2α+cos

α-2=0,∴(cos

α-1)(cos

α+2)=0,∴cos

α=1或cos

α=-2(舍去),突破點二三角函數的圖象及其應用命題角度1已知圖象求解析式[例2-1](多選題)已知函數y=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則sin(ωx+φ)=(

)BC方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時,A通過看圖比較容易得出,困難的是求ω和φ,常用如下兩種方法(1)由ω=即可求出ω;確定φ時,若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入圖象中已知點的坐標,將一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式,再結合圖象解出ω和φ,若對A,ω的符號或對φ的范圍有要求,則可用誘導公式變換使其符合要求.對點練2命題角度2圖象變換BB規律方法三角函數圖象的平移變換問題類型多、情況復雜、技巧性強,在解題時容易出現錯誤,破解此類題的關鍵如下(1)定函數.一定要看準是將哪個函數的圖象變換得到哪一個函數的圖象.(2)變同名.變換前后函數的名稱要一樣.(3)選方法,即選擇變換方法.要注意:對于函數y=sin

ωx(ω>0)的圖象,向左平移|φ|個單位長度得到的是函數y=sin

ω(x+|φ|)的圖象,而不是函數y=sin(ωx+|φ|)的圖象.(1)已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象向左平移

個單位長度后與f(x)的圖象重合,則ω的最小值為(

)A.8 B.4

C.2

D.1B對點練3D突破點三三角函數的性質及其應用命題角度1正弦型函數的性質ACD規律總結研究正弦型函數性質的基本方法一般地,研究正弦型函數的性質時,首先應將函數解析式進行化簡,轉化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通過整體代換,結合正弦函數、余弦函數的基本性質進行求解.(1)求單調區間時,將ωx+φ作為一個整體代入正弦函數或余弦函數的單調遞增(減)區間,求出x的范圍即為原函數的單調遞增(減)區間.(2)求函數在閉區間上的最值時,應根據x所在的區間求出ωx+φ的取值范圍,再結合正弦函數或余弦函數的圖象確定函數的最值.(3)判斷對稱軸或對稱中心時,可根據對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數的零點這一性質進行檢驗判斷.對點練4A命題角度2非正弦型函數的性質AD名師點析回歸定義研究三角函數的性質在研究三角函數性質時,如果函數不能化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助復合函數的單調性法則或導數研究其單調性或最值,可用周期的定義、軸對稱或中心對稱的一般條件來判斷函數的周期、函數圖象的對稱軸或對稱中心.(1)若非零實數t使得f(x+t)=f(x)對x∈R恒成立,則可推出t是函數f(x)的一個周期.(2)若函數f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,則可判斷函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,則可判斷函數f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.對點練5關于函數f(x)=|cosx|