第十二章常微分方程

7、8、9節重修線性微分方程的解得結構齊次線性常系數微分方程求解非齊次線性常系數微分方程求解應用問題一、線性微分方程解的結構〔1〕二階齊次方程解的結構:注.

y1(x),y2(x)線性無關〔2〕二階非齊次線性方程的解的結構:例1.微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三常數,那么該方程的通解是().設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解,是任意例2.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)二、二階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程為特征方程的根通解中的對應項推廣：

階常系數齊次線性方程解法根本思路:求解常系數線性齊次微分方程求特征方程(代數方程)之根轉化例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解例5.解:特征方程:即其根為方程通解:練習1.解:

特征方程:特征根為那么方程通解:練習2

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為練習3為特解的4階常系數線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為三、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.—待定系數法例1.的一個特解.解:此題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為例2.的通解.

解:此題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為例3.求解定解問題解:此題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得例4.的一個特解

.解:此題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解例5.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為例6解特征方程特征根對應的齊方的通解為設原方程的特解為由解得故原方程的通解為由即練習1求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為練習2.求以下微分方程的通解提示:(1)特征根為：r1=1，r2=2，λ=1，特解形式為：特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得原方程通解為練習3解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設以下高階常系數線性非齊次方程的特解形式:四.雜題在

r>0內滿足拉普拉斯方程二階可導,且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提示:利用對稱性,即(歐拉方程)原方程可化為P327題8

設函數解初值問題:那么原方程化為通解:利用初始條件得特解:例1.且滿足方程提示:

那么問題化為解初值問題:最后求得思考:

設提示:

對積分換元,那么有解初值問題:答案:的解.例2.設函數內具有連續二階導(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數,且解:上式兩端對

x

求導,得:(1)由反函數的導數公式知(03考研)代入原微分方程得①(2)方程①的對應齊次方程的通解為設①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:由初始條件得故所求初值問題的解為例3設函數f(x)∈c[1,∞)，由y=f(x)，x=1，x=t〔t>1)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的體積為V(t)=π[t2f(t)-f(1)]/3試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求滿足y|x=2=2/9的解。考研題例4假設對平面上任何簡單閉曲線L，恒有其中f(x)∈C1(-∞,+∞)，且f(0)=2，試求f(x)。五、微分方程的應用

1.建立數學模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規律利用幾何關系確定定解條件(個性)初始條件邊界條件可能還要銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實際意義解例1那么由牛頓第二定律得解此方程得代入上式得思考:假設摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的數學模型是什么?例2.設河邊點O

的正對岸為點A,河寬OA=h,一鴨子從點

A游向點為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點O,提示:如下圖建立坐標系.設時刻t鴨子位于點P(x,y),設鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸那么則鴨子游速b為定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為(求解過程參考P273例3)(齊次方程)P327題6.某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?提示:設每分鐘應輸入

t時刻車間空氣中含那么在內車間內兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為t=30

時解定解問題因此每分鐘應至少輸入250新鮮空氣.初始條件得k=?例4從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度

y

與下沉速度v

之間的函數關系.

設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設儀器質量為

m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數為k(k>0),試建立y與v

所滿足的微分方程,并求出函數關系式y=y(v).(考研題)提示:建立坐標系如圖.質量m體