第十五講非線性物理及科學認識論復雜的世界如何從簡單性

演化而來？千變萬化，豐富多彩的宇宙如何能從簡單的根本粒子，根本相互作用演化而來的呢？如果人們對根本粒子的性質，根本的物理規律完全掌握后，是否有可能對我們所生活的世界作各種長期的精確預言呢？人們能精確地預言哈雷慧星每76年回歸地球一次。但長期的天氣預報進展甚微，這是為什么？水果產量的大年小年現象事實上相當普遍，這是為什么？0°

C水凍結成冰仔細想想，為什么這1023個水分子，單個水分子結構不變、相互作用不變，會“集體地〞、“不約而同地〞從一個相“變〞到100°

C水沸騰成蒸汽水的三態變化冰和水的相圖對宇宙的兩種不同看法：復原論(Reductionism)：一切歸結為最根本的組成局部和決定它們行為的最根本規律，“最終目的〞－－建立包羅萬象的“大統一理論〞。呈展論〔Emergence):客觀世界是分層次的，每個層次都有自己的根本規律，重要的是成認客觀現實，以它為依據，找出它的基本規律，理解這些現象是如何“呈展〞的。PhilipW.Anderson:Moreisdifferent

(1972)······將萬事萬物復原成簡單的根本規律的能力，并不蘊含著從這些規律出發重建宇宙的能力······面對尺度與復雜性的雙重困難，重建論的假定就崩潰了。由根本粒子構成的巨大的和復雜的的集聚體的行為并不能依據少數粒子的性質作簡單外推就能理解。正好相反，在復雜性的每一個層次之中會呈現全新的性質，而要理解這些新行為所需要作的研究，就其根底性而言，與其他研究相比毫不遜色。兩本書B.Greene,TheElegantUniverse:Superstrings,HiddenDimensions,andtheQuestfortheUltimateTheory,1999“宇宙的琴弦〞，湖南科技出版社R.B.Laughlin,ADifferentUniverse:ReinventingPhysicsfromtheBottomDown,20057.1非線性系統及其普遍性所謂線性系統是指輸出與輸入成正比的系統非線性系統所謂非線性系統是指除線性系統以外的所有系統。即輸出與輸入不成正比的系統。非線性與線性的差異非線性與線性存在著本質的差異:線性系統輸入有小的變化必定引起輸出小的變化，大的輸出變化對應于大的輸入變化。非線性系統那么不然。小的輸入變化可引起大的輸出變化，大的輸入變化不一定引起大的輸出變化。例如某人作長途旅行：先乘公共汽車到火車站，然后乘高速火車到機場，最后乘飛機到達目的地。整個系統是非線性的，幾分鐘的初始誤差逐漸放大，最后到達目的地相差一天，小的輸入變化會引出大的輸出變化。外語學習７.2從一個簡單的例子看混沌的本質混沌是決定論系統所表現出來的隨機行為的總稱。它的根源在于非線性的相互作用。決定論系統指描述該系統的數學模型不包含任何隨機因素的完全確定的系統。隨機運動的典型實例是植物學家布朗1827年在顯微鏡下看到的液體中花粉顆粒的無規運動，現稱為布朗運動。自然界中最常見的運動狀態，往往既不是完全確定，也不是完全隨機的，而是介于二者之間。7.2.1蟲口模型馬爾薩斯〔T.R.Malthas〕在其《論人口原理》一書中，根據19世紀歐洲、美洲一些地區的人口開展狀況，得出了人口增長的如下結論：“在不加控制的條件下，人口每２５年增長一倍，即按幾何級數增長。〞目前世界人口約60億，按上式，25年后為120億，50年后為240億，100年后為960億，200年后為15360億，。。。蟲口模型設蟲口的繁殖率為Ａ。只考慮兩兩咬斗或接觸傳染，而不考慮三個以上同時咬斗等狀況，那么咬斗組合數，設每一咬斗或接觸傳染導致死亡的幾率為Ｂ，那么顯然下一代蟲口數為：選取適宜的蟲口數作為單位7.2.2倍周期分岔決定論系統μ給定，X0，可由得出，X1，X2，X3……，也就是說各代的昆蟲數完全確定，不存在任何隨機因素，因此系統是決定論的。顯然當μ≤１時，由于(1-Xn)<1,所以，逐次迭代后Xn趨向于零，即繁殖率太低的昆蟲最后總是趨于絕種。倍周期分岔那么當μ增大以后，情形如何呢？如μ=2，那么可得利用計算器你就可得到不同的參量μ值，不同的初始值的各種軌道。〔你也可編寫一個簡單的程序來實現〕。當μ繼續增大到一定值時，會出現４周期現象，即４代為一周期。繼而會出現8周期，16周期，32周期等。這就是所謂的倍周期現象。如μ＝3.5時,會在0.8750,0.3828,0.8269,0.5009,四個數據間振蕩。雖然也出現大年小年，但每四代為一周期。你可設想并驗證μ到達某一個值時會出現無窮周期，也就是說無周期，此時系統進入了混沌狀態。倍周期分岔分岔圖7.2.3混沌的根本性質系統對初始狀態極其敏感：“蝴蝶效應〞1963年美國氣象學家路倫茲〔E.N.Lovenz〕曾得到現稱為洛倫茲方程組的關于溫度、氣壓、濕度等的微分方程。他將初始的溫度、氣壓、濕度等量代入，可很精確地預言2～3天后的天氣狀況。這個非線性方程的解對初始狀態的變化極其敏感，溫度、氣壓、濕度等的非常微小的誤差，經過十天、半個月的演化，誤差會到達測量值相同的量級，以致失去了天氣預報的意義。洛倫茲形象地用“蝴蝶效應〞來描述之。“吸引子〞“奇怪吸引子〞普適性費根鮑姆數δ＝4.6692023091……產生混沌的根源是非線性，但必須注意并不是所有的非線性系統一定能產生混沌現象。7.2.4混沌的應用物理學家J.Ford曾認為：混沌是20世紀物理學的第三次革命，混沌與相對論、量子力學一樣也沖破了牛頓力學的教規。他說：“相對論消除了關于絕對空間和時間的幻象；量子力學那么消除了關于可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌那么消除了拉普拉斯關于決定論式可預測性的夢想。〞混沌的應用首先是理解自然，例如自然界存在著大量的流體湍流現象。混沌理論在生命科學中的應用特別重要。已經發現各種心律不齊、房室傳導阻滯等均與混沌運動有聯系，癲癇患者發病時的腦電波呈現明顯的周期性，而正常人的腦電波呈現顯著的混沌狀態。人們利用混沌可實現保密通訊，解釋經濟領域的股票、期貨的價格波動，探索厄爾尼諾〔ElNino〕現象，與神經網絡相結合創造出所謂的混沌神經網絡等等。長期精確預報的可能性前面提到混沌動力學的開展排除了對天氣作長期精確預報的可能性。其實人們對短期預報和長期預報的要求是不同的。對于短期預報我們關心的是細節問題，對于長期預報人們更關注的是各種平均量的開展趨勢。根據混沌動力學人們可以作短期的精確預報，長期的概率預報，正好能滿足人們對各方面的不同需求混沌因果律由于混沌狀態時，相空間中的吸引子具有分形結構，系統對初始狀態極其敏感，幾乎相同的初態將導致完全不同的終態，正所謂一因多果。反過來，由于非線性,不同的初始狀態，卻存在相同的終態，即多因一果。7.3自然界的幾何──分形分形〔Fractal)：局部與整體具有相似性，或者說在標度變換下具有相似性的幾何形體。例如中國的海岸線在中國地圖上看是彎彎曲曲的，其局部例如浙江的海岸線，放大后從浙江地圖上看也是彎彎曲曲的，兩者間具有相似性，這樣我們就說海岸線是分形的。分形維數線段的拓撲維數為１，面的拓撲維數為2，體的拓撲維數為3。一根線段其長度是一定的，與你用什么尺來量是無關的〔只是精確度有所差異〕。Koch曲線Ｄ＝ln4/ln3＝ln16/ln9＝1.26

Sierpinski

地毯Ｄ＝ln8/ln3＝1.89海岸線的分形維數對于象海岸線這樣的具有統計自相似的分形，不能用上述方法求其分形維數。一般用所謂的合子計數法，即用不同孔徑a的網格去覆蓋地圖，計算含有海岸線段的網格數N來，作關于ln〔N〕和ln(a)的圖來確定其分形維數。顯然海岸線的分形維數大于1，小于2。來自簡單規律的復雜系統現在人們已經能夠利用計算機模擬出各種復雜的分形圖象，如細菌群落的生長、各種固體團簇的分形生長、星系的形成等等。也就是說紛繁復雜的世界是有可能用簡單的規那么來描述的，并產生各種應用。例如通過分形研究來模擬傳染病的傳播，改進傳染病的防治。Sierpinski海綿具有有限體積無限外表積的特性，可研制出高容量的儲能電池，或者具有強吸附性的過濾器件和設備等，在能源、環保領域有廣闊的應用前景7.4特殊的非線性系統——可積系統在傳播過程中保持形狀和速度不變，并且兩列波非線性相互作用后能相互貫穿，但互不破壞，就象粒子彈性碰撞一樣，碰后各自保持原來的形狀和速度不變的波被稱為孤立波，有時也叫孤立子。孤立子系統目前人們在各種領域都發現了具有這種孤立子解的物理體系〔稱為非線性可積系統〕，例如在核聚變的等離子中，在大腦的神經脈沖傳播過程中，在非線性光學中，在超導隧道結中等。目前特別引人