學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)系列(12)必修3第3章《概率》內(nèi)容能力層次湖南近三年真題統(tǒng)計(jì)識記理解簡單應(yīng)用綜合應(yīng)用隨機(jī)事件的概率√2009(3)、2011(4)概率的意義√概概率的基本性質(zhì)√古典概型√2009(3)、2011(4)率(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生√幾何概型√2010(6)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生√1.在任何一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生的事件A與事件B稱為互斥事件，當(dāng)事件A與事件B互斥時，；答：2.在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個事件一定發(fā)生的互斥事件A與事件B稱為事件，當(dāng)事件A與事件B對立時，。答：對立3.古典概型有兩個共同特點(diǎn)：第一個特點(diǎn)是有限性，即試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有個；第二個特點(diǎn)是等可能性，即每個基本事件出現(xiàn)的可能性。答：有限相等4.如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為概型。在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式是。答：幾何考點(diǎn)1事件學(xué)習(xí)概率離不開事件，按事件是否發(fā)生可分為：必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件；按事件的關(guān)系可分為：互斥事件、對立事件。例1下列事件中，隨機(jī)事件的個數(shù)為()①物體在重力作用下會自由下落；②方程有兩個不相等的實(shí)根；③某傳呼臺每天的某一時段內(nèi)收到的傳呼要求次數(shù)不超過次；④。A.B.C.D.解：①為必然事件；②④為不可能事件；③為隨機(jī)事件。點(diǎn)拔：隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件是概率中三個最基礎(chǔ)也是最重要的概念，必須準(zhǔn)確把握其定義，弄清它們之間的區(qū)別。考點(diǎn)2概率的意義湖南省現(xiàn)在使用的數(shù)學(xué)教材，對概率的意義闡述得相當(dāng)詳細(xì)透徹，同學(xué)們在考前復(fù)習(xí)時要深刻理解。例2某氣象臺預(yù)報(bào)“本市明天的降雨概率是”，以下理解正確的是()A.本市明天將的地區(qū)降雨B.本市明天將的時間降雨C.明天出行不帶雨具肯定要淋雨D.明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大答案：D解：天氣預(yù)報(bào)的“降雨”是一個隨機(jī)事件，“降雨概率是”只說明了這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率的大小，所以選D。點(diǎn)拔：正確理解概率的意義是學(xué)業(yè)水平考試的能力要求，準(zhǔn)確把握好概率的意義是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)?？键c(diǎn)3古典概型古典概型是考試的熱點(diǎn)，考前復(fù)習(xí)時，同學(xué)們要多多訓(xùn)練。例3(2009年第3題)將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，出現(xiàn)“正面向上的點(diǎn)數(shù)為”的概率是()A.B.C.D.答案：D解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，正面向上的點(diǎn)數(shù)有共種情況，而“正面向上的點(diǎn)數(shù)為”的情況只有一種，故選D。點(diǎn)拔：基本事件是一次試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的各種情況，在開始學(xué)習(xí)概率時，把所有基本事件一一列舉出來是唯一可行的方法，這也是在概率學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該練成的基本功?？键c(diǎn)4幾何概型幾何概型也是考試的熱點(diǎn)，這從湖南省近三年的學(xué)業(yè)水平考試題看得出來，因此，同學(xué)們在考前復(fù)習(xí)時，要足夠重視。例4(2010年第6題)如圖所示的圓盤由八個全等的扇形構(gòu)成，指針繞中心旋轉(zhuǎn)，可能隨機(jī)停止，則指針停止在陰影部分內(nèi)的概率是()A.B.C.D.答案：D解：由幾何概型的計(jì)算公式，可知選D。點(diǎn)拔：幾何概型是概率學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，難在找出事件A所構(gòu)成的區(qū)域的長度(或面積、體積)，這就要仔細(xì)審題，經(jīng)過認(rèn)真分析，把抽象的問題轉(zhuǎn)化成一個明確的數(shù)學(xué)問題?？键c(diǎn)5綜合運(yùn)用下面越來越重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查，因此，概率這部分內(nèi)容也會結(jié)合其它知識進(jìn)行考查，請同學(xué)們要注意這個問題。例5某初級中學(xué)共有學(xué)生人，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生男生已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名，抽到初二年級女生的概率是。(1)求的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？(3)已知，求初三年級女生比男生多的概率。解：(1)因?yàn)椋浴?2)初三年級人數(shù)為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，初三年級抽取人。(3)設(shè)“初三年級女生比男生多”為事件，初三年級女生、男生數(shù)記為。由(2)知，，又由已知及可知，基本事件總數(shù)有如下個：，，，，，，，，，，。事件包含的基本事件有如下個：，，，，，故所求概率為。點(diǎn)拔：本題把概率與統(tǒng)計(jì)知識結(jié)合進(jìn)行考查，題目難度不大，但有新意。一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求。1.下列試驗(yàn)?zāi)軜?gòu)成事件的是()A.擲一次硬幣B.射擊一次C.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水燒至D.摸彩票中頭獎答案：D解：A、B、C這三次試驗(yàn)沒有結(jié)果，不是事件。故選D。2.4張卡片上分別寫有數(shù)字，從這張卡片中隨機(jī)抽取張，則取出的張卡片上的數(shù)學(xué)之和為奇數(shù)的概率為()A.B.C.D.答案：C解：所有基本事件有如下個：12、13、14、23、24、34，“和為奇數(shù)”包含的基本事件有如下個：12、14、23、34，即所求概率為。3.下列各組事件中，不是互斥事件的是()A.一個射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于與命中環(huán)數(shù)小于B.統(tǒng)計(jì)某班數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分?jǐn)?shù)不低于分與平均分?jǐn)?shù)不高于分C.播種菜籽粒，發(fā)芽粒與發(fā)芽粒D.檢查某種產(chǎn)品，合格率高于與合格率為答案：B解：“平均分?jǐn)?shù)不低于分”包含“平均分?jǐn)?shù)大于分”和“平均分?jǐn)?shù)等于分”；“平均分?jǐn)?shù)不高于分”包含“平均分?jǐn)?shù)小于分”和“平均分?jǐn)?shù)等于分”。顯然這兩個事件不互斥。4.是圓周上固定的一點(diǎn)，在圓上其它位置任取一點(diǎn)，連接得一條弦，則弦的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.B.C.D.答案：C解：如圖，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)B位于劣弧上時，弦AB的長度小于或等于半徑長度。AAODCB故所求概率為，即選C。5.從個英文字母中任意選一個字母，這個字母為元音字母的概率是()A.B.C.D.答案：B解：因?yàn)閭€英文字母中有個元音字母，可知所求概率為。故選B。6.先后投擲兩枚均勻的骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，則的概率為()A.B.C.D.答案：C解：朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為的基本事件有個，又由得，即事件“”包含的基本事件有個：、、。可見，所求的概率為。故選C。7.在腰長為的等腰直角三角形內(nèi)任取一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到此三角形的直角頂點(diǎn)的距離不大于1的概率為()A.B.C.D.答案：B解：如圖，該點(diǎn)應(yīng)位于以直角頂點(diǎn)為圓心，半徑為的扇形內(nèi)，即所求概率為，故選B。8.某一時刻內(nèi)，一條河流某處的的最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下：年最高水位(單位)概率在同一時期內(nèi)，河流這一處的年最高水位在內(nèi)的概率為()A.B.C.D.答案：D解：由題意可知，所求概率為。9.是上的一個隨機(jī)數(shù)，則使?jié)M足的概率為()A.B.C.D.0答案：B解：由解得，，可見所求概率的區(qū)間長度為，而總的區(qū)間長度為，故所求概率為，選B。10.電子鐘一天顯示的時間是從到，每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為的概率為()A.B.C.D.答案：C解：總的基本事件有個，四個數(shù)字之和為的事件可如下計(jì)算：因?yàn)楸硎痉值膬蓚€數(shù)字之和最大為，可見表示時的兩個數(shù)字最小為。當(dāng)表示時的兩個數(shù)字之和為時，有兩種情況和，此時表示分的兩個數(shù)字為，其和為；當(dāng)表示時的兩個數(shù)字之和為時，只有一種情況，此時表示分的兩個數(shù)字為或，其和為。再沒有其它情況，這就是說，滿足“任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為”的基本事件有個。故所求概率為，所以選C。10.從長度為五條線段中任取三條，能構(gòu)成三角形的概率是()A.B.C.D.答案：B解：從五條線段中任取三條有種情況：；；；；；；；；；。其中能構(gòu)成三角形的是：；；。故選B。二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，滿分20分。11.向敵軍的三個相鄰的軍火庫擲一個炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為，其余兩個各為，只要炸中一個，另兩個也要發(fā)生爆炸，則三個軍火庫發(fā)生爆炸的概率為。答案：解：所求概率為。12.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿?。答案：解：乙不輸包括乙獲勝和兩人下成和棋這兩種情況，故所求概率為。13.在一個相距米的木材上固定一根木條，在木條上掛一盞燈，則與兩端距離都大于米的概率為。答案：解：基本事件包含的線段長度為米，所求概率的事件的線段長度為米，故所求概率為。14.某廠一次工人聯(lián)歡會，到會的女職工比男職工多人，從這些職工中隨機(jī)挑選人表演節(jié)目，若選到男職工的概率為，則參加聯(lián)歡會的職工共有人。答案：解：設(shè)男職工有人，女職工有人，則題意可得，，解得。故共有職工人。15.現(xiàn)有根竹竿，它們的長度（單位：）分別為，若從中一次隨機(jī)抽取根竹竿，則它們的長度恰好相差的概率為。答案：解：因?yàn)?，，，，，，，，，。故所求概率為。三、解答題：本大題共有5小題，滿分40分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.(本題滿分6分)在數(shù)軸的到之間任意拋擲一點(diǎn)，試求下列事件的概率：(1)此點(diǎn)落在到之間；(2)此點(diǎn)距離不超過個單位長度；(3)此點(diǎn)距離不超過個單位長度。解：數(shù)軸上到的長度為。(1)在到的長度是，所以(此點(diǎn)落在到之間)。(2)此點(diǎn)距離不超過個單位長度，則此點(diǎn)落在到之間，其長度為，所以(此點(diǎn)距離不超過)。(3)此點(diǎn)距離不超過個單位長度，則此點(diǎn)落在到之間，其長度為，所以(此點(diǎn)距離不超過)。17.(本小題滿分8分)從名男生和名女生中任選人參加演講比賽。求：(Ⅰ)所選人都是男生的概率；(Ⅱ)所選人恰有名女生的概率。解：記名男生為A、B、C、D，兩名女生為1、2。從這人中選人有如下種情況：ABC、ABD、AB1、AB2、ACD、AC1、AC2、AD1、AD2、A12、BCD、BC1、BC2、BD1、BD2、B12、CD1、CD2、C12、D12。(Ⅰ)所選人都是男生有ABC、ABD、ACD、BCD這種情況。故所選人都是男生的概率為。(Ⅱ)所選人恰有名女生有AB1、AB2、AC1、AC2、AD1、AD2、BC1、BC2、BD1、BD2、CD1、CD2這種情況。故所選人恰有名女生的概率為。18.(本題滿分8分)用紅、黃、綠三種不同的顏色給右圖中的個矩形隨機(jī)涂色，每個矩形只涂一種顏色，則三個矩形顏色都不相同的概率為。答案：解：所有可能的基本事件有如下個：而顏色都不相同的事件有個，故所求的概率為。19.(本題滿分10分)甲、乙兩人玩猜“錘子、剪刀、布”這種猜拳游戲，求：(Ⅰ)平局的概率；(Ⅱ)甲贏的概率；(Ⅲ)乙贏的概率。解：一次出拳共有種不同基本事件，按甲在前乙在后的順序排列如下：錘子錘子、錘子剪刀、錘子布、剪刀錘子、剪刀剪刀、剪刀布、布錘子、布剪刀、布布。(Ⅰ)平局有如下三種情況：錘子錘子、剪刀剪刀、布布。記“平局”為事件，則；(Ⅱ)甲贏有如下三種情況：錘子剪刀、剪刀布、布錘子。記“甲贏”為事件，則；(Ⅲ)乙贏有如下三種情況