類型七、多項式中的歸納與規律【解惑】根據下面四個算式：5232＝（5+3）×（53）＝8×2；11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×39．請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的算式；方法：主要還是以找規律為主，如果是小學學過奧數里面的數列的話，那會更容易理解，我們是以項數和內容為住，比如：第一項是5/3/2這幾個變量，那我們就要去看第n項是多少，以此推理即可。【融會貫通】1．觀察下列等式：，，，，…根據以上規律得出的結果是（）A．20181 B．20191 C．20201 D．20211【答案】B【詳解】解：由上述等式可得，當其為第n個數時，即9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1，∴9×2019+2020＝10×2019+1＝20191．2．南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律如圖，后人也將其稱為“楊輝三角”．據此規律，則展開式中含項的系數是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】D【詳解】解：根據題意，得，可知，展開式中第二項為，∴展開式中含項的系數是2020．3．我國南宋數學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數規律（按a的次數由大到小的順序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝請根據上述規律，寫出的展開式中含項的系數是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019【答案】B【詳解】解：展開式中含項的系數，由：＝…，可知，展開式中第二項為，∴的展開式中含項的系數是4042．4．觀察下列各式：①

②③……根據以上規律，試求出的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】觀察題目，可得規律為：，，5．根據等式：，，，，…的規律，則可以推算得出（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題目中等式的規律可得：6．式子的化簡結果為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設x1+x2+…+x9＝a，則（1﹣x1﹣x2﹣…﹣x9）?（x1+x2+…+x10）﹣（1﹣x1﹣x2﹣…﹣x10）?（x1+x2+…+x9）＝（1﹣a）（a+x10）﹣a（1﹣a﹣x10）＝a+x10﹣a2﹣ax10﹣a+a2+ax10＝x10．7．觀察下列各式及其展開式(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請你猜想(2x﹣1)8的展開式中含x2項的系數是（）A．224 B．180 C．112 D．48【答案】C【詳解】解：由所給四組式子的系數規律可得左邊式子的指數分別為6，7，8的等式，右邊各項的系數分別為：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2項的系數為：22×（﹣1）6×28＝112．8．如圖，觀察表1，尋找規律，表1、表2、表3分別是從表1中截取的一部分，其中m為整數且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由表1可知，第x行，第y列的數為xy，（x，y均為正整數），由表2可知，第一列數依次為12=3×4,15=3×5，則a在第3行第6列，即a=3×6=18，由表3可知，在第m行第m列，則上一行的數b在第（m-1）行第m列，所以，由表4可知，設18在第x行第y列，則18=xy，35在第（x+2）行第（y+1）列，則，x，y均為整數，則x=3，y=6，c在第（x+1）行，第（y+1）列，，∴，9．的計算結果的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【詳解】解：原式中，每個多項式的個位數分別為：3，5，7，7，7這些個位數的相乘個位數為：5，∴，∴原式計算結果的各位數字為：6，10．，，······通過計算，猜想：的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】（1?x）（1＋x）＝1?x2，（1?x）（1＋x＋x2）＝1＋x＋x2?x?x2?x3＝1?x3，…，依此類推（1?x）（1＋x＋x2＋…＋xn）＝1?xn＋1，11．已知，，均為正數，且滿足，，則M與N之間的關系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．無法確定【答案】A【詳解】試題分析：依題意設=A，設=BM=（A-x2013）×B；N=A×（B-x2013）所以M-N=（A-x2013）×B-A×（B-x2013）="AB-B"x2013-AB+Ax2013=（A-B）x2013易知A-B=x1＞0，x2013＞0.則M＞N【知不足】12．如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要1枚棋子，擺第2個圖案需要7枚棋子，擺第3個圖案需要19枚棋子，擺第4個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第5個圖案需要______枚棋子，擺第n個圖案需要______枚棋子．【答案】

61

3n2-3n+1【詳解】解：∵n=1時，總數是6×0+1=1；n=2時，總數為6×（0+1）+1=7；n=3時，總數為6×（1+2）+1=19枚；n=4時，總數為6×（1+2+3）+1=37枚；n=5時，總數為6×（1+2+3+4）+1=61枚；…；∴第n個圖形，總數為6×（1+2+3+…+n-1）+1=3n(n-1)+1=3n2-3n+1（枚）13．在同一平面內，1個圓把平面分成0×1+2=2個部分，2個圓把平面最多分成1×2+2=4個部分，，3個圓把平面最多分成2×3+2=8個部分，4個圓把平面最多分成3×4+2=14個部分，……（1）10個圓把平面最多分成____________個部分；（2）n個圓把平面最多分成____________個部分.【答案】

92

n2-n+2.【詳解】解：（1）1個圓把平面分成0×1+2=2個部分，2個圓把平面最多分成1×2+2=4個部分，3個圓把平面最多分成2×3+2=8個部分，4個圓把平面最多分成3×4+2=14個部分，5個圓把平面最多分成4×5+2=22個部分，…n個圓把平面最多分成（n-1）n+2∴當n=10個圓把平面最多分成（n-1）n+2=9×10+2=92；（2）n個圓把平面最多分成（n-1）n+2=n2-n+2．14．數學興趣小組發現：（x－1）（x＋1）＝x2－1（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1利用你發現的規律：求：＝__________【答案】【詳解】由題意可得：15．用一些棋子擺成如圖所示的長方形點陣和等邊三角形點陣，長方形點陣的長所用棋子的顆數是寬所用棋子顆數的2倍，等邊三角形點陣的邊長所用棋子與長方形的長所用棋子一樣多．如果等邊三角形點陣比長方形點陣多用20顆棋子，則等邊三角形點陣所用棋子的顆數為________．【答案】820【詳解】解：設長方形的長所用的棋子為n個，則它的寬所用的棋子為n個，共用的棋子數為n2個．∵等邊三角形點陣的邊長所用棋子與長方形的長所用棋子一樣多，∴等邊三角形的邊長所用的棋子數為n個．∴等邊三角形點陣所用棋子的顆數為1+2+3+???+n=．由題意得：．解得：n=40．∴等邊三角形點陣所用棋子的顆數為=820．16．如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網格，其中第一個圖形有個正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有個小正方形，所有線段的和為24，按此規律，則第n個網格所有線段的和為____________．(用含n的代數式表示)【答案】2n2+2n【詳解】解：觀察圖形可知：第1個圖案由1個小正方形組成，共用的木條根數第2個圖案由4個小正方形組成，共用的木條根數第3個圖案由9個小正方形組成，共用的木條根數第4個圖案由16個小正方形組成，共用的木條根數…由此發現規律是：第n個圖案由n2個小正方形組成，共用的木條根數17．古希臘數學家把下列一組數：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數，這組數有一定的規律性，如果把第一個三角形數記為，第二個三角形數記為，…，第n個三角形數記為，那么的值是_____（用含n的式子表示）．【答案】【詳解】將條件數據1、3、6、10、15、21、…，依次擴大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，這組新數據中的每一個數據可以改寫成兩個相鄰正整數的乘積，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，∴，（n≥1）．所以=．18．____．【答案】【詳解】設，則原式19．下列圖案均是用長度相同的小木棒按一定的規律拼搭而成：拼搭第1個圖案需4根小木棒，拼搭第2個圖案需10根小木棒，…依此規律，拼成第n個圖案需要小木棒_______.【答案】【詳解】拼搭第1個圖案需4=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2個圖案需10=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3個圖案需18=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4個圖案需28=4×（4+3）根小木棒，…拼搭第n個圖案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．20．如圖，有一個正六邊形的點陣，層數由內向外第一層每邊有兩個點，第二層每邊有三個點，依此類推，從射線開始，沿逆時針方向按順序將每個點依次標上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代數式表示：第層共有______個點、射線上第個數字是________．【答案】

【詳解】第1層共有的點的個數為6，第2層共有的點的個數為，第3層共有的點的個數為，歸納類推得：第層共有的點的個數為；射線OC上第1個數字為，射線OC上第2個數字為，射線OC上第3個數字為，歸納類推得：射線OC上第n個數字為，，，，21．觀察下列各式的規律：；；；……根據以上規律，可得到_______．【答案】##【詳解】解根據規律可得：，故答案為：．22．我國南宋時期杰出的數學家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算法》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（a+b）n（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律．（1）請仔細觀察，填出（a+b）4的展開式中所缺的系數．（a+b）4＝a4+4a3b+_____a2b2+4ab3+b4（2）此規律還可以解決實際問題：假如今天是星期一，再過7天還是星期一，那么再過814天是星期_____．【答案】

6

二【詳解】解：（1）由題意得，（2）∵（其中a、b、c…..是一列常數），∵剛好能被7整除，∴除以7的余數剛好為1，∴再過814天是星期二，23．我們知道展開后等于，我們可以利用多項式乘法法則將展開．如果進一步，要展開，，你一定發現解決上述問題需要大量的計算，是否有簡單的方法呢﹖我們不妨找找規律!如果將（為非負整數）的每一項按字母a的次數由大到小排列，就可以得到下面的等式：計算結果的項數各項系數1121

131

2

141

3

3

1上表就是我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數學家賈憲著作的《黃帝九章算法細草》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．請你利用“楊輝三角”求出下式的計算結果：_____________．【答案】【詳解】解：根據題干中規律可以推導出．所以原式．24．我國古代數學中的“楊輝三角”是重要的成就，它的發現比歐洲早五百年左右，（如圖），這個三角形給出了（）的展開式（按a的次數由大到小順序排列）的系數規律．例如，第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第五行的五個數1，4，6，4，1，恰好對應著展開式中各項的系數．則展開式中各項系數的和為_________．【答案】32【詳解】∵=，=，∴結合“楊輝三角”第六行可得：=，∴展開式中各項系數和為32；25．觀察下列算式：……根據以上規律，計算的結果是______，末尾數字是____．【答案】

1【詳解】根據題意得：，∵，∴，∵，個位數字是2，，個位數字是4，，個位數字是8，，個位數字是6，，個位數字是2，，2021÷4=505余1，∴的個位數字是2，∴的個位數字是1，【一覽眾山小】26．觀察以下等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：第5個等式：……按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：_______________；(2)寫出你猜想的第n個等式：___________________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【詳解】（1）（2）證明：∵左邊∵右邊∴左邊=右邊∴等式成立．27．將黑色圓點按如圖所示的規律進行排列，已知圖1中有5個黑色圓點；圖2中有12個黑色圓點；圖3中有22個黑色圓點；圖4中有35個黑色圓點；……。(1)根據上述排列規律，則圖5中黑色圓點的個數為(2)猜想圖n中黑色圓點的個數為_______(用含n的式子表示并化簡，不用說明理由)；(3)利用(2)的結論求圖200中黑色圓點的個數【答案】(1)51；(2)n2+n+1；(3)60501；（1）觀察圖形發現：圖1中有5個黑色圓點，5=22+1；圖2中有12個黑色圓點，12=32+1+2；圖3中有22個黑色圓點，22=42+1+2+3；圖4中有35個黑色圓點，35=52+1+2+3+4；……，圖5中有51個黑色圓點，51=62+1+2+3+4+5；（2）圖n中黑色圓點的個數為(n+1)2+1+2+3+…+n=（n+1）2+n（n+1）=n2+n+1．（3）當n=200時，．28．觀察下列圖形與等式的關系：按照以上圖形與等式的規律，解答下列問題：（1）寫出第5個等式：．（2）寫出你猜想的第n個等式：．（用含n的等式表示），并證明（已知：1+2+3+……+n＝）．【答案】（1）2+3+4+5+6+5+4+3+2=62-2；（2）2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2=n2-2，證明【詳解】解：（1）由題意可得，第五個等式為：2+3+4+5+6+5+4+3+2=62-2（2）由所給等式猜想第n個等式為2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2=n2-2證明如下：∵1+2+3+……+n＝∴2（1+2+3+……+n）=n2+n∴1+2+3+…+（n-1）+n+n+（n-1）+…+3+2+n+1=n2+n∴1+2+3+…+（n-1）+n+n+（n-1）+…+3+2+n+1-n-2=n2+n-n-2∴2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2=n2-2．29．觀察以下等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：…按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第4個等式：__________________________；（2）寫出你猜想的第個等式：___________________________（用含的等式表示），并證明．【答案】（1）；（2），證明見解析【詳解】解：（1）由前三個式子規律得第4個等式左邊為42+2×4，右邊為4×（4+2），使用第4個等式為：；（2）證明：∵右邊∴左邊=右邊，∴等式成立．30．數學中的兩位數乘法藏著許多的運算規律，現請觀察下列幾個等式(1)請你類比上面的等式，計算：①；②；(2)請你寫出以上等式所體現一般的規律，并用所學知識證明．【答案】(1)①；②；(2)，證明見解析．【詳解】（1）解：①；②；（2）解：一般規律為：證明如下：．31．閱讀下列材料，完成相應任務．楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發現這一規律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數學的杰出研究成果之一，他把二項式乘方展開式系數圖形化，如下圖所示：…完成下列任務：(1)寫出的展開式．(2)計算：．【答案】(1)(2)1【詳解