2021年中考數學真題分項匯編【全國通用】（第02期）專題14二次函數的應用（解答30題）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、解答題1．（2021·山東中考真題）公路上正在行駛的甲車，發現前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數和一次函數表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒時兩車相距最近，最近距離是2米【分析】（1）根據圖像分別求出一次函數和二次函數解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出當v=10m/s時，兩車之間距離最小，代入計算即可．【詳解】解：（1）由圖可知：二次函數圖像經過原點，設二次函數表達式為，一次函數表達式為，∵一次函數經過（0，16），（8，8），則，解得：，∴一次函數表達式為，令v=9，則t=7，∴當t=7時，速度為9m/s，∵二次函數經過（2，30），（4，56），則，解得：，∴二次函數表達式為，令t=7，則s==87.5，∴當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是87.5m；（2）∵當t=0時，甲車的速度為16m/s，∴當10＜v＜16時，兩車之間的距離逐漸變小，當0＜v＜10時，兩車之間的距離逐漸變大，∴當v=10m/s時，兩車之間距離最小，將v=10代入中，得t=6，將t=6代入中，得，此時兩車之間的距離為：10×6+20-78=2m，∴6秒時兩車相距最近，最近距離是2米．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的實際應用，理解題意，讀懂函數圖像，求出表達式是解題的基本前提．2．（2021·湖北中考真題）在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以，兩種農作物為原料開發了一種有機產品，原料的單價是原料單價的1.5倍，若用900元收購原料會比用900元收購原料少．生產該產品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒．（1）求每盒產品的成本（成本＝原料費＋其他成本）；（2）設每盒產品的售價是元（是整數），每天的利潤是元，求關于的函數解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；（3）若每盒產品的售價不超過元（是大于60的常數，且是整數），直接寫出每天的最大利潤．【答案】（1）每盒產品的成本為30元．（2）；（3）當時，每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【分析】（1）設原料單價為元，則原料單價為元．然后再根據“用900元收購原料會比用900元收購原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列出解析式即可；（3）先確定的對稱軸和開口方向，然后再根據二次函數的性質求最值即可．【詳解】解：（1）設原料單價為元，則原料單價為元．依題意，得．解得，，．經檢驗，是原方程的根．∴每盒產品的成本為：（元）．答：每盒產品的成本為30元．（2）；（3）∵拋物線的對稱軸為=70，開口向下∴當時，a=70時有最大利潤，此時w=16000，即每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、二次函數的應用等知識點，正確理解題意、列出分式方程和函數解析式成為解答本題的關鍵．3．（2021·湖北中考真題）紅星公司銷售一種成本為40元/件的產品，若月銷售單價不高于50元/件．一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少萬件．其中月銷售單價不低于成本．設月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？（3）為響應國家“鄉村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產品便向大別山區捐款a元．已知該公司捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值．【答案】（1）；（2）當月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）4．【分析】（1）分和兩種情況，根據“月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少萬件”即可得函數關系式，再根據求出的取值范圍；（2）在（1）的基礎上，根據“月利潤（月銷售單價成本價）月銷售量”建立函數關系式，分別利用一次函數和二次函數的性質求解即可得；（3）設該產品的捐款當月的月銷售利潤為萬元，先根據捐款當月的月銷售單價、月銷售最大利潤可得，再根據“月利潤（月銷售單價成本價）月銷售量”建立函數關系式，然后利用二次函數的性質即可得．【詳解】解：（1）由題意，當時，，當時，，，，解得，綜上，；（2）設該產品的月銷售利潤為萬元，①當時，，由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，最大值為；②當時，，由二次函數的性質可知，當時，取得最大值，最大值為90，因為，所以當月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元（大于50萬元），，設該產品捐款當月的月銷售利潤為萬元，由題意得：，整理得：，，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，最大值為，因此有，解得．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的實際應用，正確建立函數關系式是解題關鍵．4．（2021·湖北中考真題）去年“抗疫”期間，某生產消毒液廠家響應政府號召，將成本價為6元/件的簡裝消毒液低價銷售．為此當地政府決定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進行補貼，設某月銷售價為x元/件，a與x之間滿足關系式：，下表是某4個月的銷售記錄．每月銷售量（萬件）與該月銷售價x（元/件）之間成一次函數關系．月份…二月三月四月五月…銷售價x（元件）…677.68.5…該月銷售量y（萬件）…3020145…（1）求y與x的函數關系式；（2）當銷售價為8元/件時，政府該月應付給廠家補貼多少萬元？（3）當銷售價x定為多少時，該月純收入最大？（純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼）【答案】（1）；（2）4萬元；（3）當銷售價定為7元/件時，該月純收入最大．【分析】（1）利用待定系數法即可得；（2）將代入求出的值，代入與的函數關系式求出該月的銷售量，再利用乘以該月的銷售量即可得；（3）設該月純收入為萬元，先根據純收入的計算公式求出與之間的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可得．【詳解】解：（1）設與的函數關系式為，將點代入得：，解得，則與的函數關系式為；（2）當時，，，則（萬元），答：政府該月應付給廠家補貼4萬元；（3）設該月純收入為萬元，由題意得：，整理得：，由二次函數的性質可知，在內，當時，取得最大值，最大值為32，答：當銷售價定為7元/件時，該月純收入最大．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的實際應用，正確建立函數關系式是解題關鍵．5．（2021·貴州中考真題）某品牌汽車銷售店銷售某種品牌的汽車，每輛汽車的進價16（萬元）．當每輛售價為22（萬元）時，每月可銷售4輛汽車．根據市場行情，現在決定進行降價銷售．通過市場調查得到了每輛降價的費用（萬元）與月銷售量（輛）（）滿足某種函數關系的五組對應數據如下表：4567800.511.52(1)請你根據所給材料和初中所學的函數知識寫出與的關系式________；(2)每輛原售價為22萬元，不考慮其它成本，降價后每月銷售利潤y=(每輛原售價--進價)x，請你根據上述條件，求出月銷售量為多少時，銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)月銷售量為8輛時，銷售利潤最大，最大利潤是32萬元【分析】(1)觀察表格中數據可知，與的關系式為一次函數的關系，設解析式為，再代入數據求解即可；(2)根據已知條件“每月銷售利潤y=(每輛原售價--進價)x”，求出y的表達式，然后再借助二次函數求出其最大利潤即可．【詳解】解：(1)由表中數據可知，與的關系式為一次函數的關系，設解析式為，代入點(4,0)和點(5,0.5)，得到，解得，故與的關系式為；(2)由題意可知：降價后每月銷售利潤y=(每輛原售價--進價)x，即：，其中，∴是的二次函數，且開口向下，其對稱軸為，∴當時，有最大值為萬元，答：月銷售量為8輛時，銷售利潤最大，最大利潤是32萬元．【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式以及二次函數的應用，讀懂題意，根據題中已知條件列出表達式是解決本題的關鍵．6．（2021·山東中考真題）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【分析】（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意列出方程，解方程即可得出結論；

（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據題意列出函數解析式，根據二次函數的性質求出函數的最值．【詳解】解：（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意得：，

整理得：x2-18x+45=0，

解得：x=15或x=3（舍去），

經檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，

∴x-5=15-5=10（元），

答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；

（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，

∵a=-20，

當a=5時，函數有最大值，最大值是2000元，

答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【點睛】本題考查了分式方程及二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，準確列出分式方程及函數關系式．7．（2021·廣東中考真題）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數解析式并求最大利潤．【答案】（1）豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；（2），最大利潤為1750元【分析】（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價元，根據某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同列方程計算即可；（2）根據題意當時，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒，列出二次函數關系式，根據二次函數的性質計算最大值即可．【詳解】解：（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價元．則解得：，經檢驗是方程的解．∴豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元．答：豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元．（2）由題意得，當時，每天可售100盒．當豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒．每盒的利潤為()∴，配方得：當時，y取最大值為1750元．∴，最大利潤為1750元．答：y關于x的函數解析式為，且最大利潤為1750元．【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用以及二次函數的實際應用，根據題意列出相應的函數解析式是解決本題的關鍵．8．（2021·廣東深圳市·中考真題）某科技公司銷售高新科技產品，該產品成本為8萬元，銷售單價x（萬元）與銷售量y（件）的關系如下表所示：x（萬元）10121416y（件）40302010（1）求y與x的函數關系式；（2）當銷售單價為多少時，有最大利潤，最大利潤為多少？【答案】（1）；（2）單價為13元時，利潤最大為125萬元【分析】（1）直接利用圖表上的點的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）設總銷售利潤為W，則列出W與x的函數關系式，即可得出函數最值．【詳解】解：（1）設y與x的函數關系式為：，則，解得：，故y與x的函數關系式為：；（2）設總銷售利潤為W，則有：，當，銷售利潤萬，即單價為13萬時，最大獲利125萬元．【點睛】本題主要考查待定系數法求一次函數解析式，以及根據二次函數的性質求最值，解題的關鍵是列出總銷售利潤與銷售單價之間的函數關系．9．（2021·湖北中考真題）為了實施鄉村振興戰略，幫助農民增加收入，市政府大力扶持農戶發展種植業，每畝土地每年發放種植補貼120元．張遠村老張計劃明年承租部分土地種植某種經濟作物．考慮各種因素，預計明年每畝土地種植該作物的成本（元）與種植面積（畝）之間滿足一次函數關系，且當時，；當時，．（1）求與之間的函數關系式（不求自變量的取值范圍）；（2）受區域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過240畝．若老張明年銷售該作物每畝的銷售額能達到2160元，當種植面積為多少時，老張明年種植該作物的總利潤最大？最大利潤是多少？（每畝種植利潤＝每畝銷售額－每畝種植成本＋每畝種植補貼）【答案】（1）；（2）種植面積為240畝時總利潤最大，最大利潤268800元．【分析】（1）利用待定系數法求出一次函數解析式即可；

（2）根據明年銷售該作物每畝的銷售額能達到2160元，預計明年每畝種糧成本y（元）與種糧面積x（畝）之間的函數關系為，進而得出W與x的函數關系式，再利用二次函數的最值公式求出即可．【詳解】解：（1）設與之間的函數關系式，依題意得：，解得：，∴與之間的函數關系式為．（2）設老張明年種植該作物的總利潤為元，依題意得：．∵，∴當時，隨的增大而增大．由題意知：，∴當時，最大，最大值為268800元．即種植面積為240畝時總利潤最大，最大利潤268800元．【點睛】此題主要考查了一次函數和二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式并根據已知得出W與x的函數關系式是求最值問題的關鍵．10．（2021·四川中考真題）超市購進某種蘋果，如果進價增加2元/千克要用300元；如果進價減少2元/千克，同樣數量的蘋果只用200元．（1）求蘋果的進價．（2）如果購進這種蘋果不超過100千克，就按原價購進；如果購進蘋果超過100千克，超過部分購進價格減少2元/千克．寫出購進蘋果的支出y（元）與購進數量x（千克）之間的函數關系式．（3）超市一天購進蘋果數量不超過300千克，且購進蘋果當天全部銷售完．據統計，銷售單價z（元/千克）與一天銷售數量x（千克）的關系為．在（2）的條件下，要使超市銷售蘋果利潤w（元）最大，求一天購進蘋果數量．（利潤＝銷售收入購進支出）【答案】（1）蘋果的進價為10元/千克；（2）；（3）要使超市銷售蘋果利潤w最大，一天購進蘋果數量為200千克．【分析】（1）設蘋果的進價為x元/千克，根據等量關系，列出分式方程，即可求解；（2）分兩種情況：當x≤100時，當x＞100時，分別列出函數解析式，即可；（3）分兩種情況：若x≤100時，若x＞100時，分別求出w關于x的函數解析式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：（1）設蘋果的進價為x元/千克，由題意得：，解得：x=10，經檢驗：x=10是方程的解，且符合題意，答：蘋果的進價為10元/千克；（2）當x≤100時，y=10x，當x＞100時，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴；（3）若x≤100時，w=zx-y==，∴當x=100時，w最大=100，若x＞100時，w=zx-y==，∴當x=200時，w最大=200，綜上所述：當x=200時，超市銷售蘋果利潤w最大，答：要使超市銷售蘋果利潤w最大，一天購進蘋果數量為200千克．【點睛】本題主要考查分式方程、一次函數、二次函數的實際應用，根據數量關系，列出函數解析式和分式方程，是解題的關鍵．11．（2021·湖南中考真題）某商店從廠家以每件2元的價格購進一批商品，在市場試銷中發現，此商品的月銷售量（單位：萬件）與銷售單價（單位：元）之間有如下表所示關系：…4.05.05.56.57.5……8.06.05.03.01.0…

（1）根據表中的數據，在圖中描出實數對所對應的點，并畫出關于的函數圖象；（2）根據畫出的函數圖象，求出關于的函數表達式；（3）設經營此商品的月銷售利潤為（單位：萬元）．①寫出關于的函數表達式；②該商店計劃從這批商品獲得的月銷售利潤為10萬元（不計其它成本），若物價局限定商品的銷售單價不得超過進價的200%，則此時的銷售單價應定為多少元？【答案】（1）圖象見詳解；（2）；（3）①；②銷售單價應定為3元．【分析】（1）由題意可直接進行作圖；（2）由圖象可得y與x滿足一次函數的關系，所以設其關系式為，然后任意代入表格中的兩組數據進行求解即可；（3）①由題意易得，然后由（2）可進行求解；②由①及題意可得，然后求解，進而根據銷售單價不得超過進價的200％可求解．【詳解】解：（1）y關于x的函數圖象如圖所示：

（2）由（1）可設y與x的函數關系式為，則由表格可把代入得：，解得：，∴y與x的函數關系式為；（3）①由（2）及題意可得：；∴關于的函數表達式為；②由題意得：，即，∴，解得：，∴；答：此時的銷售單價應定為3元．【點睛】本題主要考查二次函數與一次函數的應用，熟練掌握二次函數與一次函數的應用是解題的關鍵．12．（2021·遼寧）某網店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發現，這款蒸蛋器銷售單價為60元時，每星期賣出100個．如果調整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現網店決定提價銷售，設銷售單價為x元，每星期銷售量為y個．（1）請直接寫出y（個）與x（元）之間的函數關系式；（2）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元？（3）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元；（3）當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【分析】（1）根據題意中銷售量y（個）與售價x（元）之間的關系即可得到結論；（2）根據題意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）設每星期利潤為w元，構建二次函數模型，利用二次函數性質即可解決問題．【詳解】（1）由題意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由題意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，∴當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元．答：當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元．（3）設該網店每星期的銷售利潤為w元，由題意可得w=（-2x+220）（x-40）=，當時，w有最大值，最大值為2450，∴當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．答：當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是構建二次函數模型，利用二次函數的性質解決最值問題．13．（2021·湖北中考真題）如今我國的大棚（如圖1）種植技術已十分成熟．小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體處，另一端固定在離地面高2米的墻體處，現對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系．已知大棚上某處離地面的高度（米）與其離墻體的水平距離（米）之間的關系滿足，現測得，兩墻體之間的水平距離為6米．圖2（1）直接寫出，的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？【答案】（1），；（2）米；（3）352【分析】（1）根據題意，可直接寫出點A點B坐標，代入，求出b、c即可；（2）根據（1）中函數解析式直接求頂點坐標即可；（3根據，先求得大棚內可以搭建支架的土地的寬，再求得需搭建支架的面積，最后根據每平方米需要4根竹竿計算即可．【詳解】解：（1）由題意知點A坐標為，點B坐標為，將A、B坐標代入得：解得：，故，；（2）由，可得當時，有最大值，即大棚最高處到地面的距離為米；（3）由，解得，，又因為，可知大棚內可以搭建支架的土地的寬為（米），又大棚的長為16米，故需要搭建支架部分的土地面積為（平方米）共需要（根）竹竿．【點睛】本題主要考查根據待定系數法求函數解析式，根據函數解析式求頂點坐標，以及根據函數值確定自變量取值范圍，掌握此題的關鍵是熟練掌握二次函數圖像的性質．14．（2021·貴州中考真題）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移個單位長度，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小，結合函數圖象，求的取值范圍．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，根據待定系數法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到對應的y值，進而即可得到結論；（3）根據題意得到新函數解析式，并畫出函數圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函數的解析式為：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數表達式為：y=x2-2x，當x＜0或x＞8時，新函數表達式為：y=-x2+2x，∴新函數表達式為：，∵將新函數圖象向右平移個單位長度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，根據圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，掌握二次函數的待定系數法，二次函數的圖像和性質，二次函數圖像平移和軸對稱變換規律，是解題的關鍵．15．（2021·吉林中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線（m為常數）的頂點為A．（1）當時，點A的坐標是，拋物線與y軸交點的坐標是．（2）若點A在第一象限，且，求此拋物線所對應的二次函數的表達式，并寫出函數值y隨x的增大而減小時x的取值范圍．（3）當時，若函數的最小值為3，求m的值．（4）分別過點、作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N．當拋物線與四邊形PQNM的邊有兩個交點時，將這兩個交點分別記為點B、點C，且點B的縱坐標大于點C的縱坐標．若點B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等，直接寫出m的值．【答案】(1)，拋物線與y軸交點的坐標為(0，)；(2)，；(3)m的值為或；(4)或【分析】(1)將時代入直接可以求出頂點A的坐標，令中求出與y軸交點坐標；(2)頂點，由點A在第一象限，且即可求出的值，進而求出解析式，再由開口向上可知在對稱軸左側y隨x的增大而減小，由此即可求解；(3)分m≥0和m＜0時討論：當m≥0且時，函數的最小值為時取得；當，且時，時，函數的最小值為時取得；(4)先算出P、Q、M、N四個點的坐標，然后再分情況討論二次函數與矩形PQMN的兩邊交點，求出B、C坐標，由“B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等”即可求解．【詳解】解：(1)由題意可知，二次函數頂點坐標，當時，頂點坐標為，此時拋物線解析式為：，令，∴，∴拋物線與y軸交點的坐標為(0，)；(2)頂點坐標，∴，又已知，∴，且A點在第一象限，∴，此時拋物線的解析式為：，拋物線的對稱軸為，由開口向上可知在對稱軸左側y隨x的增大而減小，∴y隨x的增大而減小時的取值范圍為：，故答案為：，；(3)函數的對稱軸為，且開口向上，當，且時，時，函數有最小值為，由已知：函數的最小值為3，∴，解得，當，且時，時，函數有最小值為，由已知：函數的最小值為3，∴，解得或(正值舍去)，故m的值為或；(4)由題意可知，、、、，分類討論：情況一：拋物線與矩形PQMN的兩邊PQ和NQ相交時，∵點B的縱坐標大于點C的縱坐標，∴B在線段PQ上，C在線段NQ上，此時B到y軸的距離為P點橫坐標的絕對值，即為4，C到x軸的距離為Q點縱坐標的絕對值，即為，由已知：點B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等，∴，解得或此時拋物線變為或均與線段PQ沒有交點，如下圖所示，故舍去；情況二：拋物線與矩形PQMN的兩邊PQ和MN相交時，∵點B的縱坐標大于點C的縱坐標，∴B在線段PQ上，C在線段MN上，此時B到y軸的距離為P點橫坐標的絕對值，即為4，C到x軸的距離為C點縱坐標的絕對值，又C的橫坐標為m，代入拋物線中，得到，由已知：點B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等，∴，解得或，當時，拋物線與線段PQ無交點，故舍去，當時，P點與Q點重合，故舍去；情況三：拋物線與矩形PQMN的兩邊MP和MN相交時，∵點B的縱坐標大于點C的縱坐標，∴B在線段PM上，C在線段MN上，此時B到y軸的距離為P點橫坐標的絕對值，B點的縱坐標為4，代入拋物線中，得到或C到x軸的距離為C點縱坐標的絕對值，又C的橫坐標為m，代入拋物線中，得到，由已知：點B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等，∴，解得或或或，由上述第一、二種情況可知，或舍去，當或時，符合題意，綜上所述，m的值為或．【點睛】本題考查了二次函數解析式的求法，二次函數的圖像及性質，涉及到分類討論思想，情況不定時需要分類討論，難度較大，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解決本題的關鍵．16．（2021·廣西中考真題）2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線運動．

（1）當運動員運動到離處的水平距離為米時，離水平線的高度為米，求拋物線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為米？（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根據題意可知：點A（0，4）點B（4，8），利用待定系數法代入拋物線即可求解；（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線可知坡頂坐標為，此時即當時，運動員運動到坡頂正上方，若與坡頂距離超過米，即，由此即可求出b的取值范圍．【詳解】解：（1）根據題意可知：點A（0，4），點B（4，8）代入拋物線得，，解得：，∴拋物線的函數解析式；（2）∵運動員與小山坡的豎直距離為米，∴，解得：（不合題意，舍去），，故當運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為米；（3）∵點A（0，4），∴拋物線，∵拋物線，∴坡頂坐標為，∵當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，∴，解得：．【點睛】本題屬二次函數應用中的難題.解決函數應用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系；(2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識建立相應的數學模型；（3）求模：求解數學模型，得到數學結論；(4)還原：將用數學方法得到的結論還原為實際問題．17．（2021·浙江）如圖1是一座拋物線型拱橋側面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．（1）求橋拱項部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數表達式．②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．

【答案】（1）6m；（2）①；②2m【分析】（1）設，由題意得，求出拋物線圖像解析式，求當x=12或x=-12時y1的值即可；（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，設，將點H代入求值即可；②設彩帶長度為h，則，代入求值即可．【詳解】解（1）設，由題意得，，，，當時，，橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，設，，，，，(左邊拋物線表達式：)②設彩帶長度為h，則，當時，，答：彩帶長度的最小值是2m．【點睛】本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數最值得求解方法，結合題意根據數形結合的思想設出二次函數的頂點式方程是解題的關鍵．18．（2021·河北中考真題）下圖是某同學正在設計的一動畫示意圖，軸上依次有，，三個點，且，在上方有五個臺階（各拐角均為），每個臺階的高、寬分別是1和1．5，臺階到軸距離．從點處向右上方沿拋物線：發出一個帶光的點．（1）求點的橫坐標，且在圖中補畫出軸，并直接指出點會落在哪個臺階上；（2）當點落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與形狀相同的拋物線，且最大高度為11，求的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階有交點；（3）在軸上從左到右有兩點，，且，從點向上作軸，且．在沿軸左右平移時，必須保證（2）中沿拋物線下落的點能落在邊（包括端點）上，則點橫坐標的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必寫的取值范圍）【答案】（1），見解析，點會落在的臺階上；（2），其對稱軸與臺階有交點；（3）．【分析】（1）二次函數與坐標軸的交點坐標可以直接算出，根據點的坐標可以確定軸，利用函數的性質可以判斷落在那個臺階上；（2）利用二次函數圖象的平移來求解拋物線，再根據函數的對稱軸的值來判斷是否與臺階有交點；（3）抓住二次函數圖象不變，是在左右平移，要求點橫坐標的最大值比最小值大多少，利用臨界點法，可以確定什么時候橫坐標最大，什么時候橫坐標最小，從而得解．【詳解】解：（1）當，，解得：，在左側，，關于對稱，軸與重合，如下圖：

由題意在坐標軸上標出相關信息，當時，，解得：，，

∴點會落在的臺階上，坐標為，（2）設將拋物線，向下平移5個單位，向右平移的單位后與拋物線重合，則拋物線的解析式為：，由（1）知，拋物線過，將代入，，解得：（舍去，因為是對稱軸左邊的部分過），拋物線:，關于，且，其對稱軸與臺階有交點．（3）由題意知，當沿軸左右平移，恰使拋物線下落的點過點時，此時點的橫坐標值最大；當，，解得：（取舍），故點的橫坐標最大值為：，當沿軸左右平移，恰使拋物線下落的點過點時，此時點的橫坐標值最小；當，，解得：（舍去），故點的橫坐標最小值為：，則點橫坐標的最大值比最小值大：，故答案是：．【點睛】本題綜合性考查了二次函數的解析式的求法及圖象的性質，圖象平移，拋物線的對稱軸，解題的關鍵是：熟練掌握二次函數解析式的求法及圖象的性質，通過已知的函數求解平移后函數的解析式．19．（2021·四川中考真題）渠縣是全國優質黃花主產地，某加工廠加工黃花的成本為30元/千克，根據市場調查發現，批發價定為48元/千克時，每天可銷售500千克．為增大市場占有率，在保證盈利的情況下，工廠采取降價措施．批發價每千克降低1元，每天銷量可增加50千克．（1）寫出工廠每天的利潤元與降價元之間的函數關系．當降價2元時，工廠每天的利潤為多少元？（2）當降價多少元時，工廠每天的利潤最大，最大為多少元？（3）若工廠每天的利潤要達到9750元，并讓利于民，則定價應為多少元？【答案】（1），9600；（2）降價4元，最大利潤為9800元；（3）43【分析】（1）若降價元，則每天銷量可增加千克，根據利潤公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出對應函數值即可；（2）將（1）中的解析式整理為頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可；（3）令可解出對應的的值，然后根據“讓利于民”的原則選擇合適的的值即可．【詳解】（1）若降價元，則每天銷量可增加千克，∴，整理得：，當時，，∴每天的利潤為9600元；（2），∵，∴當時，取得最大值，最大值為9800，∴降價4元，利潤最大，最大利潤為9800元；（3）令，得：，解得：，，∵要讓利于民，∴，（元）∴定價為43元．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，弄清數量關系，準確求出函數解析式并熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．20．（2021·貴州中考真題）為增加農民收入，助力鄉村振興．某駐村干部指導農戶進行草莓種植和銷售，已知草莓的種植成本為8元/千克，經市場調查發現，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數圖象如圖所示．（1）根據圖象信息，求y與x的函數關系式；（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤．【答案】（1）；（2）最大利潤為3840元【分析】（1）分為8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；

（2）根據“利潤＝（售價?成本）×銷售量”列出利潤的表達式，在根據函數的性質求出最大利潤．【詳解】解：（1）當8≤x≤32時，設y＝kx＋b（k≠0），則，解得：，∴當8≤x≤32時，y＝?3x＋216，當32＜x≤40時，y＝120，∴；（2）設利潤為W，則：當8≤x≤32時，W＝（x?8）y＝（x?8）（?3x＋216）＝?3（x?40）2＋3072，∵開口向下，對稱軸為直線x＝40，∴當8≤x≤32時，W隨x的增大而增大，∴x＝32時，W最大＝2880，當32＜x≤40時，W＝（x?8）y＝120（x?8）＝120x?960，∵W隨x的增大而增大，∴x＝40時，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利潤為3840元．【點睛】點評：本題以利潤問題為背景，考查了待定系數法求一次函數的解析式、分段函數的表示、二次函數的性質，本題解題的時候要注意分段函數對應的自變量x的取值范圍和函數的增減性，先確定函數的增減性，才能求得利潤的最大值．21．（2021·湖北中考真題）某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發現，某種商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應值數據．x407090y1809030W360045002100（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；（3）因疫情期間，該商品進價提高了m（元/件）（），公司為回饋消費者，規定該商品售價x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．【答案】（1）；（2）售價60元時，周銷售利潤最大為4800元；（3）【分析】（1）①依題意設y=kx+b，解方程組即可得到結論；（2）根據題意得，再由表格數據求出，得到，根據二次函數的頂點式，求出最值即可；（3）根據題意得，由于對稱軸是直線，根據二次函數的性質即可得到結論．【詳解】解：（1）設，由題意有，解得，所以y關于x的函數解析式為；（2）由（1），又由表可得：，，．所以售價時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800；（3）由題意，其對稱軸，時上述函數單調遞增，所以只有時周銷售利潤最大，．．【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數求最值．22．（2021·遼寧中考真題）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經調查發現，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應定為多少元？（3）超市的銷售人員發現：當該商品每月銷售量超過某一數量時，會出現所獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為多少元？【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．【分析】（1）明確題意，找到等量關系求出函數關系式即可；（2）根據題意，按照等量關系“銷售量（售價成本）”列出方程，求解即可得到該商品此時的銷售單價；（3）設每月所獲利潤為，按照等量關系列出二次函數，并根據二次函數的性質求得最值即可．【詳解】解：（1）∵依題意得，∴與的函數關系式為；（2）∵依題意得，即，解得：，，∵∴當該商品每月銷售利潤為，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應定為元；（3）設每月總利潤為，依題意得

∵，此圖象開口向下

∴當時，有最大值為：（元），

∴當銷售單價為元時利潤最大，最大利潤為元，故為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為元．【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，根據題意找到等量關系并掌握二次函數求最值的方法是解題的關鍵．23．（2021·江蘇）農技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發現桃子成熟后一棵樹上每個桃子質量大致相同．以每棵樹上桃子的數量x（個）為橫坐標、桃子的平均質量y（克/個）為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應的點，發現這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）．（1）求直線AB的函數關系式；（2）市場調研發現：這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質量y（克/個）滿足函數表達式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵樹上桃子數量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？【答案】（1）；（2）210．【分析】（1）將，代入到，得到方程組，解得k與b的值，即可求出直線AB的解析式；（2）將代入中，得到新的二次函數解析式，再表示出總銷售額，配方成頂點式，求出最值即可．【詳解】解：（1）設直線AB的函數關系式為，將，代入可得：，解得：，∴直線AB的函數關系式．故答案為：．（2）將代入中，可得：，化簡得：，設總銷售額為，則∵，∴有最大值，當時，取到最大值，最大值為735．故答案為：210．【點睛】本題考查了一次函數解析式的求解，二次函數的應用，能理解題意，并表示出其解析式是解題關鍵．24．（2021·遼寧中考真題）某電商銷售某種商品一段時間后，發現該商品每天的銷售量y（單位：千克）和每千克的售價x（單位：元）滿足一次函數關系（如圖所示），其中，（1）求y關于x的函數解析式；（2）若該種商品的成本為每千克40元，該電商如何定價才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）y關于x的函數解析式為；（2）該電商定價為70元時才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．【分析】（1）由圖象易得和，然后設y關于x的函數解析式為，進而代入求解即可；（2）設該電商每天所獲利潤為w元，由（1）及題意易得，然后根據二次函數的性質可進行求解．【詳解】解：（1）設y關于x的函數解析式為，則由圖象可得和，代入得：，解得：，∴y關于x的函數解析式為；（2）設該電商每天所獲利潤為w元，由（1）及題意得：，∴-2＜0，開口向下，對稱軸為，∵，∴當時，w有最大值，即為；答：該電商定價為70元時才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．【點睛】本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握二次函數的應用是解題的關鍵．25．（2021·內蒙古中考真題）鄂爾多斯市某賓館共有50個房間供游客居住，每間房價不低于200元且不超過320元、如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．已知每個房間定價x（元）和游客居住房間數y（間）符合一次函數關系，如圖是y關于x的函數圖象．（1）求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當房價定為多少元時，賓館利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y與x之間的函數解析式為y=-0.1x+68，；（2）當房價定為320元時，賓館利潤最大，最大利潤是10800元【分析】（1）設y與x之間的函數解析式為y=kx+b，根據待定系數法即可得出答案；（2）設賓館每天的利潤為W元，利用房間數乘每一間房間的利潤即可得到W關于x的函數解析式，配方法再結合增減性即可求得最大值．【詳解】（1）根據題意，設y與x之間的函數解析式為y=kx+b，圖象過（280，40），（290，39），∴，解得：∴y與x之間的函數解析式為y=-0.1x+68，∵每間房價不低于200元且不超過320元∴（2）設賓館每天的利潤為W元，，∴當x＜350時，w隨x的增大而增大，∵，∴當x=320時，W最大=10800∴當房價定為320元時，賓館利潤最大，最大利潤是10800元【點睛】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用及待定系數法求一次函數的解析式，注意利用配方法和函數的增減性求函數的最值，難度不大．26．（2021·山東濰坊市·中考真題）如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線頂點為M（2，﹣），拋物線與x軸的一個交點為A（4，0），點B（2，），點C（-2，）（1）判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；（2）順次連接AB，BC，CO，求四邊形AOCB的面積；（3）設點P是拋物線上AC間的動點，連接PC、AC，△PAC的面積S隨點P的運動而變化；當S的值為2時，求點P的橫坐標的值．【答案】（1）在拋物線上，理由見解析（2）（3）-+1或+1【分析】（1）求出拋物線解析式，故可判斷；（2）證明四邊形AOCB是平行四邊形，故可求解；（3）先求出直線AC的解析式，過P點做y軸的平行線交AC于Q點，表示出△PAC的面積，故可求解．【詳解】（1）∵拋物線頂點為M（2，﹣），可設拋物線為y=a（x-2）2-代入A（4，0）得0=a（4-2）2-解得a=∴拋物線為y=（x-2）2-=x2-x當x=-2時，y=×（-2）2-×（-2）=∴點C（-2，）在拋物線上；（2）如圖，連接AB，BC，CO，∵B（2，），C（-2，）∴BCAO，BC=2-(-2)=4=OA∴BC=AO∴四邊形AOCB是平行四邊形∴四邊形AOCB的面積為4×=（3）設直線AC的解析式為y=kx+b把A（4，0），C（-2，）代入得解得∴直線AC的解析式為y=x+過P點作y軸的平行線交AC于Q點，設P（x，x2-x），則Q（x，x+）∵△PAC的面積S=∴解得x1=-+1，x2=+1∴點P的橫坐標為-+1或+1．【點睛】此題主要考查二次函數綜合，解題的關鍵是熟知待定系數法的應用、平行四邊形的平行與性質、三角形的面積求解方法．27．（2021·四川中考真題）某藥店選購了一批消毒液，進價為每瓶10元，在銷售過程中發現銷售量y（瓶）與每瓶售價x（元）之間存在一次函數關系（其中，且x為整數），當每瓶消毒液售價為12元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶消毒液售價為15元時，每天銷售量為75瓶；（1）求y與x之間的函數關系式；（2）設該藥店銷售該消毒液每天的銷售利潤為w元，當每瓶消毒液售價為多少元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大．【答案】（1）；（2）當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大為500元．【分析】（1）設y與x之間的函數關系式，根據題意列出方程組，解方程組即可求解；（2）根據題意得出每天的銷售利潤w元與每瓶售價x（元）之間的二次函數解析式，利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）設y與x之間的函數關系式，由題意可得，，解得，，∴y與x之間的函數關系式；（2）由題意可得，w=（x-10）（-5x+150）=（，且x為整數），當時，，∴當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大為500元．答：當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售