總復習總復習第一講數學思想與方法性質及簡單運用學生姓名年級學科數學教學目標1、能從問題中體會分類討論思想、函數方程思想、數形結合思想、引參轉化思想，并且能將問題與實際聯系起來，能從思想中衍生除數學方法；2、在解答過程中去觀察、歸納、總結、建模等數學活動，以加深學生對相關數學知識的理解，認識數學知識之間的聯系。數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的。數學方法即用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數學方法。思想與方法并不是孤立獨行的，二者之間互相聯系，思想對應方法，方法返襯思想。模塊一模塊一數學思想數學思想——數學思想——數形結合思想題組一數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。1、數形結合的內容（1）絕對值問題：畫\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數軸，根據絕對值的性質（一點到另一點的距離）得到一個范圍，從而解出絕對值。（2）函數問題：借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合體現了數形結合的特征與方法。（3）方程與不等式：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。（4）幾何探究：\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"幾何中用坐標的\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。2、數形結合的類型（1）以“數”化“形”：對于“數”轉化為“形”這類問題，解決問題的基本思路：明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結論出發，先觀察分析其是否相似（相同）于已學過的基本公式（定理）或圖形的表達式，再作出或構造出與之相適合的圖形，最后利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等，聯系所要求解（求證）的目標去解決問題。（2）以“形”變“數”：解題的基本思路：明確題中所給條件和所求的目標，分析已給出的條件和所求目標的特點和性質，理解條件或目標在圖形中的重要幾何意義，用已學過的知識正確的將題中用到的圖形的用\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數式（一般利用坐標轉化也可以通過引入參數解決）表達出來，再根據條件和結論的聯系，利用相應的公式或定理等。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：①要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；②是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；③是正確確定參數的取值范圍。例1已知：實數，在數軸上的位置如圖所示，化簡：．【規范答題】由數軸可得：，則，，，則．例2在平行四邊形中，，，，則平行四邊形的面積等于．【規范答題】過作于，在中，，，，，在中，，，如圖1，，平行四邊形的面積，如圖2，，平行四邊形的面積，故答案為：或．例3如圖，點，依次在的圖象上，點，依次在軸的正半軸上．若△，△均為等邊三角形，則點的坐標為．【規范答題】作，垂足為，△為等邊三角形，，，，設的坐標為，點在的圖象上，，解得，，，作，垂足為．設，則，，．在反比例函數的圖象上，代入，得，化簡得，解得：．，．，，所以點的坐標為，．1如圖，在矩形中，，，是上的一個動點不與，重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點．（1）當為的中點時，求該函數的解析式；（2）當為何值時，的面積最大，最大面積是多少？【解答】（1）在矩形中，，，，為的中點，，點在反比例函數的圖象上，，該函數的解析式為；（2）由題意知，兩點坐標分別為，，，，在邊上，不與，重合，即，解得當時，有最大值．．2如圖，的對角線、交于點，平分交于點，且，，連接．下列結論：①；②；③；④成立的個數A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】四邊形是平行四邊形，，，平分，是等邊三角形，，，，，，故①錯誤；可得，，故②正確；，為中點，，，，；故③正確；四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故④正確；故正確的個數為3個，故選：．3如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在第一象限，點在軸的正半軸上，點為的重心，連接并延長，交于點，反比例函數的圖象經過，兩點．若的面積為6，則的值為A. B． C． D．3【解答】過點作于，于，如圖，點為的重心，，，，設，則，，，，，，，，為的中線，，即，．故選：．數學思想——分類討論思想題組二數學思想——分類討論思想題組二每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想。1、分類討論的步驟（1）明確分類對象（2）明確分類標準（3）逐類分類、分級得到階段性結果（4）用該級標準進行檢驗篩選結果（5）歸納作出結論2、分類討論的對象例4關于的方程有實數根，則的取值范圍是A． B．且 C．且 D．且【規范答題】①當，即，方程化為，解得；②當時，△，解得且，綜上所述，的范圍為．故選：．例5如圖，在直角中，，，，、分別為邊、上的兩個動點，若要使是等腰三角形且是直角三角形，則．【規范答題】①如圖1中，當，時，設，，，，，，．②如圖2中，當，時，設．，，，．綜上所述，滿足條件的的值為或．例6如圖，中，，，，點是斜邊上任意一點，過點作，垂足為，交邊（或邊于點，設，的面積為，則與之間的函數圖象大致是A．B． C．D．【規范答題】①當點在上時，，，，；②當點在上時，如下圖所示：，，，，，．，該函數圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下，故選：．4若關于的方程有實數根，則實數的取值范圍是A． B．且 C．且 D．【解答】當該方程是一元二次方程時，由題意可知：△，，，且，當該方程時一元一次方程時，，滿足題意，故選：．5若關于的一元二次方程沒有實數根，則實數的取值范圍是A． B． C．且 D．【解答】關于的一元二次方程沒有實數根，△，且，解得，故選：．6已知關于的一元二次方程，這個方程根的情況是A．有兩個相等的實根 B．有兩個不相等的實根 C．有可能無實根 D．有兩個實根，可能相等，也可能不相等【解答】根據題意得，△，，，△，方程有兩個不相等的兩個實數根．故選：．7如圖：在平面直角坐標系中，為坐標原點，四邊形是矩形，點、的坐標分別為、，點是的中點，點在邊上運動，當是腰長為5的等腰三角形時，求的坐標．【解答】（1）是等腰三角形的底邊時，就是的垂直平分線與的交點，此時；（2）是等腰三角形的一條腰時：①若點是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以5為半徑的弧與的交點，在直角中，，則的坐標是．②若是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以5為半徑的弧與的交點，過作于點，在直角中，，當在的左邊時，，則的坐標是；當在的右側時，，則的坐標是．故為：或或．8如圖，在矩形中，，，點是邊上靠近點的三等分點，動點從點出發，沿路徑運動，則的面積與點經過的路徑長之間的函數關系用圖象表示大致是A．B． C．D．【解答】在矩形中，，，，，點是邊上靠近點的三等分點，，①點在上時，的面積，②點在上時，，，，，，③點在上時，，，故選：．9如圖，拋物線經過點，，直線：交軸于點，且與拋物線交于兩點，為拋物線上一動點（不與重合）。（1）求拋物線的解析式。（2）當點在直線下方時，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值。（3）設為直線上的點，以為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求坐標；若不能，請說明理由。【解答】（1）把，代入，得，拋物線的解析式為：。（2）設由題得，當時，的最大值是。（3）以為頂點的四邊形能構成平行四邊形。由題可得：，①以為邊，有:且，此時在上方時，（舍去），得.在下方時，得②以為對角線，由得：解得：（舍去），得.綜上所述，當為時，四邊形能構成平行四邊形。數學思想——函數方程思想題組三數學思想——函數方程思想題組三函數方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應用，也是對方程概念本質的認識，是分析數學問題中變量間的等量關系，構建方程、方程組或者函數關系，或利用方程函數的性質去分析、轉換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。函數方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。例7矩形中，，，將矩形折疊，使得點落在線段的點處，則線段的長為．【規范答題】四邊形是矩形，，將矩形折疊，使得點落在線段的點處，，，，在中，由勾股定理，得．在矩形中，．．設，則．在中，．解得．，故答案為：2.5．例8如圖，已知直線分別與軸，軸交于，兩點，與雙曲線交于，兩點，若，則的值是A． B．1 C． D．【規范答題】作軸，軸，與交于，如圖，點坐標為，點坐標為，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，設點橫坐標為，代入，則縱坐標是，則的坐標是：，點坐標為，，解得，點坐標為，，．故選：．10如圖，已知中，，，，的垂直平分線分別交，于，，連接，則的長為A．1 B． C． D．【解答】中，，，，，是直角三角形，的垂直平分線分別交，于，，，設為，，在中，，即，解得：，即，故選：．11如圖，矩形中，點在邊上，于，若，，則線段長為A． B．4 C． D．【解答】連接，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，在中，設為，由勾股定理可得：，即，解得：，所以，，故選：．12如圖，在矩形中，，，點是上一點，把沿向矩形內部折疊，當點的對應點恰落在的平分線上時，．【解答】過作交于，交于，作于，如圖所示：由折疊的性質得：，點恰落在的平分線上，，四邊形是正方形，，設，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，或（舍去），；故答案為：．13如圖，有一個，，，，將它放在直角坐標系中，使斜邊在軸上，直角頂點在反比例函數的圖像上，求點的坐標【解答】如圖，過點作軸于點，在中，，，，點的縱坐標為，點在反比例函數的圖像上，，，即點橫坐標為，點橫坐標也為，在中，，，設，則，由勾股定理得：，解得或（舍去），在軸上，的坐標為．數學思想——引參數學思想——引參轉化思想題組四換元引參思想是我們在解決很多幾何問題和函數問題時慣用的思路，參數可以作為中間量進行過渡，也可以以參數為未知變量，研究其最值及其它性質，是數學思想中重要的一脈；轉化與整體思想是數學中研究復雜代數或者幾何問題時常用的方法，整體轉化思想往往與換元引參思想密不可分，但是初中階段對思想方法的考察要求不是很高，只需有所簡單了解，所以在此我們不做過多深入講解，掌握思想方法的表現形式即可。例9如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，如果，，，那么正方形的面積等于．【規范答題】設正方形的邊長為，的長為．，，，，，即解得①在中，②將①代入②，可得：正方形的面積為：．例10在中，邊上的中線，，，則的面積為．【規范答題】如圖，在中，是邊上的中線，，，，，，，，，是直角三角形，，又，，，又，．14如圖，是以為底的等腰三角形，是邊上的高，點、分別是、的中點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果四邊形的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形的面積．【解答】（1），點、分別是、的中點，中，，中，，又，點、分別是、的中點，，，四邊形是菱形；（2）如圖，菱形的周長為12，，設，，則，，①于，中，，，即，②把②代入①，可得，，菱形的面積．15如圖，已知為的直徑，，點和點是上關于直線對稱的兩個點，連接、，且，直線和直線相交于點，過點作直線與線段的延長線相交于點，與直線相交于點，且．（1）求證：直線為的切線；（2）若點為線段上一點，連接，滿足，①；②求的最大值．【解答】（1）由題意可知：，是的直徑，，，，，，是的半徑，直線是的切線；（2）①，，，②由可知：，，，，，當，此時，，令當時可取得最大值，最大值為5模塊二模塊二數學方法數學方法——等面積法題組一數學方法——等面積法題組一等面積法是我們解決幾何問題時常用的方法，利用面積的關系可以使計算過程事半功倍。1、等面積法（1）面積和差型該類型通過面積之間的和差關系構建恒等式。（2）面積算式型該類型通過對同一圖形面積的不同計算方法（以三角形為例，換底和高）構建恒等式。2、等面積法類型（1）正常的三角形中：涉及多個高線問題的，可以利用等面積法（2）菱形中涉及對角線求值，利用：列式子求解（3）其它幾何中（選填壓軸幾何）中，涉面積的結合利用三角形全等進行面積轉化（4）動點問題中，如果動點關系恒定不變的是線線垂直，這個時候可以考慮應用等面積方法求解問題例11已知：如圖，在中，，，平分交于，求的面積．【規范答題】（1）在中，，，，又平分，，在中，，，，由勾股定理得即，解得，，又法一：，，．法二：例12已知：如圖，矩形中，，，對角線、相交于點，點是線段上任意一點，且于點，于點，則等于A． B． C． D．【規范答題】連接，矩形的兩邊，，，，，，，，，，，故選：．例13在正方形中，點為邊上的一點，，連接，作于點，令，，關于的函數關系圖象大致是A． B． C． D．【規范答題】法一：正方形中，，，，，，，，，，即，．由上可知可得出與的函數圖象是一支在第一象限的雙曲線．故選：．法二等面積法：連接，設，則，由題意：,所以：，由上可知可得出與的函數圖象是一支在第一象限的雙曲線．故選：．16如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于A． B． C．5 D．4【解答】四邊形是菱形，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，故選：．17如圖，在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．若，，則四邊形的面積為A． B．24 C．6 D．12【解答】，，在和中，，，，的面積的面積，面積面積面積面積面積面積，選：．18如圖，在菱形中，，，于點，則的長為A．1 B． C． D．【解答】在菱形中，，，，，，，，，故選：．19如圖，將平行四邊形紙片沿折疊，使點與點重合，點落在點處．（1）求證：；（2）連接，若平行四邊形的面積為8，，求的值．【解答】（1）證明：在中，，，，紙片沿折疊，點與點重合，點落在點處，，，，，，，，，，在和中，，；（2）連接，，，根據翻折的性質，，又，四邊形是平行四邊形，根據翻折后點、重合，，是菱形，菱形的面積，的面積，，的面積，菱形的面積等于，菱形的面積．20如圖，為的外接圓，為與的交點，為線段延長線上一點，且．（1）求證：直線是的切線．（2）若為的中點，，①求的半徑；②求的內心到點的距離．【解答】（1）證明：連接，并延長交于點，連接是直徑，，，且是半徑直線是的切線．（2）①如圖，連接，為的中點，過圓心，，，，，，的半徑為；②如圖，作的平分線交于點，連接，過點作，，，，且平分，且平分點是的內心，且，，在中，，，，，，．數學方法——坐標解析數學方法——坐標解析法題組二坐標解析法顧名思義，通過建立坐標系的方法使復雜的幾何問題可以通過簡單的代數運算求解。坐標解析的優點是坐標體系的知識點是固定的，在不同的幾何題中，幾何圖解的思路是千變萬化的，但是如果使用坐標解析的方法去處理問題，則大道同歸，方法思路不會發生變化，對于學生而言，不失為一種簡便的方法。1、直角建系法：在幾何中出現規則的直角時，可以以直角為坐標原點建立平面直角坐標系，然后求解問題2、無直角建系法：這一類對學生而言往往要求較高，而且設的參數可能會比較多。3、坐標系知識（1）坐標：兩條互相垂直的數軸構成平面直角坐標系，坐標系內一組有序數對為點坐標（2）坐標系知識：①軸方程為：；過點，垂直于軸（平行于軸）的方程為：軸方程為：；過點，垂直于軸（平行于軸）的方程為：②直線解析式：書寫規范：設一次函數解析式為：，。把、帶入解析式，得，一次函數解析式為：。快速得解：做題分析時要能達到目之所及，解析式現。代表直線的斜率，含義是直線的傾斜程度。代表直線的縱截距，含義是直線與軸相交的點的縱坐標。③兩點，之間的距離公式：④兩點，之間的中點坐標公式：例14如圖，在中，，，是的中點，點在上，點在上，且．給出以下四個結論：其中正確的有①；②是等腰直角三角形；③；?的最小值為2．【規范答題】①，，，點是的中點，，且，，，在和中，，，，，所以①正確；②，是等腰直角三角形；所以②正確；③，和的面積相等，為中點，的面積的面積，；所以③正確；④法一：幾何圖解法當，時，值最小，根據勾股定理得：，此時四邊形是矩形，即，所以；所以④正確；法二：坐標解析法。如圖，以方向為軸，以方向為軸，建立平面直角坐標系設，則。所以、由勾股定理可得：顯然，拋物線對稱軸，當時，有最小值，，所以④正確；例15如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，，點、點分別是、的中點，連接，，于點，交于點，，則線段的長為．【規范答題】法一：幾何圖解法設，點、點分別是、的中點，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，