專題14解答基礎題型：規律探究題1．（2023?安徽）【觀察思考】【規律發現】請用含的式子填空：（1）第個圖案中“◎”的個數為；（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為，第2個圖案中“★”的個數可表示為，第3個圖案中“★”的個數可表示為，第4個圖案中“★”的個數可表示為，，第個圖案中“★”的個數可表示為．【規律應用】（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數，使得連續的正整數之和等于第個圖案中“◎”的個數的2倍．【答案】見解析【詳解】（1）第1個圖案中“◎”的個數為：，第2個圖案中“◎”的個數為：，第3個圖案中“◎”的個數為：，，第個圖案中“◎”的個數：，故答案為：；（2）由題意得：第個圖案中“★”的個數可表示為：；故答案為：；（3）由題意得：，解得：或（不符合題意）．2．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）因為第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，故答案為：；（2）第個等式：，證明：左邊，右邊，左邊右邊．等式成立．3．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續排列．觀察思考當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖；以此類推．規律總結（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加2塊；（2）若一條這樣的人行道一共有為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為（用含的代數式表示）．問題解決（3）現有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】見解析【詳解】（1）觀察圖1可知：中間的每個正方形都對應了兩個等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；故答案為：2；（2）觀察圖形2可知：中間一個正方形的左上、左邊、左下共有3個等腰直角三角形，它右上和右下各對應了一個等腰直角三角形，右邊還有1個等腰直角三角形，即；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對應了兩個等腰直角三角形，均有圖2一樣的規律，圖；歸納得：（即；若一條這樣的人行道一共有為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為塊；故答案為：；（3）由規律知：等腰直角三角形地磚塊數是偶數，用塊，再由題意得：，解得：，等腰直角三角形地磚剩余最少為1塊，則需要正方形地磚1008塊．4．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：．第5個等式：．按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個等式：；（2）猜想的第個等式：．證明：左邊右邊，等式成立．故答案為：；．5．（2019?安徽）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個等式為：，故答案為：；（2）證明：右邊左邊．等式成立，故答案為：．6．（2023?瑤海區一模）用相同的菱形按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規律完成下表：圖形123456所用菱形個數13467（2）按這種方式搭下去，搭第為自然數）個圖形需要個菱形；（用含的式子表示）（3）小亮同學說他按這種方式搭出來的一個圖形用了2023個菱形，你認為可能嗎？如果能那是第幾個圖形？如果不可能請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）根據表中的數據得，圖形5中有7個菱形，圖形6中有9個菱形，故答案為：7，9；（2）根據（1）中的規律，第個圖形中有個菱形，故答案為：；（3）當時，解得：，，所以第1349個圖形中有2023個菱形．7．（2023?合肥一模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；根據以上規律解答以下問題：（1）寫出第5個等式：；寫出第個等式：；（2）由分式性質可知：，試求的值．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：；；故答案為：；；（2）．8．（2023?廬陽區校級一模）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；按照以上規律解決下列問題：（1）寫出第5個等式；（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：第5個等式為：；故答案為：；（2）猜想：，證明：等式左邊右邊，故猜想成立．故答案為：．9．（2023?合肥三模）觀察下列正整數的排列順序：解答以下問題：（1）35排在第幾行第幾列？（2）第10行第10列的數是多少？第行列的數呢？（用含的代數式表示）（3）2023排在第幾行第幾列？【答案】見解析【詳解】（1）由題意知，35排在第6行第2列；（2）第1列第1行為，第2列第2行為，第3列第3行為，第4列第4行為，第5列第5行為，，第10列第10行為，第列第行為；（3）由規律可知，第1行第列的數為，第1行第45列的數為2025，數2023在第3行第45列．10．（2023?蜀山區二模）苯是最簡單的芳香族化合物，在有機合成工業上有著重要的用途，德國化學家凱庫勒發現了苯分子的環狀結構．將若干個苯環以直線形式相連可以得到如下類型的芳香族化合物（結構簡式中六邊形每個頂點處代表1個原子，通常省略原子）．已知：苯的結構式是，結構簡式為，分子式是；2個苯環相連結構式是，結構簡式為，分子式是；3個苯環相連結構式是，結構簡式為的分子式是；根據以上規律，回答下列問題：（1）4個苯環相連的分子式是；（2）個苯環相連的分子式是；（3）試通過計算說明分子式為是否屬于上述類型的芳香族化合物．【答案】見解析【詳解】（1）4個苯環相連的分子式是：；故答案為：；（2）由題意得：第個苯環相連的分子式是：；故答案為：；（3），解得：，則，故是屬于上述類型的芳香族化合物．11．（2023?蜀山區校級一模）觀察下列等式，探究發現規律，并解決問題．①；②；③；（1）；（2）；（3）．【答案】見解析【詳解】（1），，故答案為：20；（2），，故答案為：；（3），故答案為：．12．（2023?瑤海區二模）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）根據所給的四個等式反映的規律，可以發現，第5個等式為：，故答案為：；（2）根據所給的四個等式反映的規律，可以發現，第個等式為：，證明：左邊右邊，．13．（2023?包河區二模）某旅游景區走廊的中間部分是用邊長為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據圖示排列規律，解答以下問題．（1）第4個圖案（4）有白色地磚塊地磚；第個圖案有白色地磚塊地磚（用含的代數式表示）；（2）已知（1）的長度為3米，（2）的長度為5米，，的長度為2023米，求圖案中白色正方形地磚有多少塊．【答案】見解析【詳解】（1）第1個圖案（1）的白色地磚塊數為：6，第2個圖案（2）的白色地磚塊數為：，第3個圖案（3）的白色地磚塊數為：，第4個圖案（4）的白色地磚塊數為：，，第個圖案的白色地磚塊數為：，故答案為：15，；（2）（1）的長度為3米，（2）的長度為5米，，的長度為：米，當時，解得：，中白色地磚的塊數為：．14．（2023?廬陽區二模）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式，并證明你的結論．【答案】見解析【詳解】（1）第6個等式為：；故答案為：；（2）猜想：第個等式為：，證明：等式右邊右邊，故猜想成立．15．（2023?廬陽區校級二模）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；按照以上規律，解答下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第5個等式為：，故答案為：；（2）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第個等式為：，證明：左邊右邊，故猜想成立．故答案為：．16．（2023?廬江縣模擬）將黑色圓點按如圖所示的規律進行排列，圖中黑色圓點的個數依次為：1，3，6，10，，按照以上規律，解決下列問題：（1）第⑤個圖中有個黑色圓點；第⑩個圖中有個黑色圓點；（2）第幾個圖中有210個黑色圓點？【答案】見解析【詳解】第一個圖形的數量是1，可以表示為；第二個圖形的數量是3，可以表示為；第三個圖形的數量是6，可以表示為；第四個圖形的數量是10，可以表示為，根據此規律可以得到第個圖形的圓圈數量為，（1）第⑤個圖中有個黑色圓點；第⑩個圖中有個黑色圓點；故答案為：15，55；（2）設第個圖中有210個黑色圓點，可得：，解得：，所以第幾個圖中有210個黑色圓點．17．（2023?廬陽區校級一模）觀察下列各式：①；②；③；④按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式．（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個式子：．故答案為：．（2）．證明：左邊右邊．猜想的第個式子成立．18．（2023?廬陽區校級一模）合肥市某中學為了讓學生增加課外閱讀的機會，計劃修建一條讀書走廊，并準備用若干塊帶有圓形花紋和沒有圓形花紋的兩種大小相同的正方形地磚搭配在一起，按如圖①所示的排列方式鋪滿走廊，已知每塊正方形地磚的邊長均為．【觀察思考】當帶有圓形花紋的地磚只有1塊時，沒有花紋的地磚有8塊（如圖②；當帶有圓形花紋的地磚有2塊時，沒有花紋的地磚有13塊（如圖③；；以此類推．【規律總結】（1）按圖示規律，第一個圖案（圖②的長為，第五個圖案的長為；（2）若這條走廊的長為，帶有圓形花紋的地磚塊數為為正整數），則（用含的代數式表示）；【問題解決】（3）若要使走廊的長不小于72，則至少需要帶有圓形花紋的地磚多少塊？【答案】見解【詳解】（1）第一圖案的長度，第二個圖案的長度，，第個圖案邊長為；第五個圖案的長為；故答案為：1.8，6.6；（2）由（1）得第個圖案的長為；故答案為：；（3）由題意得：，，，至少需要帶有圓形花紋的地磚60塊．19．（2023?合肥模擬）如圖，下列圖形是由邊長為1個單位長度的小正方形按照一定規律擺放的“”形圖形，觀察圖形：（1）圖10中小正方形的數量是個：圖2023的周長是個單位長度；（2）若圖1中小正方形個數記作，圖2中小正方形圖個數記作，圖中小正方形個數記作，則個（用含的代數式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）圖1中小正方形的個數為：，周長為：；圖2中小正方形的個數為：，周長為：；圖3中小正方形的個數為：，周長為：；，圖中小正方形的個數為：，周長為：，圖1010中小正方形的數量是：；圖2023的周長是：，故答案為：2023，8100；（2）．故答案為：．20．（2023?包河區一模）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，按照以上規律．解決下列問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個等式為：．故答案為：；（2）猜想：第個等式為：，證明：等式左邊右邊，故猜想成立．21．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個圖案需要5盆花卉，第2個圖案需要13盆花卉，第3個圖案需要25盆花卉，以此類推．按照以上規律，解決下列問題：（1）第4個圖案需要花卉盆；（2）第個圖案需要花卉盆（用含的代數式表示）；（3）已知豐艷花卉市場春節期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數．【答案】見解析【詳解】（1）第1個圖案需要花卉的盆數為：，第2個圖案需要花卉的盆數為：，第3個圖案需要花卉的盆數為：，第4個圖案需要花卉的盆數為：，故答案為：41；由（1）可得：第個圖案需要花卉的盆數為：；故答案為：；（3）設第個花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，由題意得：，解得：，，答：該花卉圖案中深色花卉的盆數為2601．22．（2023?蜀山區一模）如圖中，圖（1）是一個菱形，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖（2）所示，連接菱形對邊中點，共得到5個菱形；第二次劃分：如圖（3）所示，對菱形按上述劃分方式繼續劃分，共得到9個菱形；第三次劃分：如圖（4）所示，依次劃分下去．（1）根據題意，第四次劃分共得到個菱形，第次劃分共得到個菱形；（2）根據（1）的規律，請你按上述劃分方式，判斷能否得到2023個菱形？為什么？【答案】見解析【詳解】（1）第一次劃分所得到的菱形的個數為：，第二次劃分所得到的菱形的個數為：，第三次劃分所得到的菱形的個數為：，第四次劃分所得到的菱形的個數為：（個，第次劃分所得到的菱形的個數為：個，故答案為：17；；（2）不能，理由如下：，解得：，故不能得到2023個菱形．23．（2023?廬陽區校級三模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第5個等式為：．故答案為：．（2）第個等式為：．證明：右邊，左邊，左邊右邊．等式成立．故答案為：．24．（2023?廬陽區模擬）如圖，下列圖案都是由同樣大小的基本圖形按一定規律所組成的，其中：第1個圖案中基本圖形的個數：，第2個圖案中基本圖形的個數：，第3個圖案中基本圖形的個數：，第4個圖案中基本圖形的個數：，．按此規律排列，解決下列問題：（1）寫出第5個圖案中基本圖形的個數：；（2）如果第個圖案中有2024個基本圖形，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：第5個圖案中基本圖形的個數：，故答案為：17；（2）由題意得：第個圖形中基本圖形的個數為：，第個圖案中有2024個基本圖形，，解得：．25．（2023?合肥二模）觀察如圖中小黑點的個數與等式的關系，按照其圖形與等式的規律，解答下列問題：（1）寫出第5個等式：．（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示）；（3）若第組圖形中等號左右兩邊各有171個小黑點，求．【答案】見解析【詳解】（1）第5個等式為：，故答案為：；（2）猜想：第個等式為：，故答案為：；（3）第組圖形中等號左右兩邊各有171個小黑點，，解得：．26．（2023?廬江縣二模）觀察下列圖形和其對應的等式：根據以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個圖形對應的等式是．（2）第個圖形對應的等式是（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）；故答案為：；（2）；證明：右邊左邊，所以等式成立．故答案為：．27．（2023?蜀山區校級一模）觀察下列等式：①；②；③；（1）寫出④；（2）猜想：；（3）由以上規律，計算的值．【答案】見解析【詳解】（1）觀察可知：．故答案為：．（2）觀察等式規律可得：．故答案為：．（3）由（2）可得，．28．（2023?蕪湖模擬）將若干枚黑白棋子按照一定規律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規律繼續擺放三角形陣，請解決下列問題：（1）第6個圖案中，黑棋子的個數為，白棋子的個數為；（2）第個圖案中，黑棋子的個數為，白棋子的個數為；（用含的式子表示）（3）當擺放到第個三角形陣時，該三角形陣中的黑棋子數第一次比白棋子多．【答案】見解析【詳解】（1）第6個圖案中，黑棋子的個數為15，白棋子的個數為21；故答案為：15，21；（2）由圖可知，白棋子的變化規律為每次增加3個，則第個圖案中白棋子的個數為，黑棋子的變化為：時，0個；時，個；時，個；時，個；故第個圖案中黑棋子個數為；故答案為：，；（3），，解得：，（不符題意，舍去），，，取正整數，且黑棋子第一次比白棋子多，．當擺放到第8個三角形陣時，該三角形陣中的黑棋子數第一次比白棋子多．故答案為：8．29．（2023?包河區校級一模）仔細觀察下列各式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；請你根據以上規律，解決下列問題：（1）寫出第4個等式：；（2）寫出第為正整數）個等式，并證明等式成立．【答案】見解析【詳解】（1）由題意可得，第4個等式為：；故答案為：；（2）第個等式為：，右邊左邊，故等式成立．30．（2023?瑤海區模擬）觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第（5）個等式（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第5個等式：，（2）猜想的第個等式，證明：左邊右邊，等式成立．31．（2023?廬陽區校級一模）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，按照以上規律，解決下列問題：（1）按照此規律下去，第4個等式是：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第4個等式是：，故答案為：；（2）第個