一次函數與勾股定理專項訓練卷如圖，在中，，，，為的中點，過點作，、分別交射線、于點、，則的最小值為5．．【分析】首先過點作于點，作于點，易得四邊形是矩形，可得，，又由，，為的中點，可求得與的長，然后由勾股定理求得的長，又由垂線段最短，可得當與重合，即與重合時，最短，求得答案．【解答】解：過點作于點，作于點，，四邊形是矩形，，，，，，，，，為的中點，，，，由垂線段最短，可得當與重合，即與重合時，最短，的最小值為5．故答案為：5．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及垂線段最短的知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．（2019春?羅湖區期末）在中，，，，的角平分線與的角平分線相交于，且交于，則的長等于．【分析】思想利用勾股定理的逆定理證明，利用面積法求出，設，，構建方程組解決問題即可．【解答】解：如圖，作于，于，于．，，，，同理可證：，，，，，，，，，易證四邊形是正方形，，，，，，，設，，則有，解得，補充方法：根據，設，則，利用勾股定理構建方程求出即可．故答案為．【點評】本題考查角平分線的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．（2019秋?甌海區期末）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，長方形的頂點、分別在軸與軸上，已知，，點為軸上一點，其坐標為，點在線段上運動，當點與點重合時停止運動．（1）點在運動過程中，當為直角三角形時，請直接寫出此時點的坐標；（2）當點關于的對稱點落在軸上時，求點的坐標．【分析】（1）求出的長，然后分和是直角兩種情況求出，再寫出點的坐標即可；（2）根據軸對稱的性質可得，然后判斷出是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得，然后寫出點的坐標即可．【解答】解：（1），，，若，則，點的坐標為，若，則，點的坐標為，以為直徑作圓顯然與沒有交點，所以不可能是，綜上所述，為直角三角形時，點的坐標為或；（2）點關于的對稱點落在軸上，，是等腰直角三角形，，點的坐標為．【點評】此題考查了勾股定理，直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于（1）分情況討論，（2）判斷出是等腰直角三角形．（2021秋?東明縣期末）如圖，已知一次函數的圖象與軸交于點，一次函數的圖象與軸交于點，且與軸以及一次函數的圖象分別交于點、，點的坐標為．（1）關于、的方程組的解為．（2）求的面積；（3）在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據題目中點的坐標，從而可以得到關于、的方程組的解；（2）根據點的坐標可得，計算的長，根據三角形面積公式可得結論；（3）根據題意，畫出相應的圖形，可知有三種情況，然后分別進行討論計算即可解答本題．【解答】解：（1）一次函數的圖象與一次函數的圖象交于點，且點的坐標為，關于、的方程組的解是，關于、的方程組的解是，故答案為：；（2）把點的坐標代入一次函數中得：，解得：，，，，；（3）存在，如圖1，當點為直角頂點時，過點作軸于，，；當點為直角頂點時，軸上不存在點；當點為直角頂點時，過點作交軸于點，作軸于，設，當時，，，，，，，，，，在中，，在中，，在中，，，解得，，綜上，點的坐標為：或．【點評】本題是一次函數綜合題，主要考查一次函數與軸、軸的交點、待定系數法求一次函數解析式、一次函數與方程組的關系，三角形的面積、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想和分類討論的數學思想解答．（2020秋?成都期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，．（1）求點的坐標；（2）點為軸正半軸上一點，，點為線段上一動點，設的縱坐標為，請用含的代數式表示點到軸的距離；（3）在（2）的條件下，過點作交軸于點，連接，，當為等腰三角形時，求的面積．【分析】（1）用表示出，，利用勾股定理構建方程求解即可．（2）如圖1中，過點作的角平分線交于．利用全等三角形的性質證明，由此構建方程求解即可．（3）在（2）的條件下，，因為，推出，，分兩種情形：當時，過點作于，②當時，分別求出直線的解析式，構建方程組即可解決問題．【解答】解：（1）由題意，直線直線交軸于點，交軸于點，在中，，，或（舍棄），，．（2）如圖1中，過點作的角平分線交于．，，，，，，，，，，設，則，，，，，直線的解析式為，的縱坐標為，點橫坐標為，，．（3）在（2）的條件下，，，，，①當時，過點作于，，，，，，，，，，直線過點，，直線的表達式為，由，解得，，，．②當時，，直線的表達式為，由，解得，，，．【點評】本題屬于一次函數綜合題，考查了待定系數法，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．（2022春?桂林期末）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的頂點、坐標分別為，，．（1）直接寫出點的坐標，并求出直線的解析式；（2）若是直線上的一個動點與、不重合），當的面積是3時，請求出點的坐標；（3）在軸上是否存在一點，使得是不以點為直角頂點的直角三角形．若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用平行四邊形的性質確定點坐標，利用待定系數法求函數解析式；（2）根據三角形面積公式求得的高，然后利用一次函數圖象上點的坐標特征求點坐標；（3）設點坐標為，然后結合勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）在平行四邊形中，，，又頂點、坐標分別為，，，點坐標為，設直線的解析式為，將，，代入，得：，解得：，直線的解析式為：；（2），且的面積是3，設的邊上的高為，則，解得：，點縱坐標為或，又是直線上的一個動點，在中，當時，，解得：，當時，，解得：，點坐標為，或，；（3）設點坐標為，由題意可得：，，，①當點為直角頂點時，，，解得：，此時，點坐標為；②當點為直角頂點時，，，解得：，此時，點坐標為；綜上，點坐標為或．【點評】本題考查一次函數的應用，待定系數法求函數解析式，勾股定理解直角三角形，理解相關性質定理，利用分類討論思想解題是關鍵．（2017?和平區三模）將一個直角三角形紙片，放置在平面直角坐標系中，點，，點，點（1）過邊上的動點（點不與點，重合）作交于點，沿著折疊該紙片，點落在射線上的點處．①如圖，當為中點時，求點的坐標；②連接，當為直角三角形時，求點坐標；（2）是邊上的動點（點不與點重合），將沿所在的直線折疊，得到△，連接，當取得最小值時，求點坐標（直接寫出結果即可）．【分析】（1）①由為中點結合，可得出為的中位線，再根據點、的坐標即可得出點的坐標；②根據折疊的性質結合角的計算可得出，分和兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點的坐標；（2）根據三角形的三邊關系，找出當點在軸上時，取最小值，根據折疊的性質可得出直線的解析式，再根據點、的坐標利用待定系數法求出直線的解析式，聯立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點的坐標．【解答】解：（1）①，，．為中點，為的中位線，點為線段、的中點，點的坐標為，．②由折疊可知：，，，．是直角三角形，或．當時，如圖1所示．．在中，，，，，，，．在中，，，，，，．．點的坐標為，；當時，如圖2所示．，，，．在中，，，，，，．在中，，，，，．，點的坐標為，．綜上所述：當為直角三角形時，點坐標為，或，．（2）由折疊可知：△，，，又，當點在軸上時，取最小值，如圖3所示．，，直線的解析式為．設直線的解析式為，將，、代入中，，解得：，直線的解析式為．聯立直線、的解析式成方程組，，解得：，當取得最小值時，點坐標為，．【點評】本題考查了三角形的中位線、待定系數法求一次函數解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折疊的性質，解題的關鍵是：（1）①找出為的中位線；②分和兩種情況求點的坐標；（2）根據三角形三邊關系找出取得最小值點的位置．（2019秋?普陀區期末）如圖，在平面直角坐標系內，直線經過點，點坐標為，（1）求點的坐標；（2）若為射線上的一點，當是直角三角形時，求點坐標．【分析】（1）根據直線經過點，可得，易求，即可得點坐標；（2）考慮有兩種情況：①當時，點的橫坐標與點的橫坐標相同，均為4，把代入，易求，從而可得點坐標；當時，可先設點坐標是，根據勾股定理易得，解可求，（舍去），進而可求點坐標，綜上所述：當是直角三角形時，點的坐標為或．【解答】解：（1）直線經過點，，解得：，點的坐標為；（2）①當時，點的橫坐標與點的橫坐標相同，均為4，將代入，得，點的坐標為，②當時，，設點坐標為，，解得，（舍去），點的坐標為，綜上所述：當是直角三角形時，點的坐標為或．【點評】本題考查了一次函數綜合題、勾股定理．解題的關鍵是根據題意畫出圖，要根據點的不同位置進行分類求解．（2020秋?羅湖區校級期末）（1）如圖1，在和中，，，且點在邊上滑動（點不與點，重合），連接，①則線段，，之間滿足的等量關系式為；②求證：；（2）如圖2，在四邊形中，．若，，求的長．【分析】（1）①證明，得出，可得；②根據全等三角形的性質可得，得到，根據勾股定理計算即可；（2）作，使，連接，，證明，得到，根據勾股定理計算即可．【解答】（1）①解：，理由如下：，，即，在和中，，，，；故答案為：；②證明：中，，，由（1）得，，，，，，在中，，又，；（2）解：作，使，連接，，如圖2所示：，即，在與中，，，，，，，，，．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、直角三角形的判定等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．（2021?新吳區二模）已知中，，，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在處，，將三角板繞點旋轉（保持點在內部），連接、、．（1）如圖1求證：；（2）如圖2當三角板繞點旋轉到點、、在同一直線時，求的長；（3）設射線與射線相交于點，連接，寫出旋轉過程中、、之間的數量關系．【分析】（1）由題意可得：，即可證，可得；（2）作于，由題意可求，可得，根據勾股定理可求，即可求的長；（3）作于，于，設交于，由題意可證，可得，，即可證，，，則可求得、、之間的數量關系．【解答】證明：（1）如圖1中，，且，（2）解：如圖2中，作于、、共線，，，，在中，（3）解：結論：理由：如圖3中，作于，于，設交于．，，，，，，，，，，，，，，，，，【點評】本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．如圖所示，在中，，是斜邊的中點，，分別在邊，上，，若，，，求線段的長度．【分析】延長至點，使得，連接，，易證，可得，，可證明，根據等腰三角形的性質可得，設，由勾股定理得出方程，解方程求出、，再由勾股定理求出即可．【解答】解：延長至點，使得，連接，，如圖所示：為斜邊的中點，，在和中，，，，，，，即，，設，，，，，，，，在中，，，即，解得：，，，，，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、線段垂直平分線的性質等知識；證明是解題的關鍵．（2020秋?姑蘇區期末）如圖，在中，，，．翻折，使點落在斜邊上某一點處，折痕為（點、分別在邊、上）．（1）當點與重合時，則2；（2）連接，當時，求的長；（3）在（2）條件下，求證：．【分析】（1）由圖形的翻折知，，即可求解；（2）證明，同理可得：，故；（3）證明，得到是的中垂線，則，則，再證明，，即可求解．【解答】解：（1）由圖形的翻折知，，在中，，，則，故，故答案為2；（2）連接，由圖形的翻折知，，，，，而，，同理可得：，；（3）如圖2，延長取，連接，由（2）知，而，，，，，，故是的中垂線，，則，，，，在中，，而，．【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了圖形的翻折、直角三角形的中線定理、三角形全等、勾股定理的運用等，綜合性很強，難度較大．（2021春?羅湖區期末）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1：連，，求證：；（2）若將繞點順時針旋轉，當點，，恰好在同一條直線上時，如圖2所示，線段，與交點為，若，，求出線段的長；（3）若將繞點順時針旋轉，當點恰好落在邊上時，如圖3所示，與交點為，求證：．【分析】（1）根據證明三角形全等即可．（2）分別求出，即可．（3）如圖2中，在上取一點，使得，連接，．證明，可得，即可得出結論．【解答】（1）證明：如圖1中，，，，，．（2）如圖中，設交于，，，又，，，，，，，，，，，，，，，．（3）證明：如圖2中，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．解法二：連結，證明與全等，然后說明是直角，可得結論．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．如圖1，在中，，，為的中點，，分別為，上的點，且．（1）求證：；（2）如圖2，若，分別在、的延長線上，探究、、之間的數量關系．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質和等腰直角三角形斜邊上的中線性質得到，，，，再利用等角的余角相等得到，然后根據“”可判斷，則；（2）根據等腰直角三角形的性質和等腰直角三角形斜邊上的中線性質得到，，，，求出，然后根據“”可判斷，推出即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接，是等腰直角三角形，為斜邊的中點，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，即；（2）解：，理由是：如圖2，連接，是等腰直角三角形，為斜邊的中點，，，，，，，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，即．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，能推出是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．（2020春?涪城區校級期