第五章四邊形5.1多邊形與平行四邊形1.(2020·浙江溫州)如圖,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,點(diǎn)D在AC邊上,以CB,CD為邊作?BCDE,則∠E的度數(shù)為 (D)A.40° B.50° C.60° D.70°第1題圖第2題圖2.(2021·四川自貢)如圖,AC是正五邊形ABCDE的對(duì)角線,∠ACD的度數(shù)是 (A)A.72° B.36° C.74° D.88°3.如圖,在△ABC中,D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上.若添加一個(gè)條件使四邊形ADFC為平行四邊形,則這個(gè)條件可以是 (B)A.∠B=∠F B.∠B=∠BCFC.AC=CF D.AD=CF第3題圖第4題圖4.(2021·四川瀘州)如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E,∠D=58°,則∠AEC的大小是 (C)A.61° B.109° C.119° D.122°5.如圖,O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),EF過(guò)點(diǎn)O分別交AD,BC于點(diǎn)E,F,下列結(jié)論成立的是 (A)A.OE=OF B.AE=BFC.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF6.如圖,在?ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,BE與DF交于點(diǎn)H,則∠BHF=61°.

第6題圖第7題圖7.如圖,在?ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,則BD=413.

【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC=AB8.(2021·湖南懷化)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,點(diǎn)E,A,C,F在同一條直線上,AE=CF.求證:(1)△ADE≌△CBF;(2)ED∥BF.證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD=CB,AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA.∵∠DAC+∠EAD=180°,∠BCA+∠FCB=180°,∴∠EAD=∠FCB.在△ADE和△CBF中,AE∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)由(1)知,△ADE≌△CBF,∴∠E=∠F,∴ED∥BF.9.如圖,在?ABCD中,將△ADC沿AC折疊后,點(diǎn)D恰好落在DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處.若∠B=60°,AB=3,則△ADE的周長(zhǎng)為 (C)A.12 B.15 C.18 D.2110.如圖,在?ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上的一點(diǎn)E,且BE=4,CE=3,則AB的長(zhǎng)是 (A)A.52 B.3 C.4 D.【解析】∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC+∠ECB=90°,∴∠BEC=90°,∴BC=BE11.如圖,正六邊形A1A2A3A4A5A6內(nèi)部有一個(gè)正五邊形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B2,B3,則直線l與A1A2的夾角α=48°.

【解析】設(shè)直線l與A1A2交于點(diǎn)N,與A3A4交于點(diǎn)M.∵多邊形A1A2A3A4A5A6是正六邊形,多邊形B1B2B3B4B5是正五邊形,∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=180°×(6-2)6=120°,∠B2B3B4=180°×(5-2)5=108°.∵A3A4∥B3B4,∴∠B3MA4=∠B2B3B4=108°,∴∠A3MB3=180°-∠B3MA4=72°,∠α=∠A2NB2=360°-∠A1A2A3-12.(2021·江西)如圖,將?ABCD沿對(duì)角線AC翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE交AD于點(diǎn)F.若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,則?ABCD的周長(zhǎng)為4a+2b.

【解析】∵∠B=80°,四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠D=80°.由折疊可知∠ACB=∠ACE,又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC為等腰三角形,∴AF=FC=a.設(shè)∠ECD=x,則∠ACE=2x,∴∠DAC=2x,在△ADC中,由三角形內(nèi)角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,解得x=20°,∴∠DFC=4x=80°,∴△DFC為等腰三角形,∴DC=FC=a,∴AD=AF+FD=a+b,故?ABCD的周長(zhǎng)為2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.13.(2021·山東聊城)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,且AO=CO,點(diǎn)E在BD上,滿足∠EAO=∠DCO.(1)求證:四邊形AECD是平行四邊形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四邊形AECD的面積.解:(1)在△AOE和△COD中,∠∴△AOE≌△COD(ASA),∴OE=OD.又∵AO=CO,∴四邊形AECD是平行四邊形.(2)∵AB=BC,AO=CO,∴OB⊥AC,∴平行四邊形AECD是菱形.∵AC=8,∴CO=12AC=4在Rt△COD中,由勾股定理得OD=CD∴DE=2OD=6,∴菱形AECD的面積=12AC·DE=14.(2021·馬鞍山二模)如圖,△ABC與△ADE均為等腰三角形,且△ABC≌△ADE,連接CE,BD交于點(diǎn)F.(1)求證:BD=CE;(2)當(dāng)四邊形ABFE是平行四邊形,且AB=2,∠BAC=30°時(shí),求CF的長(zhǎng).解:(1)∵△ABC≌△ADE,△ABC與△ADE均為等腰三角形,∴AB=AC=AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,AD∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H.∵四邊形ABFE是平行四邊形,∴EF=AB=2,EF∥AB,∴∠ACH=∠BAC=30°.由(1)知AE=AC=AB=2,∴∠AEH=∠ACH=30°.在Rt△ACH中,AH=12AC∴CH=AC∵AC=AE,AH⊥CE,∴CE=2CH=23,∴CF=CE-EF=23-2.15.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD邊的中點(diǎn),連接AE,已知AE的延長(zhǎng)線和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證:BC=CF.(2)連接DF,AC,BE,AC和BE相交于點(diǎn)G,作CM∥BE交DF于點(diǎn)M.求證:△ABG≌△DCM.證明:(1)解法1:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADC=∠FCE.∵E為CD邊的中點(diǎn),∴ED=EC.∵∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF,∴BC=CF.解法2:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD.∵E為CD邊的中點(diǎn),∴CE=12CD∴CE為△ABF的中位線,∴BC=CF.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠BAD+∠ADC=180°,∠ABC=∠DCF