北京豐臺區第二中學七年級下學期期末壓軸難題數學試題及答案一、選擇題1．如圖，與是同旁內角的是（）A． B． C． D．2．下列各組圖形，可經平移變換，由一個圖形得到另一個圖形的是（）A． B． C． D．3．已知點P的坐標為P（3，﹣5），則點P在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4．下列句子中，屬于命題的是（）①三角形的內角和等于180度；②對頂角相等；③過一點作已知直線的垂線；④兩點確定一條直線．A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②③5．如果，直線，，則等于（）A． B． C． D．6．如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.3 D．0.13337．如圖，，，若，則的度數是（）A．40° B．60° C．140° D．160°8．如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不斷地移動，每次移動1個單位長度，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（1，﹣1），…那么點A23的坐標是（）A．（7，﹣1） B．（8，1） C．（7，1） D．（8，﹣1）二、填空題9．如果一個正方形的面積為3，則這個正方形的邊長是_____________．10．點關于軸的對稱點的坐標為______．11．如圖，在中，.三角形的外角和的角平分線交于點E，則_____度.12．如圖，把一塊三角板的直角頂點放在一直尺的一邊上，若∠1＝50°，則∠2的度數為_____．13．把一張對邊互相平行的紙條折成如圖所示，是折痕，若，則______．14．a※b是新規定的這樣一種運算法則：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，則x的值是_____．15．若點P（a+3，2a+4）在y軸上，則點P到x軸的距離為________．16．在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點出發，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點，第二次移動到點，……，第次移動到點，則點的坐標是______．三、解答題17．計算：（1）（2）18．已知a+b＝5，ab＝2，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．19．如圖，∠1=∠2，∠3=∠C，∠4=∠5．請說明BF//DE的理由．（請在括號中填上推理依據）解：∵∠1＝∠2（已知）∴CF//BD（）∴∠3+∠CAB＝180°（）∵∠3＝∠C（已知）∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性質）∴AB//CD（）∴∠4＝∠EGA（兩直線平行，同位角相等）∵∠4＝∠5（已知）∴∠5＝∠EGA（等量代換）∴ED//FB（）20．如圖，三角形的頂點都在格點上，將三角形向右平移5個單位長度，再向上平移3個單位長度請回答下列問題：（1）平移后的三個頂點坐標分別為：______，______，______；（2）畫出平移后三角形；（3）求三角形的面積．21．若的整數部分為a，小數部分為b．（1）求a，b的值．（2）求的值．二十二、解答題22．有一塊面積為100cm2的正方形紙片．（1）該正方形紙片的邊長為cm（直接寫出結果）；（2）小麗想沿著該紙片邊的方向裁剪出一塊面積為90cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為4：3．小麗能用這塊紙片裁剪出符合要求的紙片嗎？二十三、解答題23．（1）如圖①，若∠B+∠D=∠E，則直線AB與CD有什么位置關系？請證明（不需要注明理由）．（2）如圖②中，AB//CD，又能得出什么結論？請直接寫出結論．（3）如圖③，已知AB//CD，則∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度數為．24．如圖1，E點在上，．．（1）求證：（2）如圖2，平分，與的平分線交于H點，若比大，求的度數．（3）保持（2）中所求的的度數不變，如圖3，平分平分，作，則的度數是否改變？若不變，請直接寫出答案；若改變，請說明理由．25．如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第____________秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．（直接寫出結果）26．在中，，，點在直線上運動（不與點、重合），點在射線上運動，且，設．（1）如圖①，當點在邊上，且時，則__________，__________；（2）如圖②，當點運動到點的左側時，其他條件不變，請猜想和的數量關系，并說明理由；（3）當點運動到點的右側時，其他條件不變，和還滿足（2）中的數量關系嗎？請在圖③中畫出圖形，并給予證明．（畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）【參考答案】一、選擇題1．C解析：C【分析】根據同旁內角的概念：兩條直線被第三條直線所截，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線的同旁，據此可排除選項．【詳解】解：與是同旁內角的是；故選C．【點睛】本題主要考查同旁內角的概念，熟練掌握同旁內角的概念是解題的關鍵．2．B【分析】根據平移的性質，結合圖形對選項進行一一分析，選出正確答案．【詳解】解：A、圖形的大小發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到；B、圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質，屬于解析：B【分析】根據平移的性質，結合圖形對選項進行一一分析，選出正確答案．【詳解】解：A、圖形的大小發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到；B、圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質，屬于平移得到；C、圖形由軸對稱得到，不屬于平移得到；D、圖形的方向發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到；故選：B．【點睛】本題考查平移的基本性質，平移不改變圖形的形狀、大小和方向．注意結合圖形解題的思想．3．D【分析】直接利用第四象限內的點橫坐標大于0，縱坐標小于0解答即可．【詳解】解：∵點P的坐標為P（3，﹣5），∴點P在第四象限．故選D．【點睛】本題主要考查了點的坐標，各象限坐標特點如下：第一象限（+，+），第二象限（-，+）第三象限（-，-）第一象限（+，-）．4．B【分析】根據命題的定義即表示對一件事情進行判斷的語句叫命題，分別對每一項是否是命題進行判斷即可．【詳解】解：①三角形的內角和等于180°，是三角形內角和定理，是命題；②對頂角相等，是對頂角的性質，是命題；③過一點作已知直線的垂線，是作圖，不是命題；④兩點確定一條直線，是直線的性質，是命題，綜上所述，屬于命題是①②④．故選：B．【點睛】此題考查了命題的定義，解題的關鍵是能根據命題的定義對每一項進行判斷．5．B【分析】先求∠DFE的度數，再利用平角的定義計算求解即可．【詳解】∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=65°，∴∠EFC=180°-∠DFE=115°，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質，平角的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．6．C【分析】根據立方根的變化特點和給出的數據進行解答即可．【詳解】解：∵≈1.333，∴，故選：C．【點睛】本題考查了立方根，如果一個數擴大1000倍，它的立方根就擴大10倍，如果一個數縮小1000倍，它的立方根縮小10倍．7．A【分析】根據平行線的性質求出∠C，再根據平行線的性質求出∠B即可．【詳解】解：∵BC∥DE，∠CDE=140°，∴∠C=180°-140°=40°，∵AB∥CD，∴∠B=40°，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，注意：平行線的性質有①兩直線平行，內錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．8．D【分析】由題意找到動點每移動六次一個循環的規律，根據此規律即可解答．【詳解】解：由題意得，動點每移動六次為一個循環，則移動23次為：，則A23的橫坐標為：，縱坐標為：，故A23的坐解析：D【分析】由題意找到動點每移動六次一個循環的規律，根據此規律即可解答．【詳解】解：由題意得，動點每移動六次為一個循環，則移動23次為：，則A23的橫坐標為：，縱坐標為：，故A23的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點的坐標－規律探究，根基題意得出動點每移動六次為一個循環是解題的關鍵．二、填空題9．【分析】設這個正方形的邊長為x（x＞0），由題意得x2＝3，根據算術平方根的定義解決此題．【詳解】解：設這個正方形的邊長為x（x＞0）．由題意得：x2＝3．∴x＝．故答案為：．【點睛解析：【分析】設這個正方形的邊長為x（x＞0），由題意得x2＝3，根據算術平方根的定義解決此題．【詳解】解：設這個正方形的邊長為x（x＞0）．由題意得：x2＝3．∴x＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查正方形的面積以及算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解決本題的關鍵．10．【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數.【詳解】∵關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數∴點關于y軸的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】考核知識點：軸對稱與點解析：【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數.【詳解】∵關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數∴點關于y軸的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】考核知識點：軸對稱與點的坐標.理解軸對稱和點的坐標關系是關鍵.11．【分析】如圖，先根據三角形的內角和定理求出∠1+∠2的度數，再求出∠DAC+∠ACF的度數，然后根據角平分線的定義可求出∠3+∠4的度數，進而可得答案.【詳解】解：如圖，∵∠B=40°，∴∠解析：【分析】如圖，先根據三角形的內角和定理求出∠1+∠2的度數，再求出∠DAC+∠ACF的度數，然后根據角平分線的定義可求出∠3+∠4的度數，進而可得答案.【詳解】解：如圖，∵∠B=40°，∴∠1+∠2=180°－∠B=140°，∴∠DAC+∠ACF=360°－∠1－∠2=220°，∵AE和CE分別是和的角平分線，∴，∴，∴.故答案為：70.【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和角平分線的定義，屬于基礎題型，熟練掌握三角形的內角和定理和整體的數學思想是解題的關鍵.12．40°【分析】利用平行線的性質求出∠3即可解決問題．【詳解】解：∵直尺的兩邊互相平行，∴∠1＝∠3＝50°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，故答案為：40°．解析：40°【分析】利用平行線的性質求出∠3即可解決問題．【詳解】解：∵直尺的兩邊互相平行，∴∠1＝∠3＝50°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．13．【分析】需理清楚折疊后，得到的新的角與原來的角相等，再結合平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等即可求解．【詳解】，，是折痕，折疊后，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行解析：【分析】需理清楚折疊后，得到的新的角與原來的角相等，再結合平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等即可求解．【詳解】，，是折痕，折疊后，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，折疊問題，體現了數學的轉化思想，模型思想．14．4【解析】根據題意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，進而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案為：4．點睛：此題是一個閱讀理解型的新運算法則題，解題關鍵是明確新運算法則的特點，然后直接根解析：4【解析】根據題意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，進而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案為：4．點睛：此題是一個閱讀理解型的新運算法則題，解題關鍵是明確新運算法則的特點，然后直接根據新定義的代數式計算即可.15．2【分析】點在y軸上，則橫坐標為0，可求得a的值，然后再判斷點到x軸的距離即可．【詳解】∵點P(a+3，2a+4)在y軸上∴a+3=0，解得：a=－3∴P(0，－2)∴點P到x軸的距離解析：2【分析】點在y軸上，則橫坐標為0，可求得a的值，然后再判斷點到x軸的距離即可．【詳解】∵點P(a+3，2a+4)在y軸上∴a+3=0，解得：a=－3∴P(0，－2)∴點P到x軸的距離為：2故答案為：2【點睛】本題考查坐標點與坐標軸的關系，注意，點到坐標軸的距離一定是非負的．16．（1010，－1）【分析】根據圖象可得移動8次圖象完成一個循環，從而可得出點的坐標．【詳解】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-解析：（1010，－1）【分析】根據圖象可得移動8次圖象完成一個循環，從而可得出點的坐標．【詳解】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-1），A7（3，0），A8（4，0），A9（4，1），…，可以的到，圖像時經過8次移動經歷一個循環，其中縱坐標每個循環對應點不發生變化，橫坐標每一次循環增加4∵2021÷8＝252…5，∴的坐標為（252×4＋2，-1），∴點的坐標是是（1010，-1）．故答案為：（1010，-1）．【點睛】本題考查了點的坐標的變化變化，解答本題的關鍵是仔細觀察圖象，得到點的變化規律，難度一般．三、解答題17．（1）;（2）－5.【分析】（1）直接利用算術平方根以及立方根的定義化簡得出答案；（2）直接利用算術平方根以及立方根的定義化簡得出答案．【詳解】（1）=1+-2=（2）=3-4+解析：（1）;（2）－5.【分析】（1）直接利用算術平方根以及立方根的定義化簡得出答案；（2）直接利用算術平方根以及立方根的定義化簡得出答案．【詳解】（1）=1+-2=（2）=3-4+1-5=-5【點睛】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．18．（1）21；（2）17【分析】（1）根據完全平方公式變形，得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；（1）根據完全平方公式變形，得到（a﹣b）2＝a2+b2-2ab，即可求解．【詳解】解析：（1）21；（2）17【分析】（1）根據完全平方公式變形，得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；（1）根據完全平方公式變形，得到（a﹣b）2＝a2+b2-2ab，即可求解．【詳解】解：（1）∵a+b＝5，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21；（2））∵a+b＝5，ab＝2，∴（a﹣b）2＝a2+b2-2ab=21-2×2=17．【點睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握及其變形公式是解題的關鍵．19．內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行【分析】運用平行線的性質定理和判定定理可得結論．【詳解】解：（已知）（內錯角相等，兩直線平解析：內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行【分析】運用平行線的性質定理和判定定理可得結論．【詳解】解：（已知）（內錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同旁內角互補），（已知），（等式的性質），（同旁內角互補，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（等量代換），（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定定理和性質定理，熟悉相關性質是解答此題的關鍵．20．（1），，；（2）見解析；（3）【分析】（1）先畫出平移后的圖形，結合直角坐標系可得出三點坐標；（2）根據平移的特點，分別找到各點的對應點，順次連接即可得出答案；（3）將△ABC補全為長方形解析：（1），，；（2）見解析；（3）【分析】（1）先畫出平移后的圖形，結合直角坐標系可得出三點坐標；（2）根據平移的特點，分別找到各點的對應點，順次連接即可得出答案；（3）將△ABC補全為長方形，然后利用作差法求解即可．【詳解】解：（1）平移后的三個頂點坐標分別為：，，；（2）畫出平移后三角形；（3）．【點睛】本題考查了平移作圖的知識，解答本題的關鍵是根據平移的特點準確作出圖形，第三問求解不規則圖形面積的時候可以先補全，再減去．21．（1），；（2）.【分析】（1）利用無理數的估值方法找到的取值范圍，即可得到a、b的值；（2）將a、b代入求值.【詳解】（1）∵，∴，．（2）【點睛】本題考查無理數的整數部分解析：（1），；（2）.【分析】（1）利用無理數的估值方法找到的取值范圍，即可得到a、b的值；（2）將a、b代入求值.【詳解】（1）∵，∴，．（2）【點睛】本題考查無理數的整數部分與小數部分問題，掌握無理數的估值方法是關鍵.二十二、解答題22．（1）10；（2）小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【分析】（1）根據算術平方根的定義直接得出；（2）直接利用算術平方根的定義長方形紙片的長與寬，進而得出答案．【詳解】解：（1）根據算解析：（1）10；（2）小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【分析】（1）根據算術平方根的定義直接得出；（2）直接利用算術平方根的定義長方形紙片的長與寬，進而得出答案．【詳解】解：（1）根據算術平方根定義可得，該正方形紙片的邊長為10cm；故答案為：10；（2）∵長方形紙片的長寬之比為4：3，∴設長方形紙片的長為4xcm，則寬為3xcm，則4x?3x＝90，∴12x2＝90，∴x2＝，解得：x＝或x＝-（負值不符合題意，舍去），∴長方形紙片的長為2cm，∵5＜＜6，∴10＜2，∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【點睛】本題考查了算術平方根．解題的關鍵是掌握算術平方根的定義：一個正數的正的平方根叫這個數的算術平方根；0的算術平方根為0．也考查了估算無理數的大小．二十三、解答題23．（1）AB//CD，證明見解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；（3）(n-1)?180°【分析】（1）過點E作EF//AB，利用平行線的性質則可得出解析：（1）AB//CD，證明見解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；（3）(n-1)?180°【分析】（1）過點E作EF//AB，利用平行線的性質則可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行線的判定即可得出AB∥CD；（2）如圖，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，根據探究（1）的證明過程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，則可由此得出規律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；（3）如圖，過點M作EF∥AB，過點N作GH∥AB，則可由平行線的性質得出∠1+∠2+∠MNG=180°×2，依此即可得出此題結論．【詳解】解：（1）過點E作EF//AB，∴∠B=∠BEF．∵∠BEF+∠FED=∠BED，∴∠B+∠FED=∠BED．∵∠B+∠D=∠E（已知），∴∠FED=∠D．∴CD//EF（內錯角相等，兩直線平行）．∴AB//CD．（2）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．故答案為：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．（3）如圖，過點M作EF∥AB，過點N作GH∥AB，∴∠APM+∠PME=180°，∵EF∥AB，GH∥AB，∴EF∥GH，∴∠EMN+∠MNG=180°，∴∠1+∠2+∠MNG=180°×2，依次類推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)?180°．故答案為：(n-1)?180°．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，屬于基礎題，關鍵是過E點作AB（或CD）的平行線，把復雜的圖形化歸為基本圖形．24．（1）見解析；（2）100°；（3）不變，40°【分析】（1）如圖1，延長交于點，根據，，可得，所以，可得，又，進而可得結論；（2）如圖2，作，，根據，可得，根據平行線的性質得角之間的關系，再解析：（1）見解析；（2）100°；（3）不變，40°【分析】（1）如圖1，延長交于點，根據，，可得，所以，可得，又，進而可得結論；（2）如圖2，作，，根據，可得，根據平行線的性質得角之間的關系，再根據比大，列出等式即可求的度數；（3）如圖3，過點作，設直線和直線相交于點，根據平行線的性質和角平分線定義可求的度數．【詳解】解：（1）證明：如圖1，延長交于點，，，，，，，，；（2）如圖2，作，，，，，，平分，，，，，，，平分，，，，，設，，比大，，解得的度數為；（3）的度數不變，理由如下：如圖3，過點作，設直線和直線相交于點，平分，平分，，，，，，，，，由（2）可知：，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．25．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據兩直線平行，同旁內角解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可求出∠CEN的度數.（3）畫出圖形，求出在MN⊥CD時的旋轉角，再除以30°即得結果.【詳解】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，∴∠BON＝∠N，∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°，∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°－45°=135°；（3）如圖，MN⊥CD時，旋轉角為360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．【點睛】本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內角和、平行線的判定和性質、垂直的定義和旋轉的性質，前兩小題難度不大，難點是第（3）小題，解題的關鍵是畫出適合題意的幾何圖形，弄清求旋轉角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉角∠DOM放在四邊形DOMF中，用四邊形內角和求解，第二種情況是用周角減去∠DOM的度數.26．（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，證明見解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，證明見解析【分析】（1）如圖①，將∠BAC=100°，