2022年安徽省中小學教育教學論文評選“冒牌函數”之銳角三角函數摘要：初中階段利用銳角三角函數解直角三角形，是中考常考察的一類題目，難2021年本縣的中考閱卷，批改的正是第17題利用銳角三角函數的概念等相關知識點，生解決此類問題的能力。關鍵詞：銳角三角函數、直角三角形、面積一、銳角三角函數的地位人教版九年級下冊第二十八章學習的是銳角三角函數，雖然此章節學習的也是函數，但是并沒有像學習一次函數、二次函數、反比例函數那樣學習函數定義，研究其圖正切的定義，主要目的是用來解決直角三角形中邊與角之間的問題。再有就是體現初高中的銜接。到了高中才算真正開始學習三角函數，要研究其圖像性質，考察的側重點就但是在從教過程中發現學生處理此類題目的正確率比較低，所以筆者很是疑惑，開始研究學生們錯誤的原因何在。二、閱卷分析從2020年到2022是我第一次擔任分那么高，當時就覺得好好練練，這題的拿滿分。到2021年的時候，我就稍微有一些參加了本縣中考閱卷，評閱的正是此類題目。下面分享一下2021年安徽中考數學試卷第17題。12022年安徽省中小學教育教學論文評選形AEFD為矩形，點B，C分別在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°.AB＝10cm，BC=6cm求零件的截面面積.(參考數據:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60).ABC D1.考察內容最近幾年考察解直角三角形實際應用，一般最后的問題是讓求線段的長度。今年的問題的方向有所改變，是讓求不規則圖形的面積。其實這也是平時訓練中常遇到的熟悉問題，尤其在圓中，經常遇到求不規則圖形的面積。我們解決問題常用的方法就是“割進而解決問題。本題主要考察的內容為三角函數的實際應用，解決問題的過程中可能會運用到勾股定理、三角形相似、三角形面積公式、梯形面積公式等相關知識解決問題。解答時需要熟練各個部分的內容，并將平時所學知識貫穿起來解決問題。通過閱卷發現學生解決問題的方法還是非常多的。2.典型解法ABC D其實題目原本圖形就已經是個完美的圖形了。因為四邊形AEFD零件的截面面積即是求圖中陰影圖形的面積，以下都簡稱為S陰。（1）方法一：（參考答案）解：由題意知，AD∥EF，故∠ABE=∠BAD=53°，22022年安徽省中小學教育教學論文評選又∠ABC=90°，所以∠BCF=∠ABE=53°.在Rt?ABE中，AE=AB?sin∠ABE=10?sin53°=8，BE=AB?cos∠ABE=10cos53°=6，在Rt?BCF中，BF=BC?sin∠BCF=6?sin53°=4.8，CF=BC?cos∠BCF=6cos53°=3.6,又EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以四邊形1 1ABCD的面積S=AE×EF－AE×BE－BF×FC2 21=8×10.8－1×8×6－×4.8×3.62 2=53.76故四邊形ABCD的面積為53.76cm2以下幾點：①像AE,BE,BF,FC等這幾個關鍵的量求錯②代入面積公式時，代入錯誤③法之下，有部分學生非常的聰明，他看出Rt?ABE∽Rt?BCF,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可由 Rt?ABE的面積求出 Rt?BCF的面積，也不失為一種好方法。（2）方法二:ABC DH32022年安徽省中小學教育教學論文評選解：如圖所示，延長BC，AD相交于點H∵∠ABC=90°，∠BAD=53°

AB 1050= =，cos53°

0.6340BH=AH?sin∠BAH=

3?sin53°=3，,3 3又∵∠H=∠H,∠ABH=∠CDH=90°∴Rt?ABH∽Rt?CDH3:3∴Rt?ABH與Rt?CDH相似比是：AH：CH=503:3S?ABH:S?AEB=625:121504 5041

4013442∴S陰=625S?ABH=625××10×2

3=25=53.76選擇此方法的一些同學多數是在Rt?CDHCH的長求出CD和DH的長，然后再求出Rt?CDH的面積。利用S陰=S?ABH?S?CDH，求出答案。選擇此方法（3）方法三E ABR F C D其實是與方法二是一樣的，有些學生就只畫了圖形,說明我們的學生是非常聰明的，42022年安徽省中小學教育教學論文評選決好問題。（4）方法四：如圖所示，過點B作BR⊥AD交AD于點R。這種分割法有很多學生采用，就是把這個陰影圖形分割成直角三角形ABR和一個直角梯形BCDR。然后把他們各自的面積求出來，相加就能解決問題。所以有些同學就必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個量才能解決問題。也有些同學求出AE,BE,BF,CF四個量，也能解決問題，主要時在求直角梯形面積時采用的不是它的面積公式，而是用了矩形BFDR的面積減去直角三角形BFC求三角形的面積忘了除以2.②計算錯誤（5）方法五：E AB P RF C D如圖，過點B作BR⊥AD交AD于點R，過點C作CP⊥BR交BR于點P。學生52022年安徽省中小學教育教學論文評選們把陰影圖形分割成直角三角形ABR和直角三角形BPC和一個矩形PCDR.把他們的面積相加即可求出結果。這個過程也必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個量才能解決問題。這里出錯的主要有：把矩形PCDR當成一個正方形來計算。這算是一個思維定勢的原因吧，看著像是正方形，就當成正方形來計算。（6）方法六：AQ GBC D如圖，過點C作CQ⊥FD交AB于點Q，過點Q作QG⊥AD于點G.學生們把陰影圖形分割成直角三角形CBQ和直角三角形AQG和一個矩形QCDG.下面看一下解題過程：解：∵四邊形AEFD為矩形∴∠D=90°又∵CQ⊥FD，QG⊥AD，∴四邊形QCDG是矩形∴CQ∥AD∴∠BQC=∠QAG=53°∵∠ABC=90°，BC=6

BC 615===sin53

0.829，BQ=CQ?cos∠CBQ= cos53°=，2 262022年安徽省中小學教育教學論文評選=∴AQ=AB－BQ=10－911=222∴在Rt?AQG中，QG=AQ?sin∠QAG=11?sin53°=4.4，211cos G cos G cos 3，2S陰=

S矩形QCDG+S?AQG+S?BQC1 1=CG×CQ＋×CB×BQ＋×QG×AG2 21 9 1=15×4.4+

×6×＋×4.4×3.32 2 2 2=53.76以選擇此方法的同學得滿分的很少。（7）方法七：ABC D如圖連接AC,把陰影部分圖形分成直角三角形ABC和直角三角形ADC。多數同學采用這種方法，但是得滿分得并不多，失分主要原因AD和CD得值求得不對。17就趕緊做了試題，但當時就感覺第17題很簡單啊。我當時就用的第一種方法，特別驚訝他們怎么就花了半個小時!批改完17題后，我瞬間明白了學生們的苦衷，確實有些方72022年安徽省中小學教育教學論文評選果錯了。三、今后的教學建議1.干凈。2.足夠的耐心去計算，導致一步錯步步錯。3.導學生同一問題，用不同方法解決。在