基于world-es方法的捷聯慣組測試數據統計特性研究

常規聯合組已廣泛應用于航空航天和航空航天領域。由于捷聯慣組的壽命有限、測試程序復雜、得到的測試信息有限,給統計推斷帶來一定的困難,經典的統計分析方法無法滿足分析的要求。Bayes方法能充分利用現有信息,解決在小樣本條件下驗前分布的確定問題,為后續的建模補償工作提供基礎,以獲得對問題的最終認識。設θ為總體分布參數,Bayes方法認為θ為隨機變量。驗前信息以驗前分布的形式表示,記驗前密度函數為π(θ),觀測信息X提供現場信息,用似然函數f(X|θ)來表示,此時根據Bayes定理得到θ的驗后分布為π(θ|X)=f(X|θ)π(θ)∫Θf(X|θ)π(θ)dθ,(1)其中:Θ為參數空間。研究表明,捷聯慣組歷次測試數據樣本的總體參數也可以被認為是隨機變量,如果想要充分了解捷聯慣組歷次測試數據的統計特性,就首先要了解其參數的統計特性。1確認前后分布和后續分布的確定1.1密度函數的驗前估計如果可以提供關于θ的歷史數據,那么θ的分布可以確定。但是,知道θ的過去數據這種情況很少,更多的情況是只知道X過去的數據x1,…,xn,只能通過X的歷史數據來估計θ的驗前分布。但必須先知道θ的驗前分布的形式,當θ的驗前分布的形式為已知時,利用X的歷史數據x1,…,xn來估計出m(X)的各階矩,然后再去估計θ的驗前分布中的參數。由于捷聯慣組的性能相對比較穩定,歷次測試結果一般都符合正態分布,所以合理假設θ的驗前分布為正態分布N(μ,τ2),其中μ,τ未知。定理設X～N(θ,σ2)分布,其中σ2已知。令μf(θ),σ2f(θ)為X的條件均值和條件方差(即對應于密度函數f(X|θ)的均值和方差)。記μm,σ2m為X的邊緣密度m(X)的均值和方差。假定這些量都存在,則有μm=Eπ[μf(θ)],(2)σ2m=Eπ[σ2f(θ)]+Eπ[(μf(θ)-μm)2].(3)推論1)如果μf(θ)=θ,則μπ=μm,(4)式中:μπ=Eπ(θ)為θ的驗前均值。2)如果μf(θ)=θ,σ2f(θ)=σ2(即它為不依賴于θ的常數),則σ2π=σ2m-σ2.(5)式中:σ2π為驗前方差。而μm,σ2m的估計分別為故有這樣,θ的驗前分布為Ν(ˉX,S2-σ2).1.2樣本x與參數的聯合密度函數設x1,…,xn是來自正態分布N(θ,σ2)的一個樣本觀察值,其中σ2已知。此樣本的似然函數為由于已知θ的先驗分布為正態分布N(μ,τ2),π(θ)=(1/√2πτ)exp{-(θ-μ)2/2τ2}?-∞＜θ＜+∞?(9)式中:μ與τ2為已知,由此可以寫出樣本x與參數θ的聯合密度函數式中:k1=(2π)-(n+1)/2τ-1σ-n;ˉx=n∑i=1xi/n.若再記σ20=σ2/n,A=1/σ20+1/τ2,B=ˉx/σ20+μ/τ2?C=(1/σ2)n∑i=1x2i+μ2/τ2?則有h(x|θ)=k1exp{(-1/2)[Aθ2-2θB+C]}=k2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)},(11)其中k2=k1exp{(-1/2)(C-B2/A)}.由此容易計算出樣本x的邊緣分布m(x)=∫+∞-∞h(x,θ)dθ=k2(2π/A)1/2.(12)則θ的后驗分布為π(θ|x)=(2π/A)1/2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}.(13)這也是一正態分布,其均值和方差分別為這說明了正態均值(方差已知)的共軛先驗分布是正態分布。2的估計和的貝葉斯估計未知參數θ的后驗分布π(θ|x)是集3種信息(總體,樣本和先驗)于一身,它包含了θ的所有可供利用的信息,所以有關θ的估計和假設檢驗等統計推斷都按一定方式從后驗分布中提取信息。θ的貝葉斯估計為式中:ˉx=n∑i=1xin;σ2為樣本總體方差;μ為先驗均值;τ2為先驗方差;是先驗均值與樣本均值的加權平均。3錯誤的檢測3.1貝葉斯因子的確定設x1,…,xn是來自正態分布N(θ,σ2)的一個樣本觀察值,其中σ2已知。又設諸xi相互獨立同分布(這一假設是合理的,同一套捷聯慣組的歷次測試數據是經過每次獨立測試得到的,可以看成是相互獨立同分布),則樣本均值Xˉ～Ν(θ?σ2/n),要求檢驗假設:H0∶θ=θ0,H1∶θ≠θ0.對簡單假設H0∶θ=θ0作貝葉斯檢驗時不能采用連續密度函數作為先驗分布,因為任何這種先驗將給θ=θ0的先驗概率為零,從而后驗概率也為零,所以一個有效的方法是假定θ0的驗前概率為π0,而對θ≠θ0,給一個加權的密度π1g1(θ),g1(θ)～N(μ,ν2).則有考慮到g1(θ)是連續密度函數,點θ=θ0在積分中沒有影響,由此可算得Xˉ對g1(θ)的邊緣密度函數為其中:n(xˉ-θ)2σ2+(θ-μ)2ν2=1σ2ν2[ν2n(xˉ-θ)2+σ2(θ-μ)2]=1σ2ν2nν2+σ2θ-nν2xˉ+μσ2nν2+σ22+(xˉ-μ)2ν2+σ2/n.利用正態分布的正則性,可得這表明Xˉ對g1(θ)的邊緣分布為正態分布N(μ,ν2+σ2/n).則貝葉斯因子為3.2+2e土壤中n2+2e2,2e對H1∶θ≠θ0上的先驗密度g1(θ)的一般看法是:參數θ接近于θ0比遠離θ0更為可能,所以一般取μ=θ0,則有Bπ(xˉ)=nν2+σ2σexp-(xˉ-θ0)22σ2(ν2n+σ2n2),(22)ν2一般可以取2σ2,則進一步有Bπ(xˉ)=2n+1exp-(xˉθ0)22σ4(2n+1n2).(23)4實際檢測結果由于每一套慣組的測試次數極為有限,所以就單套慣組來講很難有足夠的先驗信息來確定出驗前分布參數。但是研究發現,一般同一廠家在同一時期會成批成組地生產多套慣組,由于其生產原料,生產工藝,生產程序,生產環境相同,它們的性能也比較接近。可以選擇同一批多套慣組的同一誤差系數的歷次測試數據,組成一大樣本,以此作為驗前信息來確定相關參數。從理論上講可行合理。某型捷聯慣組同一批10套慣組的某一誤差系數D2x(D2x為受視加速度影響的系數,單位為(°)/(h·g))的歷次測試結果所得到的驗前信息樣本集合如表1中樣本1所示。取檢驗水平α=0.05,柯氏檢驗法驗正了它們服從正態分布。根據參考文獻,該系數的準確性分析標準為:2.7σ≤0.7,即要求兩次測試結果極差的2.7倍小于等于0.7,因此可取σ2=0.0672.由式(6)、式(7)可求得θ的驗前分布參數為μ=-1.7927,τ2=0.0376故,θ的驗前分布為N(-1.7927,0.0376).已知某捷聯慣組該誤差系數的一組觀測樣本如表1中樣本2所示。同樣,取σ2=0.0672,由式(14)、式(15)可求得θ的驗后分布參數為μ1=-1.8682,τ12=0.0086,故θ的驗后分布為N(-1.8682,0.0086).由同一套慣組得到的用于假設檢驗的樣本如表1中樣本3所示。則樣本均值為-1.9178.取θ0=■=-1.8626,σ2=0.0672.由(23)式最終可求得貝葉斯因子為4.3646.所以接受原假設:H0∶θ=θ0.同時也證明將θ的