湖南省長沙市博才實驗中學高三數學文聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線的焦點坐標為（

）

A．（–1，0），（1，0）

B．（–3，0），（3，0）

C．（0，–1），（0，1）

D．（0，–3），（0，3）參考答案：D2.復數，則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略3.程大位是明代著名數學家，他的《新編直指算法統宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風行宇內，成為明清之際研習數學者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區，對推動漢字文化圈的數學發展起了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個.問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執行該程序框圖，求得該垛果子的總數為（

）A．120

B．84

C．56

D．28參考答案：B4.集合，，（

） A.

B.

C.

D.參考答案：C5.閱讀右面的程序框圖，若輸出的，則輸入的的值可能為（

）A．

B．C．

D．參考答案：試題分析：若輸入，符合條件，得到不合題意；若輸入，符合條件，得到不合題意；若輸入，符合條件，得到符合題意.故選.考點：算法與程序框圖.6.設為等比數列的前項和,，，則

（

）

A.

B.

C. D.參考答案：B略7.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度

D.向右平移個單位長度參考答案：C.試題分析：因為函數，所以將函數的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數的圖像.故應選C.考點：函數的圖像變換.8.若復數z是純虛數，且（，i是虛數單位），則a=（

）A．－2

B．－1

C．1

D．2參考答案：C由題意，又由是純虛數，所以，解得，故選C．

9.已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是

（

）

A．2

B．3

C．

D．參考答案：A略10.已知等比數列中，，且有，則

A.1

B.2

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若（1+）5=a+b（a，b為有理數），則b=．參考答案：44【考點】二項式定理的應用．【分析】由題意（1+）5=a+b（a，b為有理數），利用二項式定理求得b的值．【解答】解：由題意（1+）5=a+b（a，b為有理數），由二項式定理可得，a=C50+C52×3+C54×9=76，b=C51+C53×3+C55×9=44，故答案為：44．【點評】本題考查二項式定理的應用，熟練掌握二項式定理，理解方程若（1+）5=a+b（a，b為有理數）的意義是解題的關鍵，理解a，b的意義是本題的難點，也是求解本題的切入點，解題時能把這樣的切入點找出來，解題就成功了一半，屬于中檔題．12.如圖，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.設M是底面ABC內的一點，定義f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分別是三棱錐M—PAB、三棱錐M—PBC、三棱錐M—PCA的體積．若，且恒成立，則正實數a的最小值為________．參考答案：113.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為m3．參考答案：4考點： 由三視圖求面積、體積．專題： 立體幾何．分析： 由題意可知，一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，根據所給的長度，求出幾何體的體積．解答： 解：由三視圖可知，這是一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，體積是1×1×2下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，體積是1×1×2∴幾何體的體積是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案為：4點評： 本題考查由三視圖還原直觀圖，根據圖形中所給的數據，求出要求的體積，本題是一個考查簡單幾何體體積的簡單題目．14.已知命題，使成立，則______________.參考答案：，成立略15.在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規則的圖形M，用隨機模擬方法來估計不規則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機產生了10000個點，落在不規則圖形M內的點數恰有2000個，則在這次模擬中，不規則圖形M的面積的估計值為

．參考答案：【考點】模擬方法估計概率．【專題】概率與統計．【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不規則圖形M的面積的估計值．【解答】解：由題意，∵在正方形ABCD中隨機產生了10000個點，落在不規則圖形M內的點數恰有2000個，∴概率P==，∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4，∴不規則圖形M的面積的估計值為=．故答案為：【點評】本題考查古典概型概率公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．16.已知直線l：y=x﹣1與曲線相切于點A，則A點坐標為．參考答案：（1，0）【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】設切點A（m，n），代入切線的方程和曲線方程，求得函數的導數，求得切線的斜率，化為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導數大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，進而得到切點的坐標．【解答】解：設切點A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的導數為y′=，可得=1，即為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導數為+2m＞0，則f（m）遞增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解為m=1．可得n=0．即為A（1，0）．故答案為：（1，0）．17.若等差數列{an}的前7項和S7=21，且a2=﹣1，則a6=

．參考答案：7【考點】等差數列的前n項和．【分析】由等差數列{an}的性質可得：a1+a7=a2+a6．再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差數列{an}的性質可得：a1+a7=a2+a6．∴S7=21==，且a2=﹣1，則a6=7．故答案為：7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于正實數，記為滿足下述條件的函數構成的集合：且，有．下列結論中正確的是(

)A．若，，則B．若，，且，則C．若，，則

D．若，，且，則參考答案：C19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是菱形，，底面分別是的中點，點在上，且，。（1）求證：；（2）求三棱錐的體積。參考答案：20.已知函數f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；（Ⅱ）已知函數f（x）在x=1處取得極值，且對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實數b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；函數恒成立問題；函數在某點取得極值的條件．【分析】（Ⅰ）由f（x）=ax﹣1﹣lnx可求得f′（x）=，對a分a≤0與a＞0討論f′（x）的符號，從而確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調性與極值，可得答案；（Ⅱ）函數f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，構造函數g（x）=1+﹣，g（x）min即為所求的b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，當a≤0時，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減，∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；當a＞0時，f'（x）≤0得0＜x≤，f'（x）≥0得，∴f（x）在（0，]上遞減，在[，+∞）上遞增，即f（x）在處有極小值．∴當a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．（Ⅱ）∵函數f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，∴f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，令g（x）=1+﹣，則g′（x）=﹣﹣=﹣（2﹣lnx），由g′（x）≥0得，x≥e2，由g′（x）≤0得，0＜x≤e2，∴g（x）在（0，e2]上遞減，在[e2，+∞）上遞增，∴，即b≤1﹣．21.（本題滿分13分）甲、乙兩名同學參加“漢字聽寫大賽”選拔測試，在相同測試條件下，兩人5次測試的成績（單位：分）如下表：（Ⅰ）請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖.你認為選派誰參賽更好？說明理由（不用計算）；（Ⅱ）若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一個成績進行分析，設抽到的兩個成績中，90分以上的個數為，求隨機變量的分布列和期望．參考答案：22.已知直線l的參數方程為（t為參數），曲線C的參數方程為（θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（2，）．（Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求△PAB的面積．參考答案：【考點】QH：參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直線l的參數方程消去參數t，得到直線l的普通方程為y=，由此能求出直線l的極坐標方程；曲線C的參數方程消去參數θ，得曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標方程．（Ⅱ）由，得到ρ2﹣7ρ+9=0，由韋達定理、弦長公式求出|AB|，△PAB的面積S△PAB=|S△POB﹣S△POA|，由此能求出結果．【解答】解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為（t為參數），消去參數t，得到直線l的普通方程為y=，∴，∴，∴直線l的極坐標方程為（ρ∈R），∵曲線C的參數方程為（θ為參數），∴曲線C的普通方程為：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，則（ρcosθ﹣1）2+（）2=