2023-2024學年高二數學同步精品課堂3.1.2排列與排列數第三章

排列、組合和二項式定理高二選擇性必修第二冊（2019人教B版）第1課時

排列與排列數01學習目標01學習目標1.理解并掌握排列及排列數的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列.（重點）2.理解排列數公式的推導，并能利用公式進行計算和證明.（難點）核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學運算02新知導入【情境一】

試回答下列三個計數問題（1）小張要在三所大學中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，校長共有多少種不同的選擇方式？（2）班里要在3名同學里選2名，分別在某話劇中扮演A和B兩個角色，共有多少種不同的選擇方式？（3）學校要在3名能力相當的教師中選出2人，分別取上海和浙江交流教學經驗，共有多少種不同的指派方案？02新知導入它們的答案是否一致？【情境一】

試回答下列三個計數問題（1）小張要在三所大學中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，校長共有多少種不同的選擇方式？（2）班里要在3名同學里選2名，分別在某話劇中扮演A和B兩個角色，共有多少種不同的選擇方式？（3）學校要在3名能力相當的教師中選出2人，分別取上海和浙江交流教學經驗，共有多少種不同的指派方案？02新知導入如果用A,B,C分別表示上述問題（1）中的三所大學，用（A,B）表示第一志愿是A，第二志愿是B，你能列出小張所有的選擇方式嗎？上述問題（2）和（3）是否也能用類似方法表示？【分析】

這三個問題雖然背景不同，但所求的本質都是“從3個對象中選取2個并排成先后順序，有多少種不同的排法”，因此它們的答案是一致的。根據分布乘法計數原理，方法種數都是3×2=6。02新知導入03新知探索排列的定義

一般地，從n個不同對象中，任取m（m≤n）個對象，按照一定的順序排成一列，成為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列。特別地，m=n時的排列（即取出所有對象的排列）稱為全排列。注意點：互異性，有序性一、排列注意(1)定義的兩個要素：一是“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素”，要求取出的元素不能重復；二是“按照一定的順序排列”．(2)定義中“一定順序”就是說與位置有關，選取的元素相同但順序不同是不同的排列，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件決定．(3)對于兩個排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時，才是相同排列．（4）在定義中規定m≤n，如果m<n，這樣的排列只是取一部分元素進行排列，稱選排列；如果m＝n，這樣的排列是取出所有元素進行排列，稱全排列．一、排列【例1】

判斷下列問題是否是排列問題：(1)從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩數相乘可得多少個不同的積？乘法交換律與順序無關，不是排列問題．(2)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？各取一盤菜，跟順序有關，是排列問題．一、排列【例1】

判斷下列問題是否是排列問題：(3)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種菜，共有多少種不同的選法？各選一種菜，每人都有5種選法，不是排列問題．(4)一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講一場，有多少種輪流次序？講座分先后，是排列問題．一、排列總結

判斷一個問題是否是排列問題考慮“取”和“排”（1）“取”檢驗取出的m個元素是否重復；（2）“排”檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是交換兩個位置看其結果是否發生變化，有變化就是有順序，沒有變化就是是沒有順序。

【練習1】

判斷下列問題是否是排列問題，并說明理由。（1）從1,2,3,4四個數字中，任選兩個做加法，其結果有多少種不同的可能？不是（2）從1,2,3,4四個數字中，任選兩個做除法，其結果有多少種不同的可能？是（3）會場有30個座位，要求選出3個座位有多少種選法？若選出的3個座位安排三位客人入座，又有多少種選法？第一問不是

第二問是一、排列【練習2】

在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，能被5整除的個數為________．【解析】能被5整除的四位數的末位是0或5，因此分兩類，第一類，末位為0時，其他三位從剩下的數中任意排3個即可，有5×4×3＝60(個)，第二類，末位為5時，首位不能排0，則首位只能從1，2，3，4選1個，第二位和第三位從剩下的任選2個即可，有4×4×3＝48(個)，根據分類計數原理得可以組成60＋48＝108個不同的能被5整除的四位數．一、排列二

排列數排列數的定義從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有排列的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數，用符號Anm表示．二

排列數

二

排列數注意（1）乘積是m個連續正整數的乘積；（2）第一個數最大，是A的下標n；（3）第m個數最小，是n-m+1.二

排列數【例2】（1）四個人A,B,C,D坐成一排照相，有多少種坐法？【解析】四個人都有順序，所以是A44=4×3×2×1=24（種）二

排列數【例2】（1）四個人A,B,C,D坐成一排照相，若A不能在第一個位置，有多少種坐法？【解析】四個人全排列：A44=4×3×2×1=24（種）假設A在第一個位置，那么就是剩下三個位置全排列：A33=3×2×1=6（種）因此，符合題意的有24-6=18（種）二

排列數【例2】（3）四個人A,B,C,D中任選三人坐在一排照相，有多少種坐法？【解析】四個選出三個進行排列，就是A43=4×3×2=24（種）二

排列數【練習】（1）某校從5名同學中選擇3人分別參加數學、物理、化學競賽，則不同選法種數是()A．10 B．30C．60

D．125【解析】根據題意，某校從5名同學中選擇3人分別參加數學、物理、化學競賽，選出的3人有順序的區別，則有A53＝60種選法．故選C.二

排列數【練習】（2）將4名醫生與4名護士分配到4個不同單位，每個單位分配1名醫生和1名護士，共有________種不同的分配方案．【解析】完成這件事可以分為兩步．第一步，把4名醫生分配到四個不同的單位，等價于從4個不同元素中取出4個元素的排列問題，有A44種方法．第二步，把4名護士分配到四個不同的單位，也有A44種方法．根據分步乘法計數原理，不同的分配方案有A44×A44＝576(種)．【例3】(1)5A53＋4A42＝________．【解析】5A53＋4A42＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.三

排列數公式計算【例3】(2)89×90×91×…×100可表示為()A．A10010 B．A10011C．A10012

D．A10013【解析】A10012＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89，故選C.三

排列數公式計算【例3】(3)求證：An＋1m－Anm＝mAnm－1.

三

排列數公式計算【排列數公式的選擇】（1）排列數公式的乘積形式適用于計算排列數；（2）排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用是要注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化運算。總結【練習】(1)已知

，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【解析】三

排列數公式計算【練習】(2)【解析】三

排列數公式計算【練習】（3）【解析】三

排列數公式計算04課堂練習04課堂練習【練習1】判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互打電話．【解析】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是04課堂練習【練習3】【解析】04課堂練習【練習2】【解析】04課堂練習【練習4】計算【解析】05課堂總結05課堂總結排列的定義

一般地，從n個不