云南省曲靖市宣威九中2023-2024學年數學高二上期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的前項和滿足，記數列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.2．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.43．如圖，，是平面上兩點，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，A，B，C，D，E是圖中兩組同心圓的部分公共點.若點A在以，為焦點的橢圓M上，則（）A.點B和C都在橢圓M上 B.點C和D都在橢圓M上C.點D和E都在橢圓M上 D.點E和B都在橢圓M上4．已知數列{}滿足，則（）A. B.C. D.5．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.6．直線與圓相切，則實數等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或37．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.49．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.10．數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.11．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.12．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點的直線交該橢圓于兩點，若的內切圓面積為，兩點的坐標分別為，，則的面積________，的值為________.14．已知拋物線C：的焦點為F，過M（4，0）的直線交C于A、B兩點，設，的面積分別為、，則的最小值為______15．過點作圓的切線，則切線方程為______.16．若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數是歲以上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現對個病例的潛伏期(單位：天)進行調查，統計發現潛伏期平均數為，方差為.如果認為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統計樣本，得到下面的列聯表：年齡/人數長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）假設潛伏期服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）現在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.18．（12分）已知數列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和19．（12分）已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍20．（12分）有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產生危害．現從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數據統計如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數據的眾數，并估計這批魚該項數據的80%分位數；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有8個完全相同的小孔聯通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率21．（12分）如圖，點О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，（1）點B到平面APQ的距離：（2）設E為棱PC上的點，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實數的值22．（10分）已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若函數在其定義域上是增函數，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【詳解】數列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.2、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設出直線方程并與拋物線方程聯立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準線方程為，所以根據拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關性質，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關性質，考查了計算能力，是中檔題3、C【解析】根據橢圓的定義判斷即可求解.【詳解】因為，所以橢圓M中，因為，,,,所以D，E在橢圓M上.故選：C4、B【解析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【詳解】因為，.故選：B5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D6、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因為直線與圓相切，所以，得，解得或，故選：C7、A【解析】取的中點為，的中點為，然后可得或其補角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設，則，，在，，故選：A8、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B9、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A10、D【解析】由題設條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D11、D【解析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.12、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.6②.3【解析】由題意得，由內切圓面積為可得其半徑，根據焦點三角形面積公式可得第一空答案，結合面積公式和等面積法建立等式化簡即可.【詳解】解：由得由內切圓面積為可得其半徑，設其內切圓圓心為則又所以.故答案為：6；3【點睛】橢圓中常用面積公式：（1）(表示邊上的高)；（2）；（3）(為三角形內切圓半徑)；（4）.14、【解析】設直線的方程為，，與拋物線的方程聯立整理得，由三角形的面積公式求得，再根據基本不等式可得答案.【詳解】解：由拋物線C：得焦點，又直線交C于A、B兩點，所以直線的斜率不為0，則設直線的方程為，，聯立，整理得，則，又，，所以，又，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.15、【解析】求出切點與圓心連線的斜率后可得切線方程.【詳解】因為點在圓上，故切線必垂直于切點與圓心連線，而切點與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：即.故答案為：.16、【解析】根據拋物線的定義可得動點的軌跡方程【詳解】點到點的距離比它到直線的距離少1，所以點到點的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，所以方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據列聯表中的數據，利用求得，與臨界表值對比下結論；（2）(ⅰ)根據，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進而得到，然后判斷其單調性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是，則，，當時，；當時，；∴，.故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率18、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達式，再按照與的關系計算,；(2)裂項相消求和即可.【小問1詳解】由題可知數列是等差數列，所以，，又因為，所以；【小問2詳解】所以；故答案為：，.19、（1）的減區間為，增區間為（2）【解析】（1）利用導數求得的單調區間.（2）利用分離參數法，結合構造函數法以及導數求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，所以在區間遞減；在區間遞增.所以的減區間為，增區間為.【小問2詳解】，恒成立.構造函數，，，構造函數，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.20、（1）眾數為0.82，8％分位數約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據題中表格數據即可求得答案；（2）①兩條魚有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據互斥事件的概率結合相互獨立事件的概率計算求得答案；②先求出這兩條魚由同一個小孔進入B水池的概率，然后根據對立事件的概率計算方法，求得答案.【小問1詳解】由題意知，數據的眾數為0.82，估計這批魚該項數據的80％分位數約為【小問2詳解】①記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為②記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，…依次類推，而兩魚的游動獨立，∴，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，則C與對立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即21、（1）（2）或【解析】（1）以三棱錐等體積法求點到面距離，思路簡單快捷.（2）由直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，可以列關于的方程，解之即可.【小問1詳解】點О是正四棱錐底面中心，點О是BD的中點，四邊形PQDO矩形，，兩點到平面APQ的距離相等.正四棱錐中，平面，平面，，