浙江省寧波市慈溪市三山高級中學等六校2024屆高二數學第一學期期末統考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.642．已知向量，，且，則實數等于（）A.1 B.2C. D.3．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.4．已知函數的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是（）A. B.C. D.5．現從名男醫生和名女醫生中抽取兩人加入“援鄂醫療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫生都是女醫生”，則（）A. B.C. D.6．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.7．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為坐標原點，為橢圓上一點．與軸交于一點，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.8．設函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種10．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.11．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.12．已知F是拋物線的焦點，直線l是拋物線的準線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______14．設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積為______.15．若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是____________.16．已知，，若x，a，b，y成等比數列，x，c，d，y成等差數列，則的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上任意一點到焦點F最短距離為2，（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F的直線，互相垂直，且與C分別交于A，B，M，N四點，求四邊形AMBN面積的最小值18．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段含端點上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.19．（12分）中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且|F1F2|＝，橢圓的長半軸長與雙曲線半實軸長之差為4，離心率之比為3∶7（1）求這兩曲線方程；（2）若P為這兩曲線的一個交點，求△F1PF2的面積20．（12分）（1）解不等式；（2）若關于x的不等式解集為R，求實數k的取值范圍.21．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數，且，是否存在兩條曲線，其交點P與點滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由22．（10分）已知數列為等差數列，是公比為2的等比數列，且滿足（1）求數列和的通項公式；（2）令求數列的前n項和；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.2、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數等于.故選：C3、B【解析】先確定拋物線的焦點坐標，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結果.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為,由點到直線的距離公式可得.故選：B4、A【解析】根據原函數圖象判斷出函數單調性，由此判斷導函數的圖象.【詳解】原函數在上從左向右有增、減、增，個單調區間；在上遞減.所以導函數在上從左向右應為：正、負、正；在上應為負.所以A選項符合.故選：A5、A【解析】先求出抽到的兩名醫生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫生都是女醫生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎題6、B【解析】設，進而根據題意，結合中點弦的問題得，進而再求解準線方程即可.【詳解】解：根據題意，設，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標為3，所以，即，所以拋物線，準線方程為.故選：B7、C【解析】由橢圓的性質可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C8、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當時，，.故選：B.9、C【解析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排思想求解.10、A【解析】根據空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.11、D【解析】若直線傾斜角為，由題設有，結合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D12、B【解析】根據拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【詳解】設與橢圓相切，且平行于的直線為，聯立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.14、##2.25##【解析】求出直線的方程，與拋物線方程聯立后得到兩根之和，結合焦點弦弦長公式求出，用點到直線距離公式求高，進而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設，則，由拋物線的定義可得弦長，原點到直線的距離，所以面積.故答案為：15、【解析】求解定義域，由導函數小于0得到遞減區間，進而得到不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】顯然，且，由，以及考慮定義域x>0，解得:.在區間，上單調遞減，∴，解得:.故答案為：16、4【解析】根據等差數列和等比數列性質把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當且僅當時等號成立故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）128【解析】（1）設拋物線上任一點為，由可得答案.（2）由題意可知，的斜率k存在且不為0,設出其方程并與拋物線方程聯立，得出韋達定理，從而得出弦長的表達式，同理得出弦長的表達式，進而得出四邊形AMBN面積的不等式，從而求出其最小值.【小問1詳解】設拋物線上任一點為，則，所以當時，，又∵，∴，即所以拋物線C的方程為【小問2詳解】設交拋物線C于點，,交拋物線C于點，由題意可知，的斜率k存在且不為0設的方程為由，得，同理可得，，當且僅當時，即時，等號成立∴四邊形AMBN面積的最小值為12818、（1）證明見解析（2）點與點重合時，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識和余弦定理得到及各邊長度，利用線面平行的性質和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，設，寫出相關點的坐標，得到相關向量的坐標，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過二次函數的最值進行求解.【小問1詳解】證明：在梯形中，因為，，又因為，所以,，所以，即，解得，，所以，即.因為平面，平面，所以，而平面平面，所以平面.因為，所以平面.【小問2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖所示），設，則，所以，設為平面的一個法向量，由得，取，則，又是平面的一個法向量，設平面與平面所成銳二面角為，所以因為，所以當時，有最小值為，所以點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.19、（1）橢圓方程為雙曲線方程為；（2）12【解析】（1）根據半焦距，設橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標準方程；（2）由橢圓、雙曲線的定義求出與的長，在三角形中，利用余弦定理求出cos∠的值，進一步求得sin∠的值，代入面積公式得答案試題解析：（1）設橢圓方程為，雙曲線方程為（a，b，m，n>0，且a>b），則解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴橢圓方程為雙曲線方程為（2）不妨設F1，F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12考點：橢圓雙曲線方程及性質20、（1）；（2）.【解析】（1）直接求解不含參數的一元二次不等式即可；（2）分與兩種情況進行討論即可求出結果.【詳解】（1）不等式可化為，解集為（2）若的解集為R，當時，的解集為，不合題意；當時，則解得綜上，實數k的取值范圍是21、（1）時，方程表示橢圓，時，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當且僅當分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當且僅當分母異號時，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實軸，進而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點，從而可求【詳解】（1）當且僅當時，方程表示橢圓；當且僅當時，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實軸為，當時，雙曲線實軸最長為此時雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結合圖象的幾何性質任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點設，，，2，