8/8階段質量檢測（三）萬有引力與宇宙航行(本試卷滿分：100分)一、單項選擇題(本題共15小題，每小題4分，共60分。每小題只有一個選項符合題目要求)1．關于天體運動，下列說法正確的是()A．在太陽系中，各行星都圍繞太陽運動B．在太陽系中，各行星都圍繞地球運動C．地心說的參考系是太陽D．日心說的參考系是地球解析：選A地心說認為太陽及其他天體圍繞地球運動，日心說認為太陽是宇宙的中心，而不是地球；在太陽系中，各行星都圍繞太陽運動。故選A。2．對于開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，下列說法正確的是()A．k與a3成正比B．k與T2成反比C．k與行星和被環繞中心天體有關D．該定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛星繞行星的運動解析：選D對于開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，k只與中心天體有關，與行星無關，不同的中心天體，k值不同，故A、B、C錯誤；開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛星繞行星的運動，只不過k值不同，故D正確。3．若使兩質點間的萬有引力減小為原來的eq\f(1,4)，下列辦法可采用的是()A．使兩質點間距離增為原來的4倍，質量不變B．使兩質點的質量都減半，間距減為原來的eq\f(1,2)C．使其中一質點的質量減為原來的eq\f(1,4)，間距不變D．使兩質點的質量和間距都減為原來的eq\f(1,4)解析：選C根據萬有引力定律，可知質點間的萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，使兩質點間距離增為原來的4倍，質量不變，則萬有引力減小為原來的eq\f(1,16)，故A錯誤；使兩質點的質量都減半，間距減為原來的eq\f(1,2)，則萬有引力保持不變，故B錯誤；使其中一質點的質量減為原來的eq\f(1,4)，間距不變，則萬有引力減小為原來的eq\f(1,4)，故C正確；使兩質點的質量和間距都減為原來的eq\f(1,4)，則萬有引力保持不變，故D錯誤。4.如圖所示，假設空間站與比空間站離地更高的衛星B在同一軌道平面上做勻速圓周運動，且環繞方向一致，空間站距地面高度為h1，衛星B軌道半徑為h2，地球半徑為R。引力常量為G，則衛星B與空間站的周期之比T1∶T2為()A.eq\r(\f(h23,R＋h13)) B.eq\r(\f(R＋h23,R＋h13))C.eq\r(\f(R＋h13,R＋h23)) D.eq\r(\f(h23,h13))解析：選A根據開普勒第三定律可知eq\f(R＋h13,T22)＝eq\f(h23,T12)，解得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(h23,R＋h13))，故A正確，B、C、D錯誤。5．2023年3月30日，我國在太原衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，以“一箭四星”的方式，成功將宏圖一號01組衛星發射升空，本次任務的四顆衛星在軌組成國際首個車輪式衛星編隊。假設某衛星在預定軌道上繞地球做勻速圓周運動，其線速度大小為v，角速度大小為ω，引力常量為G，則地球的質量為()A.eq\f(v3,Gω)B.eq\f(v2,Gω)C.eq\f(v3,Gω2)D.eq\f(v2,Gω2)解析：選A根據Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，v＝ωr，解得M＝eq\f(v3,Gω)，故選A。6.極地衛星的運行軌道平面通過地球的南北兩極(軌道可視為圓軌道)。如圖所示，若某極地衛星從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運行至南緯60°正上方，所用時間為t，已知地球半徑為R(地球可看作球體)，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，由以上條件可知()A．衛星運行的角速度為eq\f(π,t)B．地球的質量為eq\f(gR,G)C．衛星距地面的高度eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)－RD．衛星運行的線速度為eq\f(πR,2t)解析：選C衛星運行的角速度為ω＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),t)＝eq\f(π,2t)，A錯誤；根據mg＝Geq\f(Mm,R2)，可知地球的質量為M＝eq\f(gR2,G)，B錯誤；根據萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝mω2(R＋h)，解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)－R，C正確；衛星運行的線速度為v＝ω(R＋h)＝eq\f(πR＋h,2t)，D錯誤。7.兩顆行星A、B均在同一平面內沿相同的環繞方向圍繞中心天體運動，經過觀測發現每隔最短時間t行星A與行星B相距最近一次。兩行星的運動均可看作勻速圓周運動，若行星A的運行周期為TA，則行星B的運行周期為()A.eq\f(tTA,t－TA)B.eq\f(tTA,TA－t)C.eq\f(tTA,TA＋t)D.eq\f(t－TA,tTA)解析：選A半徑越小，周期越小，故TB＞TA,從第一次相距最近到第二次相距最近，A比B多走一周，θA－θB＝2π＝eq\f(2π,TA)t－eq\f(2π,TB)t，解得TB＝eq\f(tTA,t－TA)，故選A。8.設想在赤道上建造“太空電梯”，航天員可通過豎直的電梯直通太空站，圖中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑，曲線A為地球引力對航天員產生的加速度大小與r的關系；直線B為航天員由于地球自轉而產生的向心加速度大小與r的關系。關于相對地面靜止在不同高度的航天員，下列說法正確的是()A．隨著r增大，航天員的線速度減小B．航天員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度C．圖中r0作為地球同步衛星的軌道半徑D．隨著r增大，航天員感受到“重力”也增大解析：選C航天員的線速度v＝rω，地球自轉角速度不變，隨著r增大，線速度v增大，A錯誤；航天員在地面上并非衛星，除了受到萬有引力還受到地面的支持力，故線速度遠小于第一宇宙速度，B錯誤；當r＝r0時，引力產生的加速度正好等于航天員做圓周運動的向心加速度，即萬有引力提供做圓周運動的向心力，所以航天員相當于衛星，此時航天員的角速度跟地球的自轉角速度一致，可以看作是地球的同步衛星，C正確；根據重力和萬有引力相等可得Geq\f(Mm,r2)＝mg′，隨著r增大，其重力mg′越來越小，D錯誤。9．“天問一號”成功被火星捕獲后進入環繞火星軌道，成為中國第一顆人造火星衛星。已知“天問一號”運行周期為2個火星日(火星日與地球日近似相等)，軌道可看作半徑為3.26×107m的圓軌道，地球同步衛星軌道半徑為4.23×107m，地球質量為6.0×1024kg。由上述信息可估算出火星質量約為()A．6.5×1021kg B．6.4×1023kgC．6.4×1025kg D．6.5×1027kg解析：選B“天問一號”繞火星做圓周運動過程，根據萬有引力提供向心力可得eq\f(GM火m,r12)＝mr1eq\f(4π2,T12)，M火＝eq\f(4π2r13,GT12)，同步衛星繞地球做圓周運動過程，同理可得M地＝eq\f(4π2r23,GT22)，由題意可知r1＝3.26×107m，r2＝4.23×107m，M地＝6.0×1024kg，T1＝2T2，聯立代入數據可解得M火≈6.9×1023kg，與B項最接近，故選B。10．從“嫦娥”探月到“天問”探火，再到“羲和”逐日，我國深空探測能力持續增強。隨著我國航天事業的不斷發展，設想未來某一天，我國的航天員降落在某星球上，該星球的質量約為地球的1.5倍，半徑約為地球的2倍，已知地球表面的重力加速度為g。忽略地球和星球自轉影響，航天員在該星球表面的重力加速度約為()A.eq\f(8,3)gB.eq\f(3,8)gC.eq\f(4,3)gD.eq\f(3,4)g解析：選B由題意可知，在地球上，萬有引力提供重力，有eq\f(GM地m,R地2)＝mg，在該星球表面有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(G×1.5M地m,2R地2)＝mg1，解得g1＝eq\f(3,8)g，故選B。11．關于萬有引力定律，下列說法中正確的是()A．牛頓最早測出G值，使萬有引力定律有了真正的實用價值B．牛頓通過“月—地檢驗”發現地面物體、月球所受地球引力都遵從同樣的規律C．由F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，距離r一定時，m1與m2的乘積越大，相互作用的兩個天體間的萬有引力越小D．引力常量G值大小與中心天體選擇有關解析：選B最早測出G值的是卡文迪什，故A錯誤；牛頓通過“月—地檢驗”發現地面物體、月球所受地球引力都遵從同樣的規律，故B正確；由公式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，G為常量，r一定時，m1與m2的乘積越大，F越大，故C錯誤；引力常量G是一個定值，它的大小與中心天體選擇無關，故D錯誤。12.衛星的“星下點”是指衛星的瞬時位置和地球中心的連線與地球表面的交點，可用地理經、緯度來表示，對于位于“星下點”處的地面觀察者來說，衛星就在天頂，如圖所示，將“星下點”的軌跡畫在地圖上便是星下點軌跡圖。已知某顆衛星的星下點軌跡圖是一個點。地球自轉的周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，衛星的運動可視為勻速圓周運動，則()A．該衛星的角速度ω＝eq\f(2π,T)B．該衛星的線速度v＝eq\f(2πR,T)C．該衛星的軌道半徑r＝eq\r(3,\f(gR2T2,2π2))D．該衛星可能位于北京的正上方解析：選A某顆衛星的星下點軌跡圖是一個點，說明該衛星相對地球靜止，是地球靜止衛星，位于赤道上空，D錯誤；地球自轉的周期為T，該衛星的角速度為ω＝eq\f(2π,T)，該衛星的線速度為v＝eq\f(2πR＋h,T)，其中h為衛星距離地面高度，A正確，B錯誤；由萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，在地球表面的重力加速度為g＝Geq\f(M,R2)，聯立解得該衛星的軌道半徑為r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))，C錯誤。13．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，在它們之間的萬有引力作用下，繞一個共同的圓心做周期相等的圓周運動。如圖所示，三顆質量均為m的星球構成三星系統Ⅰ，三顆質量均為km的星球構成三星系統Ⅱ，它們分別位于兩個等邊三角形的頂點上，若三星系統Ⅱ中等邊三角形的邊長是三星系統Ⅰ中等邊三角形邊長的q倍。下列說法正確的是()A．三星系統Ⅱ中一個星球受到的合力是三星系統Ⅰ中一個星球受到合力的eq\f(k2,q2)倍B．三星系統Ⅱ中一個星球的加速度是三星系統Ⅰ中一個星球加速度的eq\f(k,q)倍C．三星系統Ⅱ中一個星球的角速度是三星系統Ⅰ中一個星球角速度的eq\r(\f(k,q))倍D．三星系統Ⅱ中一個星球的線速度是三星系統Ⅰ中一個星球線速度的eq\f(k,q)倍解析：選A設三星系統Ⅰ的邊長為L，則三星系統Ⅱ的邊長為qL，根據萬有引力提供向心力可得eq\r(3)eq\f(Gm2,L2)＝ma＝meq\f(v2,\f(\r(3)L,3))＝mω2×eq\f(\r(3)L,3)，eq\r(3)eq\f(Gk2m2,q2L2)＝kma′＝kmeq\f(v′2,\f(\r(3)qL,3))＝kmω′2×eq\f(\r(3)qL,3)，所以系統Ⅱ中一個星球受到的合力與系統Ⅰ中一個星球受到的合力的倍數關系為eq\f(\r(3)\f(Gk2m2,q2L2),\r(3)\f(Gm2,L2))＝eq\f(k2,q2)，系統Ⅱ中一個星球的加速度與系統Ⅰ中一個星球的加速度的倍數關系為eq\f(a′,a)＝eq\f(\r(3)\f(Gkm,q2L2),\r(3)\f(Gm,L2))＝eq\f(k,q2)，系統Ⅱ中一個星球的角速度與系統Ⅰ中一個星球的角速度的倍數關系為eq\f(ω′,ω)＝eq\r(\f(\f(3Gkm,q3L3),\f(3Gm,L3)))＝eq\r(\f(k,q3))，系統Ⅱ中一個星球的線速度與系統Ⅰ中一個星球的線速度的倍數關系為eq\f(v′,v)＝eq\r(\f(\r(3)\f(Gkm,q2L2)×\f(\r(3)qL,3),\r(3)\f(Gm,L2)×\f(\r(3)L,3)))＝eq\r(\f(k,q))，故選A。14.地球和火星繞太陽的運動都可以看成勻速圓周運動，如圖所示，地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，若地球和火星繞太陽運行的線速度分別為v地和v火，周期分別為T地和T火，下列判斷正確的是()A．T地＞T火 B．T地＝T火C．v地＞v火 D．v地＝v火解析：選C根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因為r地＜r火，可知v地＞v火，T地＜T火，故選C。15．“亞洲一號”地球靜止軌道通信衛星的質量是1.25t，下列有關它的說法正確的是()A．若將它的質量增加為2.5t，其運動軌道半徑變為原來的2倍B．它的運行速度大于7.9km/sC．它可以通過北京的正上方，所以我國能利用其進行電視轉播D．它的周期是24h，其軌道平面與赤道平面重合且距地面高度一定解析：選D靜止衛星周期一定為24h，根據萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得T＝eq\r(\f(4π2R＋h3,GM))。因周期一定，則距地面高度一定，半徑一樣，所以各國發射的這種衛星軌道半徑都一樣，與質量無關，故A錯誤，D正確；第一宇宙速度是近地衛星的環繞速度，也是最大的圓周運動的環繞速度。而靜止衛星的軌道半徑要大于近地衛星的軌道半徑，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知靜止衛星運行的線速度一定小于第一宇宙速度，故B錯誤；它若在除赤道所在平面外的任意點，假設實現了相對地面靜止，那它的運動軌道所在平面與受到地球的引力就不在一個平面上，這是不可能的，所以靜止衛星不可能通過北京的正上空，故C錯誤。二、非選擇題(本題共3小題，共40分)16．(12分)“中國天眼”射電望遠鏡FAST為我國天文觀測做出了巨大貢獻。脈沖星實質是高速旋轉的中子星，中子星每自轉一周地球就會接收到一個射電脈沖。已知某中子星的半徑為R，質量為M。引力常量為G，求：(1)該中子星表面高h處重力加速度g；(2)“中國天眼”接收到該中子星的兩個脈沖之間的時間間隔T的取值范圍。解析：(1)設質量為m的物體在該中子星表面高h處受到的重力等于中子星對其萬有引力Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R＋h2)。(2)兩個脈沖之間的時間間隔即為中子星不瓦解的自轉周期T，Geq\f(Mm′,R2)≥m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，解得T≥2πeq\r(\f(R3,GM))。答案：(1)eq\f(GM,R＋h2)(2)T≥2πeq\r(\f(R3,GM))17．(14分)“玉兔號”月球車與月球表面的第一次接觸實現了中國人“奔月”的偉大夢想。不久的將來我國航天員登上月球，在月球表面做了一個平拋試驗，將一物體從高h處以初速度v0水平拋出，測得水平位移為x，已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G。求：(1)月球表面重力加速度；(2)月球的質量和月球的第一宇宙速度；(3)月球的平均密度。解析：(1)由平拋運動規律有h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t解得g＝eq\f(2hv02,x2)。(2)在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg＝Geq\f(Mm,R2)，聯立解得M＝eq\f(2hR2v02,Gx2)，月球的第一宇宙速度為近月衛星的運行速度，根據重力提供向心力mg＝meq\f(v12,R)，解得v1＝eq\r(gR)＝eq\f(v0,x)eq\r(2hR)。(3)月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv02,2πRGx2)。答案：(1)eq\f(2hv02,x2)(2)eq\f(2hR2v02,Gx2)eq\f(v0,x)eq\r(2hR)(3)eq\f(3hv02,2πRGx2)18.(14分)2023年5