青海省青海師范大學第二附屬中學2023年高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.2．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知正實數滿足，則的最小值為（）A. B.9C. D.4．已知函數的導數為，且，則（）A. B.C.1 D.5．與的等差中項是（）A. B.C. D.6．已知數列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1047．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.28．已知直線，，若，則實數的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-39．命題“”的否定是（）A. B.C. D.10．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.11．在等差數列中，，表示數列的前項和，則（）A.43 B.44C.45 D.4612．若直線與曲線有兩個公共點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過點作圓的切線，則切線方程為___________.14．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______15．經過點，的直線的傾斜角為___________.16．已知橢圓的焦點分別為，A為橢圓上一點，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，求的單調遞減區間；（2）若關于的方程恰有兩個不等實根，求實數的取值范圍18．（12分）等比數列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值19．（12分）已知數列的前n項和，滿足，.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，求數列的前n項和.20．（12分）已知數列滿足，，且成等比數列（1）求的值和的通項公式；（2）設，求數列的前項和21．（12分）在平面直角坐標系中，過點的直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于，兩點，求線段的中點的直角坐標及的值22．（10分）已知曲線上任意一點滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側的交點分別是，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.2、C【解析】根據題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C3、A【解析】根據，將式子化為，進而化簡，然后結合基本不等式求得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：A.4、B【解析】直接求導，令求出，再將帶入原函數即可求解.【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選：B5、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選：A6、D【解析】根據等比數列的定義，結合等比數列的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以有，因此數列是公比的等比數列，因為，所以，故選：D7、B【解析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數求出最大值，確定值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【點睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數的實際應用，考查了學生的應用意識.8、C【解析】由，結合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.9、C【解析】特稱命題的否定，先把存在量詞改為全稱量詞，再把結論進行否定即可.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C10、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.11、C【解析】根據等差數列的性質，求得，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數列中，滿足，根據等差數列的性質，可得，所以，則.故選：C.12、D【解析】由題可知，曲線表示一個半圓，結合半圓的圖像和一次函數圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當直線與半圓O相切時，直線與半圓O有一個公共點，此時，，所以，由圖可知，此時，所以，當直線如圖過點A、B時，直線與半圓O剛好有兩個公共點，此時，由圖可知，當直線介于與之間時，直線與曲線有兩個公共點，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】根據圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或故答案為：或14、【解析】取的中點，連接，，過點A作，垂足為，設，利用三角形的邊角關系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應用，解題的關鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結論可以找到外接球的球心，15、【解析】根據兩點間斜率公式得到斜率，再根據斜率確定傾斜角大小即可.【詳解】根據兩點間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：16、4【解析】直接利用橢圓的定義即可求解.【詳解】因為橢圓的焦點分別為，A為橢圓上一點，所以.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）求出導數，令，得出變化情況表，即可得出單調區間；（2）分離參數得，構造函數，利用導數討論單調性，根據與恰有兩個不同交點即可得出.【詳解】（1）當時，函數，則令，得，，當x變化時，的變化情況如下表:1+00+↗極大值↘極小值↗∴在上單調遞減（2）依題意，即．則令，則當時，，故單調遞增，且；當時，，故單調遞減，且∴函數在處取得最大值故要使與恰有兩個不同的交點，只需∴實數a的取值范圍是【點睛】關鍵點睛：本題考查根據方程根的個數求參數，解題的關鍵是參數分離，構造函數利用導數討論單調性，根據函數交點個數判斷.18、（1）或；（2）5.【解析】（1）設的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問1詳解】解：設的公比為q，由題設得由已知得，解得（舍去），或故或【小問2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因為，所以此方程沒有正整數解綜上，19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先將變為，然后等式兩邊同除即可得答案；（2）求出，再用錯位相減求和【小問1詳解】證明：∵∴由已知易得，∴∴數列是首項，公差為的等差數列；【小問2詳解】由（1）可知，∴∴①②①－②有∴20、（1）；；（2）【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比數列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）故an+2＝an+2，所以n奇數時，an＝n，n為偶數時，an＝n﹣1所以數列{an}的通項公式為（2）由于，所以所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以21、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程.（2）【解析】（1）直接利用轉換關系，在參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）利用中點坐標公式和一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果【小問1詳解】解：過點的直線的參數方程為為參數），轉換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標方程為，即，即，根據，轉換為直角坐標方程為，即曲線的直角坐標方程【小問2詳解】解：把代入，整理得，所以，設，，；故，代入，解得，故中點坐標為；把直線的參數方程為為參數）代入，設和對應的參數為和，得到，整理得