第第頁江蘇省南京市南京民辦實驗學校2023-2024學年八年級上學期10月月考數學試卷（含解析）江蘇省南京市南京民辦實驗學校2023~2024學年八年級上學期10月月考數學試卷

一．選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）

1．下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的為

A．B．C．D．

2．如圖，，添加下列一個條件后，仍不能判定的是

A．B．C．D．

3．等腰三角形兩邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為

A．6B．8C．10D．8或10

4．一個鈍角三角形的兩邊長為3、4，則第三邊可以為

A．4B．5C．6D．7

5．如圖，在四邊形中，，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、來表示它們的面積，那么下列結論正確的是

A．B．C．D．

6．如圖，在四邊形與四邊形中，，，．下列條件中：①，；②，；③，；④，．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形四邊形．上述條件中符合要求的有

A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④

二．填空題（共10小題，每小題2分，共20分）

7．角是軸對稱圖形，它的對稱軸是．

8．如圖，在和中，，，只需補充條件，就可以根據“”得到．

9．如圖，在中，，，的垂直平分線交于，交于，連接．則的周長為．

10．一個等腰三角形的頂角為，則它的一個底角為．

11．如圖，是等邊三角形，若，，，則．

12．如圖，將繞點逆時針旋轉到的位置，、、在一條直線上．若，則．

13．如圖，四邊形沿直線對折后重合．若，則結論：①；②；③；④中，正確的是（填上正確結論的序號）．

14．如圖，中，，平分，，，則的長是．

15．如圖，四邊形中，，，連接、．是的中點，連接、．若，則的面積為．

16．如圖，在四邊形中，，．若這個四邊形的面積為16，求的值是．

三．解答題（本大題共9小題，共68分）

17．（5分）如圖，，，點、在上，．求證：．

18．（6分）如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1．

（1）畫出關于直線對稱的圖形△；

（2）在直線上找一點，使；（要求在直線上標出點的位置）

（3）連接、，計算四邊形的面積．

19．（7分）在中，是的中點，，，垂足分別為、，且．

求證：是等腰三角形．

20．（8分）請利用直尺與圓規用兩種不同的方法作的平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）

21．（8分）如圖，在中，，垂足為，且．平分，且，垂足為，交于點．

（1）求證：；（2）求證：．

22．（8分）如圖，在中，，的平分線交于點，過作，垂足為，延長交于點．

（1）求證：為等腰三角形；

（2）已知，，求的長．

23．（8分）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點．已知、、都是格點．

（1）小明發現是直角，請補全他的思路；

（2）請用一種不同于小明的方法說明是直角．

24．（8分）如圖1，在中，，點，分別在和上，且，則．

探究發現：

如圖2，在中，仍然有條件“，點，分別在和上”．若，則與是否仍相等？若相等，請證明；若不相等，請舉反例說明．

25．（10分）“面積法”是指利用圖形面積間的等量關系尋求線段間等量關系的一種方法．

例如：在中，，點是所在直線上一個動點，過點作、，垂足分別為、，為腰上的高．

如圖①，當點在邊上時，我們可得如下推理：

（1）【變式】如圖②，在上例的條件下，當點運動到的延長線上時，試探究、、之間的關系，并說明理由．

（2）【遷移】如圖③，點是等邊內部一點，作、、，垂足分別為、、，若，，．求的邊長．

（3）【拓展】若點是等邊所在平面內一點，且點到三邊所在直線的距離分別為2、3、6．請直接寫出等邊的高的所有可能

江蘇省南京市南京民辦實驗學校2023~2024學年八年級上學期10月月考數學試卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共6小題）

1．下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的為

A．B．

C．D．

【考點】軸對稱圖形

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．

【解答】解：，，選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

故選：．

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．

2．如圖，，添加下列一個條件后，仍不能判定的是

A．B．C．D．

【考點】全等三角形的判定

【分析】根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．

【解答】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；

．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；

．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；

．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項符合題意；

故選：．

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理是，，，，兩直角三角形全等還有．

3．等腰三角形兩邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為

A．6B．8C．10D．8或10

【考點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質

【分析】分2是腰長與底邊兩種情況討論求解．

【解答】解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4，

，

不能組成三角形；

②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4，

能組成三角形，

周長，

綜上所述，三角形的周長為10．

故選：．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關系判斷是否能組成三角形．

4．一個鈍角三角形的兩邊長為3、4，則第三邊可以為

A．4B．5C．6D．7

【考點】：三角形三邊關系；：勾股定理

【分析】設第三邊為，根據三角形的三邊關系求出的取值范圍，再由三角形是鈍角可求得的最小值即可解題．

【解答】解：設第三邊為，

若這個三角形為直角三角形，則第三邊為，

鈍角大于直角，

，

三角形第三邊小于其余兩邊和，

，

故選：．

【點評】本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，考查了三角形三邊關系，本題中根據勾股定理求是解題的關鍵．

5．如圖，在四邊形中，，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、來表示它們的面積，那么下列結論正確的是

A．B．

C．D．

【考點】勾股定理

【分析】連接，根據勾股定理可得甲的面積乙的面積丙的面積丁的面積，依此即可求解．

【解答】解：連接，

由勾股定理得，，

甲的面積乙的面積丙的面積丁的面積，

故選：．

【點評】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個正方形的面積之間的關系．

6．如圖，在四邊形與四邊形中，，，．下列條件中：①，；②，；③，；④，．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形四邊形．上述條件中符合要求的有

A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④

【考點】全等圖形

【分析】連接、，通過證明△，△，即可得到結論．

【解答】解：符合要求的條件是①③④，

證明：連接、，

在與△中，

，

△，

，，

，

，

，

在和△中，

，

△，

，，，

，

四邊形和四邊形中，

，，，，

，，，，

四邊形四邊形．

同理根據③④的條件證得四邊形四邊形．

故選：．

【點評】此題主要考查了全等形，全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、．

二．填空題（共10小題）

7．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是線段的垂直平分線或線段本身所在的直線；角是軸對稱圖形，它的對稱軸是．

【考點】：軸對稱圖形

【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．

【解答】解：線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是：線段的垂直平分線或線段本身所在的直線；

角是軸對稱圖形，它的對稱軸是：角的平分線所在直線．

故答案為：線段的垂直平分線或線段本身所在的直線；角的平分線所在直線．

【點評】本題考查軸對稱圖形的概念，注意掌握軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．

8．如圖，在和中，，，只需補充條件，就可以根據“”得到．

【考點】直角三角形全等的判定

【分析】根據直角三角形全等的判定方法解決此題．

【解答】解：補充條件：．

在和中，

，

．

故答案為：．

【點評】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關鍵．

9．如圖，在中，，，的垂直平分線交于，交于，連接．則的周長為8．

【考點】線段垂直平分線的性質

【分析】由的垂直平分線分別交于，交于，可得，繼而可得的周長．

【解答】解：的垂直平分線分別交于，交于，

，

在中，，，

的周長為：．

故答案為：8．

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．

10．一個等腰三角形的頂角為，則它的一個底角為．

【考點】等腰三角形的性質

【分析】由已知頂角為，根據等腰三角形的兩底角相等的性質及三角形內角和定理，即可求出它的一個底角的值．

【解答】解：等腰三角形的頂角為，

它的一個底角為．

故填

【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理．通過三角形內角和，列出方程求解是正確解答本題的關鍵．

11．如圖，是等邊三角形，若，，，則130．

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質

【分析】由等邊三角形性質得出，，再由證得，得出，由三角形內角和定理求出，即可得出答案．

【解答】解：是等邊三角形，

，，

在與中，

，

，

，

，

，

故答案為：130．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形內角和定理等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．

12．如圖，將繞點逆時針旋轉到的位置，、、在一條直線上．若，則40．

【考點】旋轉的性質

【分析】由旋轉的性質可得，，進而得，再根據、、在一條直線上即可求解．

【解答】解：將繞點逆時針旋轉到的位置，

，，

，

，

故答案為：40．

【點評】本題考查了旋轉的性質，明確旋轉前后對應邊，對應角相等是解題的關鍵．

13．如圖，四邊形沿直線對折后重合．若，則結論：①；②；③；④中，正確的是①②③（填上正確結論的序號）．

【考點】全等三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）

【分析】由翻折的性質可知：，，，由平行線的性質可知，從而得到，故此，從而可知四邊形為菱形，最后依據菱形的性質判斷即可．

【解答】解：由翻折的性質可知：，，，

，

，

，

，

．

四邊形為菱形，

，，，．

故答案為：①②③．

【點評】本題主要考查的是翻折的性質、菱形的性質和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質，證得四邊形為菱形是解題的關鍵．

14．如圖，中，，平分，，，則的長是2.5．

【考點】勾股定理

【分析】過作于，根據勾股定理可得，根據角平分線性質可得，根據三角形面積公式求出，即可求出．

【解答】解：過作于，

在中，，，，

，

平分，

，

，即，

解得，

．

故答案為：2.5．

【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，角平分線性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

15．如圖，四邊形中，，，連接、．是的中點，連接、．若，則的面積為．

【考點】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據等邊對等角可得，，，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得，即可得是等腰直角三角形，即可求解．

【解答】解：，是的中點，

，

，，，

由三角形的外角性質得，，

，

，

四邊形中，，，

，

，

．

故答案為：．

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．

16．如圖，在四邊形中，，．若這個四邊形的面積為16，求的值是8．

【考點】：勾股定理

【分析】連接．設，，．根據勾股定理和四邊形的面積，得到關于，，的方程組，再進一步運用消元法，得到關于，的方程即可．

【解答】解：連接．

設，，．

根據勾股定理，得

，

①，

又，

②，

①②，得

，

所以．

即．

【點評】此題綜合運用了勾股定理和直角三角形的面積公式，能夠巧妙對方程組進行變形．

三．解答題（共9小題）

17．如圖，，，點、在上，．求證：．

【考點】全等三角形的判定與性質

【分析】由“”可證，可得結論．

【解答】證明：，

，

在和中，

，

，

．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．

18．如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1．

（1）畫出關于直線對稱的圖形△；

（2）在直線上找一點，使；（要求在直線上標出點的位置）

（3）連接、，計算四邊形的面積．

【考點】：線段垂直平分線的性質；：作圖軸對稱變換

【分析】（1）根據網格結構找出點、、關于直線的對稱點、、的位置，然后順次連接即可；

（2）根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，過中點作交直線于點，點即為所求；

（3）根據列式計算即可得解．

【解答】解：（1）△如圖所示；

（2）如圖所示，過中點作交直線于點，此時；

（3）．

【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

19．在中，是的中點，，，垂足分別為、，且．

求證：是等腰三角形．

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定

【分析】根據中點的定義可得到，再根據即可判定，從而可得到，根據等角對等邊可得到，即是等腰三角形．

【解答】證明：是的中點，

，

，，

，

，，

，

，

，

是等腰三角形．

【點評】此題主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定與性質的綜合運用．

20．請利用直尺與圓規用兩種不同的方法作的平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【考點】作圖—復雜作圖

【分析】①以點為圓心，任意長為半徑畫弧交，于點，，再分別以點，為圓心大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接即可；②在，上截取，，，，使，，連接，，過交點和點作射線即可．

【解答】解：如圖，的平分線即為所求．

【點評】本題考查了作圖復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本作圖方法．

21．如圖，在中，，垂足為，且．平分，且，垂足為，交于點．

（1）求證：；

（2）求證：．

【考點】直角三角形的性質；全等三角形的判定與性質

【分析】（1）證明即可．

（2）證明，可得，由（1）知：，即可解決問題．

【解答】證明：（1），

，

平分，

，

在和中，

，

，

；

（2），，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

．

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

22．如圖，在中，，的平分線交于點，過作，垂足為，延長交于點．

（1）求證：為等腰三角形；

（2）已知，，求的長．

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質

【分析】（1）由垂直的定義得到，由角平分線的定義得到，根據三角形的內角和得到，得到，于是得到結論；

（2）連接，根據等腰三角形的性質得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性質得到，等量代換得到，于是得到結論．

【解答】（1）證明：，

，

又平分，

，

又在和中

，

，

，

為等腰三角形；

（2）解：連接，

，平分，

垂直平分，

，

，

，

，

又，

，

又中，，

，

，

．

．

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，三角形的內角和，等腰三角形的性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

23．如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點．已知、、都是格點．

（1）小明發現是直角，請補全他的思路；

（2）請用一種不同于小明的方法說明是直角．

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理

【分析】（1）根據勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根據全等三角形的判定和性質解答即可．

【解答】解：（1），，，

，

是直角三角形，

；

（2）過點作于，過作于，

由圖可知：，，，

在和中，

，

，

，

在中，，

，

，

，，三點共線，

，

．

【點評】此題考查勾股定理的逆定理，關鍵是根據勾股定理和勾股定理的逆定理解答．

24．如圖1，在中，，點，分別在和上，且，則．

探究發現：

如圖2，在中，仍然有條件“，點，分別在和上”．若，則與是否仍相等？若相等，請證明