專題12新情景中的數學（選填題10種考法）考法一集合與邏輯用語【例1-1】（2022浙江溫州）在數學漫長的發展過程中，數學家發現在數學中存在著神秘的“黑洞”現象．數學黑洞：無論怎樣設值，在規定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經發現的數字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數字黑洞”等．定義：若一個n位正整數的所有數位上數字的n次方和等于這個數本身，則稱這個數是自戀數．已知所有一位正整數的自戀數組成集合A，集合，則的子集個數為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【例1-2】（2022云南曲靖）杜甫在《奉贈韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如有神.”對此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實到筆下，運用起來才有可能得心應手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例1-3】（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考階段練習）在整數集中，被5除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，給出如下四個結論：①；②；③；④整數、屬于同一“類”的充要條件是“”．其中正確的結論個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4考法二三角函數與解三角形【例2-1】（2022春·湖南懷化）明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創造性地應用于航海，形成了一套先進航海技術——“過洋牽星術”．簡單地說，就是通過觀測不同季節、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）．觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰，依高低不同替換、調整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022秋·全國·高三校聯考階段練習）秦九韶是我國南宋著名數學家，在他的著作《數書九章》中提出了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C的對邊，S是△ABC的面積，在△ABC中，若，，，則△ABC的內切圓的面積為（

）A． B． C． D．【例2-3】（2022秋·廣東肇慶·高三統考階段練習）《周髀算經》是我國最早的數學典籍，書中記載：我國早在商代時期，數學家商高就發現了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數學家趙爽創制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數形結合法給出了勾股定理的詳細證明.現將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F兩點間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（

）A．9 B．4 C．3 D．8【例2-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中學校聯考階段練習）我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發聲體在全段振動，產生頻率為的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如，，等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數為.則函數的周期為（

）A． B． C． D．【例2-5】（2022·全國·高三專題練習）如圖是集合中的點在平面上運動時留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為（

）A． B．C． D．考法三數列【例3-1】（2022秋·江蘇淮安·高三校考階段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【例3-2】（2022·四川宜賓·統考模擬預測）南宋數學家楊輝給出了著名的三角垛公式：，則數列的前項和為（

）A． B．C． D．【例3-3】（2022·浙江嘉興）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（）A．17 B．37 C．107 D．128【例3-4】（2022福建漳州）“蘇州碼子”發源于蘇州，作為一種民間的數字符號流行一時，被廣泛應用于各種商業場合.“蘇州碼子”0~9的寫法依次為○?丨?刂?川?ㄨ??〦?〧?〨?攵.某鐵路的里程碑所刻數代表距離始發車站的里程，如某處里程碑上刻著“〦○”代表距離始發車站的里程為60公里，已知每隔3公里擺放一個里程碑，若在點處里程碑上刻著“ㄨ”，在點處里程碑上刻著“攵〦”，則從點到點的所有里程碑上所刻數之和為（

）A．1029 B．1125 C．1224 D．1650考法四平面向量【例4-1】（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統民間藝術之一，它歷史?久，風格獨特，深受國內外人士所喜愛．如圖甲是一個正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）圓是中華民族傳統文化的形態象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且．，是圓上的任意兩點，，點在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-3】（2022·全國·高三校聯考階段練習）黃金分割〔〕是一種數學上的比例關系.黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值.應用時一般取，就像圓周率在應用時取一樣.高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數的足跡.人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農神廟就是一個很好的例子，達芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為其實有關“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數學家獨立創造的.如圖，在矩形中，，相交于點，，，，，，則（

）A． B．C． D．【例4-4】（2023·全國·高三專題練習）莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且＝.下列關系中正確的是（

）A．B．C．D．考法五空間幾何【例5-1】（2023吉林四平）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場的一張石凳就是一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長為，則該阿基米德多面體的表面積為（

）A． B．C． D．【例5-2】（2022秋·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考階段練習）圖1中的機械設備叫做“轉子發動機”，其核心零部件之一的轉子形狀是“曲側面三棱柱”，圖2是一個曲側面三棱柱，它的側棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3．若曲側面三棱柱的高為5，底面任意兩頂點之間的距離為10，則其側面積為（

）A． B． C． D．【例5-3】（2023·全國·高三專題練習）“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積過程中構造的一個和諧優美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（

）A． B． C． D．【例5-4】（2023·全國·高三專題練習）公元前3世紀，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值．17世紀日本數學家們對球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數k稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長）．假設運用此體積公式求得球（直徑為a），等邊圓柱（底面圓的直徑為a），正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為，那么（

）A． B．C． D．考法六函數與導數【例6-1】（2022北京海淀·高三北大附中校考階段練習）成書于約兩千多年前的我國古代數學典籍《九章算術》中記載了通過加減消元求解元一次方程組的算法，直到擁有超強算力計算機的今天，這仍然是一種效率極高的算法.按照這種算法，求解元一次方程組大約需要對實系數進行（為給定常數）次計算.1949年，經濟學家萊昂提夫為研究“投入產出模型”（該工作后來獲得1973年諾貝爾經濟學獎），利用當時的計算機求解一個42元一次方程組，花了約56機時.事實上，他的原始模型包含500個未知數，受限于機器算力而不得不進行化簡以減少未知數.如果不進行化簡，根據未知數個數估計所需機時，結果最接近于（

）A．機時 B．機時 C．機時 D．機時【例6-2】（2022秋·河北邢臺·高一邢臺一中校考階段練習）17世紀，蘇格蘭數學加皮納爾在研究天文學過程中，為了簡化大數運算，發明了對數，對數的思想方法即把乘方、乘法運算轉化為乘法、加法運算，從而簡化運算過程.數學家拉普朗斯稱贊“對數的發明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”，現代物理學之父伽利略評價“給我空間、時間及對數，我可以創造一個宇宙”.已知，則所在的區間為（

）A． B． C． D．【例6-3】（2022江蘇鹽城）（多選）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數”：設，用[x]表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，也稱為取整函數，例如：，下列函數中，滿足函數的值域中有且僅有兩個元素的是（

）A．B．C．D．考法七統計概率【例7-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）張益唐是當代著名華人數學家，他在數論研究方面取得了巨大成就，曾經在《數學年刊》發表《質數間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質數間隙都小于7000萬．2013年張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式，孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述，存在無窮多個素數p，使得是素數，素數對稱為孿生素數，在不超過12的素數中，隨機選取兩個不同的數，能夠組成孿生素數的概率是（

）A． B． C． D．【例7-2】（2023·全國·高三專題練習）我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據《孫子算經》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數法中，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現有5根算籌，據此表示方式表示兩位數（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數大于40的概率為（

）A． B． C． D．【例7-3】（2023·全國·高三專題練習）花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結構，這是中國古代建筑中常見的美化形式，既具備實用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個花窗圖案，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點；點P，M，N，O分別為EF，FG，GH，HE上的三等分點；同樣，點Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點．若在大正方形中隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【例7-4】（2023·全國·高三專題練習）馬林?梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物．梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對作了大量的計算、驗證工作．人們為紀念梅森在數論方面的這一貢獻，將形如（其中p是素數）的素數，稱為梅森素數（素數也稱質數）．在不超過30的素數中，隨機選取3個不同的數，至少有一個為梅森素數的概率是（

）A． B． C． D．【例7-5】（2023·全國·高三專題練習）《三十六計》是中華民族珍貴的文化遺產之一，是一部傳習久遠的兵法奇書，與《孫子兵法》合稱我國古代兵法謀略學的雙壁.三十六計共分勝戰計?敵戰計?攻戰計?混戰計?并戰計?敗戰計六套，每一套都包含六計，合三十六個計策，如果從這36個計策中任取2個計策，則這2個計策都來自同一套的概率為（

）A． B． C． D．考法八復數【例8-1】（2023·全國·高三專題練習）人們對數學研究的發展一直推動著數域的擴展，從正數到負數、從整數到分數、從有理數到實數等等．16世紀意大利數學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了，17世紀法因數學家笛卡兒把i稱為“虛數”，用表示復數，并在直角坐標系上建立了“復平面”．若復數z滿足方程，則（

）A． B． C． D．【例8-2】（2023·全國·高三專題練習）歐拉公式（其中i是虛數單位，e是自然對數的底數）是數學中的一個神奇公式．根據歐拉公式，復數在復平面上所對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例8-3】（2023·全國·高三專題練習）歐拉是世紀最偉大的數學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻．由《物理世界》發起的一項調查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據歐拉公式，（

）A． B． C． D．【例8-4】（2023·全國·高三專題練習）世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如，也即復數的模的幾何意義為對應的點到原點的距離．已知復數滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【例8-5】（2022春·遼寧·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）歐拉公式（）被稱為“上帝公式”、“最偉大的數學公式”、“數學家的寶藏”．尤其是當時，得到，將數學中幾個重要的數字0，1，i，e，聯系在一起，美妙的無與倫比．利用歐拉公式化簡，則在復平面內，復數z對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考法九不等式【例9-1】（2022北京豐臺）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【例9-2】（2023四川成都）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次命題正確的是使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數學屆接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是（

）A．若a＜b，則 B．若a＞b＞0，則C．若a＞b，則 D．若，則a＞b【例9-3】（2022·河北張家口）太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀臺?三茅宮?白云觀的標記物；到中醫?氣功?武術及中國傳統文化的書刊封面?會徽?會標這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”.已知函數，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（

）A． B．C． D．【例9-4】（2023·江西）《幾何原本》卷的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據．通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．考法十解析幾何【例10-1】（2023·全國·高三專題練習）（多選）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發現：“平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足．點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線被軸截得的弦長為C．直線與曲線相切D．是曲線上任意一點，當的面積最大時點的坐標為【例10-2】（2023·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術形態，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現代風格融為一體，呈現出新時代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現滑冰運動員的造型，下半部分表現滑雪運動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節日飄舞的絲帶，下部為奧運五環，不僅象征五大洲的團結，而且強調所有參賽運動員應以公正、坦誠的運動員精神在比賽場上相見．其中奧運五環的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設五個圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【例10-3】（2023·全國·高三專題練習）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023天津）荀子日：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022內蒙古赤峰·高三統考階段練習）材料一：已知三角形三邊長分別為，則三角形的面積為，其中.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內與兩個定點的距離的和等于常數(大于的點的軌跡叫做橢圓.根據材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．203．（2022·河南·高三校聯考階段練習）在計算機尚未普及的年代，人們在計算三角函數時常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函數表的制作最早可追測到古希臘數學家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過查表可知的正弦值為0.0384，的正弦值為0.5135，等等.則根據該表，416．5°的余弦值為（

）0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A．0.5461 B．0.5519 C．0.5505 D．0.57364．（2022·浙江·校聯考模擬預測）我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長l與太陽天頂距θ（）的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B． C．倍 D．倍5．（2022秋·云南·高三校聯考階段練習）“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．”太極和八卦組合成了太極八卦圖（如圖1）．某太極八卦圖的平面圖如圖2所示，其中正八邊形的中心與圓心重合，O是正八邊形的中心，MN是圓O的一條直徑，且正八邊形ABCDEFGH內切圓的半徑為，．若點P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022北京·）在橢圓C：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圖由法國數學家G-Monge（1746-1818）最先發現.若橢圓C的離心率為e，左?右焦點分別為?，P為橢圓C上一動點，過P和原點作直線l與蒙日圓相交于M，N，則（

）A． B．1 C． D．以上答案均不正確7．（2022·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節目開始后，一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（

）A．24 B．6 C． D．8．（2022廣東深圳·）享有“數學王子”稱號的德國數學家高斯，是近代數學奠基者之一，被稱為“高斯函數”，其中表示不超過的最大整數，例如：，設為函數的零點，則（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（2023春·山西忻州）拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，定理內容如下：如果函數在閉區間上的圖象連續不間斷，在開區間內的導數為，那么在區間內至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數在上的“拉格朗日中值點”的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．310．（2022湖北武漢）正整數1，2，3，…，的倒數的和已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當很大時.其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數，，至今為止都不確定是有理數還是無理數.設表示不超過的最大整數.用上式計算的值為（

）（參考數據：，）A．7 B．8 C．9 D．1011．（2023·全國·高三專題練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°12．（2023·全國·高三專題練習）數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為（

）A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝013．（2023·陜西西安·統考一模）公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數學的偉大成就.甲同學是個數學迷，他在設置手機的數字密碼時，打算將圓周率的前6位數字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個1不相鄰，那么甲同學可以設置的不同密碼個數為（

）A．240 B．360 C．480 D．72014．（2023·全國·高三專題練習）“回文聯”是對聯中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數”，n為自然數，且n的各位數字反向排列所得自然數與n相等，這樣的n稱為“回文數”，如：1221，2413142．則所有5位數中是“回文數”且各位數字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個15．（2023·全國·高三專題練習）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術基本定理：每一個比1大的數（每個比1大的正整數）要么本身是一個素數，要么可以寫成一系列素數的乘積，如果不考慮這些素數在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個大于1的自然數（不為素數）能唯一地寫成（其中是素數，是正整數，，），將上式稱為自然數的標準分解式，且的標準分解式中有個素數．從120的標準分解式中任取3個素數，則一共可以組成不同的三位數的個數為（

）A．6 B．13 C．19 D．6016．（2023·北京·高三專題練習）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”.整個圖形是一個圓形.其中黑色陰影區域在軸右側部分的邊界為一個半圓，給出以下命題:①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率是；②當時，直線與白色部分有公共點；③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點，則的最大值為；④若點，為圓過點的直徑，線段是圓所有過點的弦中最短的弦，則的值為.其中所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②④17．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）算盤是中國傳統的計算工具，其形長方，周為木框，內貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數五，梁下五珠，每珠作數一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數字65．若在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數字大于200的概率為（

）A． B． C． D．18．（2023秋·內蒙古赤峰·高二統考期末）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3個大正三角形中隨機取點，則落在黑色區域的概率為（

）A． B． C． D．19（2022·全國·專題練習）據記載，歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優美恒等式，將數學中五個重要的數（自然對數的底，圓周率，虛數單位，自然數的單位和零元）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的數學公式”.根據歐拉公式，復數的虛部（

）A． B． C． D．20．（2022·課時練習）歐拉公式(是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限21．（2021秋·上海楊浦·高二上海市控江中學校考期末）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線就是“心形”曲線．給出以下列兩個結論：①曲線恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；則正確的判斷是（

）A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確C．①②都錯誤 D．①②都正確22．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學統考階段練習）1883年，德國數學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構造過程的圖示，其詳細構造過程可用文字描述為：第一步，把閉區間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區間和；第二步，將剩下的兩個閉區間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區間：，，，；如此不斷的構造下去，最后剩下的各個區間段就構成了三分康托集.若經歷步構造后，不屬于剩下的閉區間，則的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．1023．（2022上海奉賢）古希臘時期，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個比值稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（

）（參考數據：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米24．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名數學家，享有“數學王子”的稱號，以他名字命名的“高斯函數”是數學界非常重要的函數．“高斯函數”為，其中表示不超過的最大整數．例如，則函數的值不可能為（

）A． B．0 C．1 D．225．（2022·江蘇）已知表示不超過x的最大整數，稱為高斯取整函數，例如，，方程的解集為A，集合，且，則實數a的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或26．（2023廣東）如圖在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.我們教材中利用該圖作為一個說法的一個幾何解釋，這個說法正確的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．對任意實數和，有，當且僅當時等號成立D．對任意實數和，有，當且僅當時等號成立27．（2023福建省）意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數列在現代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數列被2整除后的余數構成一個新數列，則數列的前2020項的和為（

）A．1346 B．673 C．1347 D．134828（2023·江西上饒·統考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（

）A． B． C． D．29．（2022·廣西南寧·統考模擬預測）“割圓術”是我國古代計算圓周率的一種方法．在公元年左右，由魏晉時期的數學家劉徽發明．其原理就是利用圓內接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求．根據“割圓術”，若用正二十四邊形來估算圓周率，則的近似值是（

）（精確到）（參考數據）A． B． C． D．30．（2022·青海海東·校考模擬預測）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數據：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米31（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級中學校考模擬預測）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將1至2022這2022個數中，能被5除余1且被7除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則此數列的項數為（

）A．58 B．57 C．56 D．5531．（2022·河南洛陽·新安縣第一高級中學校考模擬預測）十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的，明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個數使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列，記插入的11個數之和為M，插入11個數后這13個數之和為N，則依此規則，下列說法錯誤的是（

）A．插入的第8個數為 B．插入的第5個數是插入的第1個數的倍C． D．32．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）劉徽構造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸．規之為圓困，徑二寸，高二寸．又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣．”牟合方蓋是一個正方體被兩個圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時的兩圓柱體的公共部分，計算其體積的方法是將原來的“牟合方益”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）．記正方形OABC的邊長為r，設，過P點作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面積是．如果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于．（如圖三）設此棱錐頂點到平行于底面的截面的高度為h，不難發現對于任何高度h，此截面面積必為，根據祖暅原理計算牟合方蓋體積（

）注：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等A． B． C． D．33．（2022·湖南衡陽·統考三模）圖中的機械設備叫做“轉子發動機”，其核心零部件之一的轉子形狀是“曲側面三棱柱”，圖是一個曲側面三棱柱，它的側棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”（如圖），萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，若曲側面三棱柱的高為，底面任意兩頂點之間的距離為，則其體積為（

）A． B．C． D．34（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）足球起源于中國東周時期的齊國，當時把足球稱為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專門設置了球場，規定為東西方向的長方形，兩端各設六個對稱的“鞠域”，也稱“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊，互有攻守，以踢進對方鞠室的次數決定勝負.年以前的世界杯用球多數由舉辦國自己設計，所以每一次球的外觀都不同，拼塊的數目如同擲骰子一樣沒準.自年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長相等的塊正五邊形和塊正六邊形拼接而成，形成一個近似的球體.現用邊長為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開圖可近似看成是由個正六邊形與個正五邊形以及條正六邊形的邊所構成的圖形的對稱軸截圖形所得的線段，如圖Ⅱ，則該足球的體積約為（

）參考數據：，，，，.A． B． C． D．35．（2023江西上饒）羅德島太陽神巨像是古代世界七大奇跡之一,它是希臘太陽神赫利俄斯的青銅鑄像如圖所示，太陽神赫利俄斯手中所持的幾何體（含火焰）近似是一個底面相同的兩個圓錐合在一起，正方向投影過去，其平面幾何圖形形狀是上方內角為，邊長為2的菱形.現在其中一個圓錐中放置一個球體，使得球與圓錐側面、底面均相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．36．（2022廣東）（多選）對表示不超過x的最大整數，如，我們把叫做取整函數，也稱之為高斯（Gaussian）函數，也有數學愛好者形象的稱其為“地板函數”．在現實生活中，這種“截尾取整”的高斯函數有著廣泛的應用，如停車收費、EXCEL電子表格，在數學分析中它出現在求導、極限、定積分、級數等等各種問題之中，以下關于“高斯函數的命題，其中是真命題有（

）A． B．C．，若，則 D．不等式的解集為37．（2023云南德宏·高三統考期末）（多選）在整數集中，被4除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為，，則下列結論正確的為（

）A． B．C． D．整數屬于同一“類”的充要條件是“”38（2022云南）（多選）群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關于“·”構成一個群.則下列說法正確的有（

）A．關于數的乘法構成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．關于數的加法構成群39．（2023陜西西安）（多選）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素40．（2022秋·湖北黃岡·高三統考階段練習）（多選）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點F在弧上，且，點E在弧上運動.則下列結論正確的有（

）A． B．，則C．在方向上的投影向量為 D．的最小值是-341．（2022·全國·高三專題練習）（多選）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設計的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則（

）A．與能構成一組基底 B．C． D．42（2022秋·福建廈門）（多選）大自然的美麗，總是按照美的密碼進行，而數學是美麗的鏡子，斐波那契數列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風梨的排列、向日葵花圈數、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數列有關．在數學上，斐波那契數列可以用遞推的方法來定義：，則（

）A．B．C．D．43．（2023廣東清遠·高三統考期末）（多選）我國古代數學著作《算法統宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其大意是：現有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關于該問題，下列結論正確的是（

）A．B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人有連續的三天共行走了三百九十里44．（2023福建福州）（多選）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數：稱為三角形數，第二行圖形中黑色小點個數：稱為正方形數，記三角形數構成數列，正方形數構成數列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數，又是正方形數C．D．，總存在，使得成立45．（2022秋·福建福州）（多選）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：，，，，，，.該數列的特點如下：前兩個數均為，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，現將中的各項除以所得余數按原順序構成的數列記為，則下列結論中正確的是（

）A．B．C．D．46．（2022秋·吉林·高三統考階段練習）（多選）中國音樂有悠久的歷史和獨特的創造.當今世界公認的音樂律制，如五度相生律（中國稱三分損益律）、純律和十二平均律，皆為中國獨立發明.其中，“三分損益法”是以“宮”為基本音，宮生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宮”經過一次“損”，頻率變為原來的，得到“徵”；“徵”經過一次“益”，頻率變為原來的，得到“商”……依次損益交替變化，得到“宮、徵、商、羽、角”這五個音階，據此可推得（

）A．“商、羽、角”的頻率成等比數列B．“角、商、宮”的頻率成等比數列C．“宮、徵、商、羽、角”的頻率依次遞增D．“宮、商、角、徵、羽”的頻率依次遞增47．（2022遼寧大連）（多選）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則48．（2022廣西柳州）（多選）中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美．定義：圖