北京市東城區第五十五中學2024屆高二數學第一學期期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且，則實數的值為（）A. B.3C.4 D.62．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結果為（）A. B.C. D.3．若指數函數（且）與三次函數的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.4．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知點，是橢圓：的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.6．已知公差不為0的等差數列中，，且，，成等比數列，則其前項和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或147．數列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.8．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.49．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.10．若，則（）A.1 B.2C.3 D.411．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.12．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某位同學參加物理、化學、政治科目的等級考，依據以往成績估算該同學在物理、化學、政治科目等級中達的概率分別為假設各門科目考試的結果互不影響，則該同學等級考至多有1門學科沒有獲得的概率為___________.14．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.15．已知空間向量，，若，則______.16．在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數的值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點，（1）求證：平面；（2）求：（ⅰ）直線到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值18．（12分）已知點，圓.（1）若直線l過點M，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設O為坐標原點，點N在圓C上運動，線段的中點為P，求點P的軌跡方程.19．（12分）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）當時，證明：.20．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問題：已知直線過點M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點A、B，求弦AB的長21．（12分）已知圓心在直線上，且過點、（1）求的標準方程；（2）已知過點的直線被所截得的弦長為4，求直線的方程22．（10分）已知數列{an}為等差數列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若等比數列{bn}滿足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求數列{bn}的通項公式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.詳解】因，且，則有，解得，所以實數的值為3.故選：B2、C【解析】根據向量的加法和數乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C3、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個交點，令可得出，令，問題轉化為直線與曲線有兩個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可得出實數的取值范圍.【詳解】當時，，，此時兩個函數的圖象無交點；當時，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個交點，，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，且當時，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，指數函數（且）與三次函數的圖象恰好有兩個不同的交點.故選：A.4、D【解析】根據長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.5、D【解析】設，先求出點，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點在軸上，如圖所示，設，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點，則，∴，，即點.∵點在過點且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關于離心率的方程解方程即得解）.6、C【解析】設等差數列的公差為q，根據，，成等比數列，利用等比中項求得公差，再由等差數列前n項和公式求解.【詳解】設等差數列的公差為q，因為，且，，成等比數列，所以，解得，所以，所以當12或13時，取得最大值，故選：C7、A【解析】根據各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A8、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C9、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題10、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.11、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.12、A【解析】根據圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】考慮3門或者2門兩種情況，計算概率得到答案.【詳解】.故答案為：.14、【解析】結合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：15、2【解析】依據向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：216、##【解析】分析可知，結合空間向量數量積的坐標運算可求得結果.【詳解】由已知可得，，因為，則，即，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結論成立；（2）（i）利用空間向量法可求得直線到平面的距離；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，則為的中點，且，在正四棱錐中，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標系，則、、、、、、、，，設平面的法向量為，，，則，取，則，因為，則，又因為平面，所以，平面.【小問2詳解】解：（i），所以，直線到平面的距離為.（ii），則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）或（2）【解析】（1）由直線被圓C截得的弦長為，求得圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，結合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.（2）設點，，根據線段的中點為，求得，結合在圓上，代入即可求解.【小問1詳解】解：由題意，圓，可得圓心，半徑，因為直線被圓C截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.【小問2詳解】解：設點，因為點，線段的中點為，可得，解得，又因為在圓上，可得，即，即點的軌跡方程為.19、（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）證明見解析【解析】（1）當時，利用求得的單調區間.（2）將問題轉化為證明，利用導數求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當時，，且，又與均在上單調遞增，所以在上單調遞增.當時，單調遞減；當時，單調遞增綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】因為，所以，要證，只需證當時，即可.，易知在上單調遞增，又，所以，且，即，當時，單調遞減；當時，單調遞增，，所以.【點睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時，可考慮證明和兩個不等式成立，從而證得成立.20、（1）（2）【解析】(1)可依次根據直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【小問1詳解】選條件①：∵直線過點(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴21、（1）；（2）或.【解析】（1）由、兩點坐標求出直線的垂直平分線的方程與直線上聯立可得圓心坐標，由兩點間距離公式求出半徑，即可得圓的標準方程；（2）設直線的方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理結合勾股定理列方程求出的值，即可得直線的方程【詳解】由點、可得中點坐標為，，所以直線的垂直平分線的斜率為，可得直線的垂直平分線的方程為：即，由可得：，所以圓心為，，所以的標準方程為，（2）設直線的方程為即，圓心到直線的距離，則可得，即，解得：或，所以直線的方程為或，即或22、（1）an＝2n-12；（2）.【解析】（1）根據等