崇左市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③2．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.3．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.4．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.5．已知，若，則（）A. B.2C. D.e6．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.7．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.8．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.9．如圖所示的程序框圖，閱讀下面的程序框圖，則輸出的S=（）A.14 B.20C.30 D.5510．已知等邊三角形的一個頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個頂點(diǎn)位于E的兩個焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.11．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.12．過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓關(guān)于y軸對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.14．若函數(shù)處取極值，則___________15．已知函數(shù)，若存在唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.16．若是直線外一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過個小時(shí)的學(xué)生人數(shù).19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值20．（12分）已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動點(diǎn)的軌跡方程21．（12分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心在軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請說明理由22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D2、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以又，所?故選：D.3、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個.故選：C.4、A【解析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.5、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B6、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D7、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A8、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴的最小值為.故選：A9、C【解析】經(jīng)分析為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行執(zhí)行，當(dāng)滿足跳出的條件時(shí)即可輸出值【詳解】解：第一次循環(huán)S=1，i=2；第二次循環(huán)S=1+22=5，i=3；第三次循環(huán)S=5+32=14，i=4；第四次循環(huán)S=14+42=30，i=5；此時(shí)5>4，跳出循環(huán)，故輸出的值為30故選：C.10、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B11、B【解析】函數(shù)既有極大值又有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點(diǎn).【詳解】因?yàn)榧扔袠O大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實(shí)數(shù)解，所以，且，解得，且.故選:B.12、A【解析】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，利用平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱特征可得所求的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)圓關(guān)于y軸對稱的圓為，所以，半徑為1，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到是的唯一零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)數(shù)根或只存在實(shí)數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點(diǎn)（且如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)必須在處），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)榇嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，所以是的唯一零點(diǎn)，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根或只存在實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點(diǎn)（且如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)必須在處），又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以故答案為?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒18、（1）樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過個小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問1詳解】解：樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時(shí)間超過個小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問1詳解】解：證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，設(shè)面的一個法向量為，則由令，則，又因?yàn)槊妫∽鳛槊娴囊粋€法向量，設(shè)二面角為，∴，∴，因此二面角的正弦值為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過定點(diǎn)，從而可得到過定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，從而可求出動點(diǎn)的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，所?同理可證.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕遥渣c(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動點(diǎn)的軌跡方程為21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，可得出，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，由可求得的取值范圍，列出韋達(dá)定理，分析可得，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知可得出，求出的值，檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，則，由題意可得，由勾股定理可得，則，由題意可得，解得，則，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與軸重合，則、、三點(diǎn)共線，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，可設(shè)直